第一讲：数与式的运算

初高中数学衔接教材第一讲 数与式的运算教师版

导语：高中数学五本必修教材（必修一~必修五），选修教材因文理不同，高一上期一般学必修一、四；下期学必修五、

三、二的直线和圆部分；高二上期学必修二，下期学习选修系列。高一以代数为主，高二以几何为主，但高中数学有四大思想方法，做题始终贯穿：①数形结合；②分类讨论；③转化与化归；④函数与方程。必修一共两章：集合和函数。集合很抽象，而函数又需要用到初中许多基础知识，所以需要先复习2课时的初中知识，13课时预计上到函数中高一的特殊函数：指数函数

一、绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 练习1下列叙述（命题）正确的是.

①若a b =，则a b =②若a b >，则a b > ③若a b <，则a b <④若a b =，则a b =± /*命题：可以判断对错的陈述句。对的命题称为：真命题；错的命题称为：假命题。*/

例2 解不等式：13x x -+-＞4．

练习2化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

二、二次根式

10)a ≥的代数式叫做二次根式．其中，根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无

理式. 例如32a b

.

212

x ++，22x

y +等是有理式． 2、分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

等等．

一般地，

b 与b 互为有理化因式．

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公

式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.比如，

=-512 ； =-+11n n ；=++12x

x . 3

a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩

例3 将下列式子化为最简二次根式：

（1（20)a ≥ （30)x <

例4 (3．

例5试比较下列各组数的大小：

（1 （2

【点评】高中阶段的“比大小”方法：①比较法：⎩⎨⎧）（符号确号确定的前比1与:作商比

0与:作差；②假设法（但不能写在试

卷上，只能帮助得到答案）：实质分析法/反证法；③构造函数（第二章中学习）

例6 化简：20042005⋅．

例7化简：（1 （21)x <<．

练习3

1．填空：

（1

（2(x -x 的取值范围是；

（3）若

x ==．

2

=成立的条件是． （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

3．若b =，则a b +的值为． 4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．

三、因式分解

例8将下列代数式因式分解：

（1）=-162x 、=++1442x x ；

（2）=+13x 、=1-3x ；

（3）=-2

32x x 、=-----))(())((a b x y y b a y x x ；

（4）=-+652x x 、=+-652x x 、=++652x x ； =--652x x 、=+-1322x x 、=+-91242m m ；

（5）()=++-a x a x 12 、=--2

22a ax x ； =-+22612y xy x 、22()x a b xy aby -++= ；

（6）=++142x x 、=++1422

x x ；

（7）=++-1323x x x 、=+-2-7523x x x .

【点评】常用的化简方法：

①公式法：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式

（1）平方差公式

（2）完全平方公式

（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． /*师生交流：哪些需要证明*/

②提取公因式；

③十字相乘——适用二次式；

④求根公式法——适用二次式；

⑤待定系数法——适用高次式；

⑥竖式除法（短除法）：先猜根，再用竖式除法——适用高次式.

例9 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

【点评】①目标意识；②联想；③配凑

练习4

1.填空：

（1）221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；

（3）2222

(2)4(a b c a b c +-=+++)． 2. 若()()422

-+=++x x b ax x 则 =a ， =b . 3. 把下列各式因式分解：

（1）=++1072

x x 、=--6422y y 、

（2）=+14-2x x 、=-+1322x x 、 （3）=-+22338b ab a 、=+-2

2365ab b a a 、

（4）()()=-+++2082b a b a 、()()=+---3211262

p q q p 、

8224--b b = 、=----3)54(2)54(222x x x x .

【反思收获】