基本初等函数的导数公式的推导过程

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基本初等函数的导数公式推导过程

一、幂函数()f x x α=(α∈Q *)的导数公式推导过程

命题

若()f x x α=(α∈Q *),则()1f x x αα-'=. 推导过程

()f x '

()()()()()()000112220011222011222011220

lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x αα

αααααα

αααααααααααααααααα

ααααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++()11

11

C x x

x ααααααα---∆== 所以原命题得证.

二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题

若()sin f x x =,则()cos f x x '=.

推导过程

()f x '

()()

()()()()0000020lim

sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆∆⎡∆⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2

00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x ∆→∆→∆→∆→⎥∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 当0x ∆→时,sin 22

x x ∆∆=,所以此时sin

212x

x ∆=∆. 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ∆→∆⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭

,所以原命题得证. 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程

命题

若()cos f x x =,则()sin f x x '=-.

推导过程

()f x '

()()()()()()0000020lim cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()

2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦

∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭

=-=-n x

所以原命题得证.

四、指数函数()x f x a =(a >0,且1a ≠)的导数公式推导过程

命题

若()x f x a =(a >0,且1a ≠),则()ln x f x a a '=. 推导过程

()f x '

()()

0000lim

lim lim 1lim x x x x

x x x x

x x x x f x x f x x

a a x a a a x

a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-=∆⋅-=∆⎛⎫-=⋅ ⎪∆⎝⎭ 令1x t a ∆=-,则1x a t ∆=+,即()log 1a x t ∆=+.且当0x ∆→时,1x a ∆→,10x a ∆-→,即0t →.所以原极限可以表示为: ()f x '

()()()0010lim log 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤=⋅⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦

又因为()10lim 1e t

t t →+=,所以 ()f x '

1log e ln lne

ln x a x x a a a a a

=⋅

=⋅= 所以原命题得证.

五、对数函数()log a f x x =(a >0,且1a ≠,x >0)

的导数公式推导过程

命题

若()log a f x x =(a >0,且1a ≠,x >0),则()1ln f x x a

'=.

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