材料力学第六版PPT-第四章 弯曲内力
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件第四章 弯曲内力1-3节
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力偶矩，符号：M，正负号规 定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压 下拉的弯矩为正)。
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
例一 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。 弯曲内力
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2
1.5m
FA 1.5m
2、
√
• 3、两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母 线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面 上的最大切应力分别为 τ1max和τ2max，切变模量分别为G1 和G2。试判断下列结论的正确性。
• （A） τ1max ＞ τ2max ； • （B） τ1max ＜ τ2max ； • （C）若G1＞G2，则有τ1max ＞ τ2max ； • （D）若G1＞G2，则有τ1max ＜ τ2max 。 • 正确答案是 C 。
d
d2x
物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
→
G
d
dx
静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
T
Ip
d
dx
T GIp
——圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
2、圆轴中τmax的确定
等直杆：
max
Tm a x WT
3、公式的使用条件：
（1）、等直的圆轴， （2）、弹性范围内工作。
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
3、计算2-2 截面的内力
M2
M2
材料力学课件第四章 弯曲内力
固定端：支反力 F R x F R y
与矩为 M 的支反力偶
M FRy FRx
Page9
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 剪力与弯矩
梁的内力分析
内力分析
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
Page10
BUAA
例1：试建立图示简支梁的
ห้องสมุดไป่ตู้
q
剪力、弯矩方程，画剪力、 弯矩图。
A
B
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小。 剪力图在有集中力作用处（包括支座处），发生突变。
弯矩图在有集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。
Page18
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
微积分关系的推导
取梁一长dx微段， 研究它的平衡
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
作业： 4-2（e,f）,4-3, 4-4, 4-5(b,d,f)
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第四章 弯曲内力 材料力学教学课件
Q (x)x d1 2q(x)(x)d 2M (x)[M (x)dM (x)]0
dM(x) dx
Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM2(x) dx2
q(x)
24
二、剪力、弯矩与外力间的关系
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
15
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
MO
L
P 解：①求支反力
YO Q(x) –PL M(x)
M(x) Q(x) x
P x
x
YOP; M OPL
②写出内力方程
Q(x)YOP M( x) YOxMO
P(xL)
③根据方程画内力图
20
q 解：①写出内力方程
M(x) L Q(x) x Q(x)
x
– qL
qL 2 2
Q(x)qx
M(x)12qx2 ②根据方程画内力图
解：
q — 均布力
12
q L m g V L gA 1 L1 g L A 2 L2 gA11gA22g
D 1g t [R 21 2R 2( si)n ]2g
第4章 弯曲内力《材料力学》教学课件
4.1 平面弯曲及梁的计算简图
1. 梁的支座
（1)固定铰支座。 图4-3(a)所示是固定铰支座的简化形式。该支座限制梁在 载荷平面内沿支承面和垂直于支承面方向的移动。固定铰支座 有两个约束，相应有两个约束反力，即沿支承面的反力和垂直 于支承面的反力。传动轴的止推轴承一般可简化为固定铰支座。
图4-3
（2)分布载荷。 连续作用在梁的一段或整个长度上的横向力可简化为分 布载荷。建筑结构承受的风压、水压以及梁的自重等是常见的 分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q衡量，常用单位是 N/mm或kN/m。q为常数的分布载荷称为均布载荷。 (3)集中力偶。 外力偶只作用在承力构件与梁连接处的很小区域上，称 为集中力偶。集中力偶的常用单位是N·m或kN·m。
4.1 平面弯曲及梁的计算简图
图4-1(a)、图4-1(b)所示的通过车轮 放置在轨道上的吊车主梁和火车轮轴，因 车轮凸缘可限制梁的轴向移动，且同一时 刻只有一条钢轨与凸缘接触，故其中一条 钢轨可简化为固定铰支座，而另一条钢轨 则视为可动铰支座。
4.1 平面弯曲及梁的计算简图
（2)可动铰支座。 图4-3(b)所示是可动铰支座的简化形式。 该支座限制梁在载荷平面内沿垂直于支承面方 向的移动。可动铰支座有一个约束，相应只有 一个约束反力，即垂直于支承面的反力。桥梁 的滚轴支承、传动轴的径向滚动轴承等，一般 可简化为可动铰支座。
4.1 平面弯曲及梁的计算简图
（3)固定端。 图4-3(c)所示是固定端约束的简化形式。该支座 限制梁在载荷平面内沿支承面和垂直于支承面方向的移 动，也限制梁在载荷作用面内的转动。固定端约束有三 个约束，相应有三个约束反力，即沿支承面的反力、垂 直于支承面的反力和约束反力偶。图4-1(c)所示的管线 托架的固定端、车刀在车床刀架上的压紧端、镗刀杆在 镗床中的夹紧端等，一般都可简化为固定端约束。
材料力学第四章弯曲内力优秀课件
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
《材料力学》第四章 弯曲内力.ppt
列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：（1）求支反力。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
材料力学弯曲内力ppt课件
受均布载荷
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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记 E 截面处的剪力为 FSE 和弯矩 ME ，且假设 FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.
FRA A E c a F1 C F2 D F d b l B
Fy 0 ,
FRA FS E 0
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A c E
FSE
解得 FSE FRA
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 直于截面的内力偶矩.
FRAxA FRAy
x
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M FS
C
F
2. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
FRB
14
(Internal forces in beams) 二、内力的符号规定 (Sign convention for internal force)
m dx
15
+
FS
m
FS
m dx m
-
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号 (Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
FSE FRA
+
19
M E FRA c +
(Internal forces in beams)
FRA
A E c b l a
F1
C
F2
D F d
FSF
B MF F d
FRB
B
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
(Internal forces in beams)
§4-3 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 (Shear- force & bending-moment equations; shear-force&bending-moment diagrams)
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bendingmoment equations)
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD 看左侧
M D FRA (c a ) F 1 c Fa 13.8kN m
F1=F
C A b a c
24
FRA
D
FRB
B
F2=F
(Internal forces in beams)
例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩. 解: 10kN·m FRA （1）求支座反力 2 FRA=4kN FRB=-4kN
5
(Internal forces in beams)
6
(Internal forces in beams) 二、基本概念(Basic concepts)
1.弯曲变形(Deflection) （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相 应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
-
m
m
（受压） 16
(Internal forces in beams)
例题2 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩. 解： （1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
M
A
0
FRA
A
a
F1
C E
F2
ME
M E FRA c
18
(Internal forces in beams)
FRA
A c E
FSE
ME
FSE ME
F1
C a -c b -c l -c
F2
D
FRB
B
E
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
n
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力 右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
21
(Internal forces in beams)
2.弯矩(Bending moment)
n m
M
Fi ai M k i 1 左（右） k 1 左（右）
解得：
FSF FRB
20
M F FRB d +
(Internal forces in beams) 三、计算规律 (Simple method for calculating shearforce and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
FS
Fi i 1 左（右）
D F
FRB
B d
FRB l F1a F2b 0
M
B
0
c b l
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b ) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
F1a F2b l
17
(Internal forces in beams)
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
一、 工程实例(Example problem)
4
(Internal forces in beams)
工程实例(Example problem)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
11
(Internal forces in beams)
起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度 的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁 的计算简图.
F =100kN q =38.105kN/m
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程. 1.剪力方程(Shear- force equation) 2.弯矩方程(Bending-moment equation) FS= FS(x) M= M(x)
26
(Internal forces in beams) 二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-moment diagrams)
A
FRAy
A A
FRAx A
固定端(clamped support or fixed end)
FRy FRx M
10
(Internal forces in beams)
5.静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
简支梁
(simply s均将引起正值的弯矩， 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
22
(Internal forces in beams)
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面 上的剪力和弯矩. F1=F
C A b a c D B
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
23
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
A 1 1m 2.5m C
FRB
B
（2）求1-1截面的内力
FS 1 FSC左 FRA 4kN
M 1 M C左 FRA 1 4kN m
（3）求2-2截面的内力
M
1 C
25
FRA A E c a F1 C F2 D F d b l B
Fy 0 ,
FRA FS E 0
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A c E
FSE
解得 FSE FRA
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 直于截面的内力偶矩.
FRAxA FRAy
x
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M FS
C
F
2. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
FRB
14
(Internal forces in beams) 二、内力的符号规定 (Sign convention for internal force)
m dx
15
+
FS
m
FS
m dx m
-
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号 (Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
FSE FRA
+
19
M E FRA c +
(Internal forces in beams)
FRA
A E c b l a
F1
C
F2
D F d
FSF
B MF F d
FRB
B
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
(Internal forces in beams)
§4-3 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 (Shear- force & bending-moment equations; shear-force&bending-moment diagrams)
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bendingmoment equations)
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD 看左侧
M D FRA (c a ) F 1 c Fa 13.8kN m
F1=F
C A b a c
24
FRA
D
FRB
B
F2=F
(Internal forces in beams)
例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩. 解: 10kN·m FRA （1）求支座反力 2 FRA=4kN FRB=-4kN
5
(Internal forces in beams)
6
(Internal forces in beams) 二、基本概念(Basic concepts)
1.弯曲变形(Deflection) （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相 应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
-
m
m
（受压） 16
(Internal forces in beams)
例题2 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩. 解： （1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
M
A
0
FRA
A
a
F1
C E
F2
ME
M E FRA c
18
(Internal forces in beams)
FRA
A c E
FSE
ME
FSE ME
F1
C a -c b -c l -c
F2
D
FRB
B
E
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
n
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力 右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
21
(Internal forces in beams)
2.弯矩(Bending moment)
n m
M
Fi ai M k i 1 左（右） k 1 左（右）
解得：
FSF FRB
20
M F FRB d +
(Internal forces in beams) 三、计算规律 (Simple method for calculating shearforce and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
FS
Fi i 1 左（右）
D F
FRB
B d
FRB l F1a F2b 0
M
B
0
c b l
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b ) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
F1a F2b l
17
(Internal forces in beams)
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
一、 工程实例(Example problem)
4
(Internal forces in beams)
工程实例(Example problem)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
11
(Internal forces in beams)
起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度 的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁 的计算简图.
F =100kN q =38.105kN/m
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程. 1.剪力方程(Shear- force equation) 2.弯矩方程(Bending-moment equation) FS= FS(x) M= M(x)
26
(Internal forces in beams) 二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-moment diagrams)
A
FRAy
A A
FRAx A
固定端(clamped support or fixed end)
FRy FRx M
10
(Internal forces in beams)
5.静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
简支梁
(simply s均将引起正值的弯矩， 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
22
(Internal forces in beams)
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面 上的剪力和弯矩. F1=F
C A b a c D B
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
23
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
A 1 1m 2.5m C
FRB
B
（2）求1-1截面的内力
FS 1 FSC左 FRA 4kN
M 1 M C左 FRA 1 4kN m
（3）求2-2截面的内力
M
1 C
25