突变论

尖点突变的突变流形 M和分叉集B形态，分叉集B就是突变 流形M在u-v平面上的投影。 由图可见，突变流形的上、中、下叶分别表示了系统可能 的3个平衡位置：上下两叶是稳定的，中叶是不稳定的。 在从上叶到下叶或从下叶到上叶的转换中，如果跨越了折 叠线系统，状态就发生突跳。 其他突变模型也具有和尖点突变模型类似的特性，只是在 空间维度表示上不同。
突变论
郭灿
突变理论是由法国数学家托姆于1965年提出。 突变是指在系统演化过程中，某些变量的连续 逐渐变化最终导致系统状态的突然变化，即从 一种稳定的状态跃到另外一种稳定的状态。 托姆将系统内部状态的整体性“突跃”称为突 变，其特点是过程连续而结果不连续。 他认为自然界或人类社会中任何一种运动状 态，都有稳定态与非稳定态之分。在微小的偶 然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的 是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状 态的则是非稳定态。
3.基本突变形态 突变理论是通过研究对象的势函数来研究 突变现象。 系统势函数通过系统状态变量 X {x1, x2 , , xm} 和外部控制参量 U {u1, u2 , , un} 来描述系统的 行为，即 V f (U , X ) 。这样，在各种可能变 化的外部控制参量和内部行为变量的集合 条件下，构造状态空间和控制空间。通过 联立求解V ' ( x) 和V '' ( x) 得到系统平衡状态的临 界点，突变理论正是通过研究临界点之间 的相互转换来研究系统的突变特征。
（2）奇点 在突变论中，把某一平滑函数的位势导数为零的点 叫做定态点。定态点在不同的条件下有不同的分类， 当 n=1时，有 3种类型：极大点、极小点和拐点。 特别是在某些定态点附近，连续变化能够引起不连 续的结果，此时将退化的定态点称为奇点。 （3）吸引子 吸引子是系统趋向的一个极限状态。该极限状态可 以是封闭迹线，也可以是更为复杂的图形。这些极 限点的连通集被称为系统的一个吸引子。如果系统 有多个互不相交的吸引子，那么它们将处于相互竞 争的状态，有可能破坏分解为多个吸引子，从而走 向分叉。
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2.使用和研究突变理论，需要了解势、奇点、吸引子 这三个概念 （1）势 势由系统各个组成部分的相对关系、相互作用及系 统与环境的相对关系决定，因此系统势可以通过系 统的状态变量和外部控制参量描述系统的行为。 一般地说，被研究对象的状态与控制空间在数学上 是高维状态的超曲面 R n m ，其中n为控制变量，m为 状态变量 。 在热力学系统中，势是自由能，由系统演化的方向 决定； 在力学系统中，势是相对保守的位置能； 在社会领域，势是系统采取某种趋向的能力。
托姆证明，在不超过四个控制因素时，只有七种 初等突变形态，这个数学证明是相当难的，但掌 握证明的结论却比较容易。初等突变本身是可以 理解的，并且可以不管其证明而直接应用到一些 科学问题中。事实上，大部分问题中最常使用的， 也仅是七种初等突变形态中的二三种。
4.尖点突变模型
势函数为：V ( x) x 4 ux 2 vx 相空间由1个状态变量及2个控制变量构成的三维空间。 平衡曲平面V ' ( x)=4 x3 2ux v 0决定，称为突变流形M， 把它与V '' ( x)=12x 2 2u 0联立消去x, 即得到分叉集B： B 8u 3 27v 2
突变理论可以用来认识和预测复杂的系统 行为。突变理论以拓扑学、奇点理论为数 学工具，对不连续现象做定性研究的一个 新的数学分支。 以不光滑曲线或曲面来描述突变现象，阐 述了系统如何随着外部条件的连续变化而 引起结构突变的飞跃式变化。 系统只要满足一定条件，突变就会由系统 的内在因素产生出来。不论构成系统的基 质特性和引起结构或形态变化的“力”如 何，只要控制参量变化到临界点上，就会 出现一种稳定态向另一种稳定态的突变。
5.应用 如果系统演化的数据可以得到，我们就可 以通过数据拟合的方法做出系统的演化曲 线，这时我们就可以对这种曲线进行变换， 利用突变模型求解。这种例子很多，比如 市场上价格的变动，GDP的增长，股票交易 量的变化等，都可以对数据拟合得到动力 学方程，然后转化为突变论模型，再利用 突变理论进行定性分析。
1.突变理论的数学方法有着不同于牛顿古典数 学分析方法： （1）它建立在集合、拓扑、群论与流形等现 代数学基础之上，内含随机与现代系统论 的基质。 （2）它着重研究连续作用导致系统不连续突 变的现象，直接处理不连续突变而不涉及 特殊的内在机制，特别适用那些内部结构 尚未清楚的系统。 （3）不必事先知道被描述系统状态变量遵循 的微分方程，可以预测系统许多定性特征。