杨辉三角(直角三角形的)
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一个以数学的方式表示的二阶等腰三角形，它是具有多种特殊性质的几何图形，也是概率论、组合数学、代数和初等数论中的重要工具，在日常生活中也有很多有趣的应用。
首先，杨辉三角在日常生活中最常见的应用就是数学中计算阶乘的快速方法，有一句俗话“一个数的阶乘等于它上面一行所有数之和”，这句俗话正是杨辉三角的一个重要性质，即每一行的数都等于前面一行的相邻两个数之和，因此可以用杨辉三角来计算阶乘，大大减少了计算量。
其次，杨辉三角也可以用来计算组合数，组合数是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，而不考虑元素的先后次序，有多少种可能的组合情况，组合数的计算公式为Cmn=n!/(m!*(n-m)!)，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算组合数，大大减少了计算量。
此外，杨辉三角也可以用来计算二项式系数，二项式系数是指在二项式中，两个未知数x和y的幂次之和为n，它有多少种可能的组合情况，二项式系数的计算公式为Cmn = n!/[m!*(n-m)!]，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算二项式系数，大大减少了计算量。
再者，杨辉三角也可以用来解决一些经典游戏，例如“兔子赛跑”游戏，它是一个典型的动态规划问题，它要求求解最佳解，这就要求分析多种解法并做出最优决策，而杨辉三角可以帮助解决这类问题，因为它的性质有助于计算多种可能的解决方案，从而帮助玩家做出最优的决策。
最后，杨辉三角也可以用来计算几何图形的面积，例如梯形、菱形、梯形等几何图形，这些几何图形都可以用杨辉三角来计算它们的面积，因为这些几何图形都可以分解成多个三角形，而杨辉三角的性质有助于计算每个三角形的面积，从而计算出这些几何图形的面积。
总之，杨辉三角在日常生活中有着很多有趣的应用，它不仅可以用来计算阶乘、组合数、二项式系数等数学问题，还可以用来解决一些经典游戏，这些都使得杨辉三角在日常生活中变得格外有趣。
(9)北师大课件 组合与杨辉三角
( a+b )n = C0 a n + C1 an-1 b + C2 a n-2 b 2 + n n n
+ Cn1 abn-1 + Cn b n n
n
展开式中各项的系数，令 a = b = 1，则得到
2n = C0 C1 C2 Cn1 Cn n n n n n
15
湖北难题 秘密可问杨辉
对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 1 1 2 3 12 30 60 105
以下研究式子右边“和的极限”： 按“脚踩两数”的规律，我们在所踩 的两数中“勾一个踢一个”： 勾右边的数，踢左边的数. 对1/2来讲， 勾得的数如实线所示. 踢去的数如虚线所示. 由于“踢去数”的极限为0，所以 “勾得数”的极限是1/2.
由此得x=r+1
对应到莱布三角形中，得加法性质： 1 1 1 r x ( n 1)Cn ( n 1)Cn nCr 1 n
14
湖北难题 秘密可问杨辉
把杨辉三角中的“一数顶一串”的性质：
10=4+3+2+1 对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 2 3 12 30
4
从集合到组合
组合的加法性质
对于子集集合所形成的组合数 Cr ，我们总可以利用两分 n 法进行“两分”，也就是我们总可以把 r 看作是由两部 Cn 分合成. 办法是，在 n 个元素中，我们可以任意指定某个 元素作为参照物，把 r 分成含这个参照元素的组合和不 Cn 含这个参照元素的组合. 其中， ①含某个元素k的组合，有 Cn1 种； ②不含元素k的组合，有 C
第六章 数学探究 杨辉三角的性质与应用
在放学回家的过程中,小明这样想:我肯定不会走回
头路的,所以我只能向右和向上走,一共应该向右走
5条街道,向上走5条街道.
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区,图 (1)中
顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有
一条路线.小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区,
形,其构造方法为第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个数(不足3
2
5
个数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x +x+1) 的展开
8
式中,x 项的系数为75,则实数a的值为
2
.
4.如图所示的杨辉三角最早出现在我国南宋数学家杨
辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中,它有很
(4)已知(2-
2
3
2019
2
2
2
2
)n(n≥2,n∈N*)的展开式中x的系数为f(n),则
+
+
+…+
等于
(2) (3) (4)
(2020)
( B )
2019
A.
110
2019
B.
505
1009
C.
1010
1009
D.
505
1.目的
通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化.
数学探究 杨辉三角的性质与应用
本章总结提升
(2) 540的不同正约数共有 24
个.
(3)用5种不同颜色(颜色可以不全用完)给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要
求每个点涂1种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方案的种
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市三校联考八年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市三校联考八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列国旗中，不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.下列计算正确的是()A. B.C. D.3.下列各式中，是分式的是()A.xB.C.D.4.下列式子从左到右的变形属于因式分解的是()A. B.C. D.5.如图，已知是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且，，则()A. B. C. D.6.若，则()A.0B.C.0或D.1或27.若要使成为完全平方式，则常数m的值为()A. B. C. D.8.某班学生周末乘汽车到外地参加活动，目的地距学校120km ，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车速度是慢车速度的2倍，如果设慢车的速度为，那么可列方程为()A.B. C.D.9.如图，在等腰中，，，AB 上一点D 使，过点D 作且，连接EC ，则的度数为()A.B. C. D.10.如图，已知，，，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是()①≌；②；③；④A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
11.科学家测得肥皂泡的厚度约为米，将用科学记数法表示为______.12.一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为______.13.如果分式有意义，那么x 的取值范围是______.14.若，，则______.15.如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于E，若，，则的度数是______.16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是AD上的一动点，则的最小值是______.17.如图所示，在中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且，则图中的面积=______.18.在中，，，点D在BC边上，连接若为直角三角形，则的度数为___________19.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数______.三、解答题：本题共6小题，共63分。
杨辉三角性质证实[宝典]
![杨辉三角性质证实[宝典]](https://img.taocdn.com/s3/m/c0ba41cf51e2524de518964bcf84b9d528ea2ceb.png)
1.二项式定理的证明（用数学归纳法）证明：（1）当n=1时，左边=（a+b）1= a+b=右边；因此，当n=1时等式成立。
（2）假设n=k时等式成立，即（a+b）k= C k0a k+C k1a k-1b+……+C k r a k-r b r+C k r+1a k-r-1b r+1+……+C k k-1ab k-1+C k k b k现在证明当n=k+1时等式也成立。
由于（a+b）k+1=（a+b）k（a+b）=（ C k0a k+C k1a k-1b+……+C k r a k-r b r+ C k r+1a k-r-1b r+1+……+C k k-1ab k-1+C k k b k）（a+b）= C k0a k+1+C k1a k b+…+C k r a k-r+1b r+ C k r+1a k-r b r+1+…+C k k-1a2b k-1+C k k ab k+ C k0a k b+C k1a k-1b2+……+C k r a k-r b r+1+ C k r+1a k-r-1b r+2+……+C k k-1ab k+C k k b k+1= C k0a k+1+（C k1+ C k0）a k b+……+（C k r+1+C k r）a k-r b r+1+……+（C k k+ C k k-1）ab k+C k k b k+1利用：C k0= C k+10，C k1+ C k0= C k+11……C k r+1+C k r= C k+1r+1……C k k+ C k k-1= C k+1k，C k k= C k+1k+1则得到（a+b）k+1=C k+10a k+1+C k+11a k b+……+C k+1r+1a k-r b r+1+……+C k+1k ab k+C k+1k+1b k+1。
这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知关于任意自然数n，公式都成立。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理浅谈杨辉三角的奥秘及应用素材苏教版选修2_3
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时： y=121；当n=3时： y=1331；当n=4时： y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n ≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 11 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 11 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。
初中数学常见杨辉三角规律（1）——利用横行规律解题
初中数学常见杨辉三角规律（ 1 ）——利用横行规律解题杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。
因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。
在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。
人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。
今天结合初中命题中会用到的情况进行分析，结合具体的题目利用杨辉三角的横行规律解题。
在初中数学上，杨辉三角的介绍和二项式展开式有关：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……二项式系数是二项式定理中各项的系数。
而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。
如何直接写出各项系数？如图，在最上面一行的中央写下数字 1；第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形；随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。
一．利用杨辉三角的构建过程解题例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15.【解析】根据杨辉三角的构建：把第6行写出来：得到：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5再借助规律写出第7行：1 5 15 20 15 6 1，故第三个数是二、杨辉三角的横行个数及数字和规律①横着每一行都有对应数字个数，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……②横着每一行数字相加得到：a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，…，an=2n-1.例2．我们知道(a+b)n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，如图给出了“杨辉三角”的前7行，请你按照这个规律，直接写出展开式共有______项，展开式的系数和是_______．【答案】2021；22020.【解析】由于第一行对应的是(a+b)0，所以(a+b)2020对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为22020.三、巧设未知数的值求展开式系数和当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。
杨辉三角的探究之旅
撷英篇一、杨辉三角之由来杨辉三角是一个特殊的数阵，最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中。
南宋时期，杨辉在其著作《详解九章算术》中予以引用，且注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝时期，朱世杰对杨辉三角作了进一步研究和推导，得出了高阶差分数列的求和。
据说在1636年，法国帕斯卡在13岁时发现了这个三角形，这个表在欧洲被认为是帕斯卡首先发现的，因此也被称作“帕斯卡三角”。
但此时已经距我国杨辉三角的发现过了六百年左右，这足以说明我国古代数学的卓越成就，在世界数学史占有重要地位。
因此有些书上称之为“中国三角形”（Chinese triangle）。
杨辉三角在整个数学史中的应用非常广泛，北宋的贾宪用其手算高次方根，元朝的朱世杰用其研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用其算微积分，华罗庚拓宽思路，还谈到了差分方程，无穷级数等。
同学们，今天就让我们穿越时光隧道，沿着大师的足迹，来一次杨辉三角的探究之旅！二、初探杨辉三角探究角度一：杨辉三角与二项式系数第一行第二行第三行第四行第五行第六行第七行111121133114641151010511612201261……1C01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66……C0n-1C1n-1C2n-1…C r-1n-1C r n-1…C n-2n-1C0n-1C0n C1n C2n…C r n…C n-1n C0n 图1图2问题1：通过二项式定理的学习，请同学们观察当n 依次取1，2，3…时，（a+b）n展开式的二项式系数，即如图2所示的二项式系数表，以及杨辉三角如图1，请大家说说它们之间的联系？生：杨辉三角的第n行就是（a+b）n的二项式系数。
问题2：结合杨辉三角（图1）以及二项式系数表，找一找二项式系数有着怎样的规律？二项式系数又有哪些性质？生1：对称性。
杨辉三角(教案)
杨辉三角(教案)杨辉三角（1）目的要求1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。
2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
3．通过小组讨论，培养学生发现问题。
探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。
内容分析本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。
杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。
组合关系以及不同横行数字之间的联系。
研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。
目的在于培养学生的创新精神和创造能力。
它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。
从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。
以下主要分小组合作研究杨辉三角15阶杨辉三角2．学生尝试探索活动。
（1）n阶杨辉三角中共有多少个数？（2）n阶杨辉三角的通项公式是什么？即n阶杨辉三角中的第k行第r个数是什么？（3）n阶杨辉三角的第k行各数的和是多少？所有数的和是多少？学生独立思考后，由学生发言，得出结论。
n 阶杨辉三角中共有22)2)(1(21+=++n C n n 个数，22+n C 第n+2行第3个数；通项公式为rk C r k E =),(，∑==k r k r k E 02),(，∑∑=+=-=n k n n r r k E 01012)),((。
我国南宋数学家杨辉三角形解释二项和的乘方规律
我国南宋数学家杨辉三角形解释二项和的乘方规律
杨辉三角形是中国古代数学中著名的图形。
它是由数列构成的一个三角形，其中每个数字等于它上方的两个数字之和。
数学家杨辉在南宋时期发现了这个特殊的数列，因此得名杨辉三角形。
杨辉三角形不仅仅是一个有趣的数学现象，而且还有很多实际的应用。
其中一个重要的应用就是解释二项式系数的乘方规律。
二项式系数是指在二项式展开式中，某一项的系数，例如(a+b)^3展开后，其中的a^2b的系数为3。
这个系数可以用杨辉三角形来解释。
首先，我们可以将二项式(a+b)^n展开为
(a+b)(a+b)(a+b)...(a+b)的形式，其中有n个(a+b)相乘。
然后，我们可以将每个(a+b)展开成两个数a和b，并将它们排列在杨辉三角形的下一行。
对于第一行，我们将a和b排列在两端，然后在它们中间加上一个0，表示这一行的数字总数为3。
接着，我们通过依次将上一行的相邻数字相加得到下一行的数字，直到得到第n+1行为止。
这个构造的过程可以用图示表示。
例如，当n=3时，我们可以得到以下的杨辉三角形：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
在这个杨辉三角形中，第n+1行的数字对应着二项式系数中的系
数。
例如，对于(a+b)^3展开式中的a^2b项，它的系数为3，对应着杨辉三角形的第四行中的数字3。
通过这种方法，我们可以很容易地求出任意二项式系数的值。
这不仅为数学家们提供了一个有用的工具，而且也让人们更好地理解了杨辉三角形这个有趣的数学现象。
趣味数学049：杨辉三角
杨辉三角人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”，对此，教参中已有所介绍。
为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。
老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)：宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。
请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。
然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。
自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。
哪位同学愿意试一试？”等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。
比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10×(8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。
这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。
规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。
比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，1＋1＝2。
依此类推。
游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。
等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。
这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。
设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。
第五行就是A＋B、B ＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2C＋D、C＋2D＋E、D＋2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3D＋3E＋F；第二行就是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋5B＋10C＋10D ＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。
对杨辉三角的研究报告
对杨辉三角的研究看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于开掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角〞。
什么是杨辉三角杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角〞进展高次开方运算。
杨辉，字谦光，南宋时期XX人。
在他1261年所著的?详解九章算法?一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法根源〞图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的?释锁算术?，并绘画了“古法七乘方图〞。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角〞。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角〞。
=================================================== ==================1）初步认识杨辉三角二项式〔a+b〕n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一X表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．2）杨辉三角所蕴含的数量关系〔用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式〕=================================================== ==================1〕二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最严密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)^2的展开式来探讨。
由上式得出： (a+b)^2＝a^2+2ab+b^2 此代数式的系数为： 1 2 1那么(a+b)^3的展开式是什么呢？答案为：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3由此可发现，此代数的系数为： 1 3 3 1但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)^4的展开式。
展开式为：a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11^0)1 1 (11^1)1 2 1 (11^2)1 3 3 1 (11^31 4 6 4 1 (11^4)1 5 10 10 5 1 (11^5)1 6 15 20 15 6 1 (11^6)所以，可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
杨辉三角(小学版)
杨辉三角的应用杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题大家可以看出11的几次方也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所对应的第大家可以看出11的几次方也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所对应的第n行的数字很神奇吧
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所 对应的第n行的数字，
很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。 古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜Ⅰ
沪教版(上海)数学高三上册-16.5二项式系数与杨辉三角形
上海市位育中学
龚菲
二项式系数与杨辉三角形
x y0 x y1 x y2
x y3 x y4 x y5 x y6
0 0
x
1 0
y 11
x
2 0
2
xy y
2 1
2 2
2
x
3 0
3
x y 13 2
xy y
3 2
2
33
3
x x y x y xy y
6 0
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
n 0
n 1
n01
n11
上海市位育中学
r
n1
n r
n r+1
n
n r
n
n r
1
nn+1r
nn1
n n
nn+1
nn 11
龚菲
二项式系数的性质2
4 0
5 0
6 0
n
6 15 20 15 6
1
上海市位育中学
龚菲
二项式系数的性质2
性质2：
0 0
左右次斜边上 是连续整数
3 0
2 0
1 0
11
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
4 0
4 1
4 2
4 3
4 4
5 0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
n
n r
n
n r
1
nn+1r
nn1
n n
nn+1
n n
11
龚菲
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
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知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
杨辉三角(小学版)ppt课件
6
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杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
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杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
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概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
山西省临汾市2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题
山西省临汾市2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（）A ．3.14BC ．π2D ．1032．下列结论正确的是（）A ．64-的立方根是8-B ．0.49的算术平方根是0.07C ．127的立方根是13D ．116的平方根是143．计算()3232a b -的结果是（）A ．692a b -B ．698a b C ．698a b -D ．696a b -4．下列运算中，正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()()633a a a -÷-=-C ．abb a 632=+D ．()3249a a a ⋅=5．下列命题中，为真命题的是（）A ．相等的角是对顶角B ．同旁内角互补C ．负数的立方根是负数D ．0没有平方根6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．()a x y ax ay-=-B ．()22121x x x x ++=++C ．()()21343x x x x ++=++D ．()()311x x x x x -=+-7．下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（）A ．()()m n m n ---B ．()()m n m n +-+C ．()()m n m n --+D ．()()21m m +-8．若2x a =，3y a =，则2x y a -的值为（）A ．－7B ．－4C ．13D ．299．圆的半径为r 厘米，若半径增加3厘米，则新圆的面积比原来圆的面积增加了（）A ．9π平方厘米B ．(69)r ππ-平方厘米C ．(69)r ππ+平方厘米D ．2(3)r π+平方厘米10．我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式()na b +的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算()7a b +的展开式中第三项的系数为（）A ．7B ．21C ．20D ．35二、填空题11．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：．12．因式分解∶34x x -=．13．已知249y my ++是完全平方式，则m =14．若1xy =-，43x y +=-，则代数式()()221x y --的值为．15．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=2=．现在对72进行如下操作：72932−−−→=−−−→=−−−=第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为．三、解答题16．计算()202411-+；(2)()()2536243232x y x y x y z x y -+÷-．17．化简求值下面是小明进行整式运算的过程：计算：()()()2313121x x x +---．其中1x =-解：原式()2291421x x x =---+第一步2291421x x x =--+-第二步2522x x =+-第三步当1x =-时，原式()()2512121=⨯-+⨯--=(1)以上解题过程中，从第______步开始出现错误．错误的原因是______．(2)写出正确的解答过程．18．如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为3cm 的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为8x cm ，宽为5x cm ．(1)请用含x 的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；(2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为20元/2cm ，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x 的代数式表示）．19．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．东东的作业计算：()5540.25⨯-解：原式()()5540.2511=-⨯=-=-计算：(1)()2025202480.125⨯-(2)若2539813n n ⨯⨯=，请求出n 的值20．已知：整式21A m =+，21B m =-，m 为任意有理数(1)1A B ⋅+的值可能为负数吗？请说明理由；(2)请通过计算说明：当m 是整数时，22A B -的值一定能被4整除．21．【教材呈现】已知5a b +=，3ab =，求()2a b -的值．同学们探究出解这道题的两种方法：方法一方法二∵()2222a b a ab b +=++∴()222a b a b A +=++∵5a b +=，3ab =，∴2225619a b +=-=∵()2222a b a ab b-=-+∴()219613a b -=-=∵()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+，∴()()22a b a b B -=+-，∵5a b +=，3ab =，∴()213a b -=．（1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的A =______，方法二中的B =______．【知识应用】（2）请参照上述方法解答以下问题：已知14a a +=，求21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【知识迁移】（3）如图，以Rt ABC △的直角边AB ，BC 为边作正方形ABDE 和正方形BCFG ．若ABC V 的面积为5，正方形ABDE 和正方形BCFG 面积和为36，求AG 的长度．22．【问题背景】同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），通过探究回答以下问题：（1）如图1用两个面积为1的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长为______．将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，点M表示的数为______．【初步探究】（2）小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．①图3中正方形ABCD的面积为______．②如图4，若点A在数轴上表示的数是1-，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E．则点E所表示的数是______．【探究应用】（3）①请运用以上知识在网格中画一个面积为5的正方形，使正方形的顶点均在格点上．（备注：网格小正方形的边长为1个单位长度）②如果把这个正方形按照图4放置在数轴上，点A在数轴上表示的数是1-，以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，与数轴相交，则交点所表示的数是______．23．综合与实践数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．八年级课外活动小组剪了若干个边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片（如图1所示），发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．乐学组的同学：我们拼出了如图2的长方形，我们发现这个图形可以解释等式：()()22++=++．232a b a b a ab b(1)勤奋组的同学拼出了如图3的长方形，这个图形可以解释的等式为______．(2)启航组同学要拼成一个长为()3a b +，宽为()2a b +的长方形，那么需用A 类卡片______张，B 类卡片______张，C 类卡片______张．(3)卓越组的同学想用1张A 卡片，5张B 卡片，4张C 卡片拼成一个长方形，验证某个等式，请你帮他们画出图形并写出可以解释的等式．可以解释的等式为：______．(4)善思组的同学：用5张B 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为M ，AB x =，若M 的值与x 无关，试探究a 与b 的数量关系，并说明理由．。
杨辉三角(小学版)讲解学习
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
谢 谢 大 家！
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。