新初三数学尖子生学案Day28(主讲人：刘蒋巍)

新初三数学尖子生学案Day28在研究)0(2>++=a c bx ax y 性质之前，我们可以对)0(2>++=a c bx ax y 作“配方”工作，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=（最值问题的研究）我们从“配方法求最值”的角度分析，若0>a ，则a b ac a b ac a b x a c bx ax y 4444)2(2222-≥-++=++=，什么时候取得“＝”号呢？当0)2(2=+a b x a 的时候，也就是02=+a b x 的时候，即ab x 2-=的时候，从图象上来看，就是在a b x 2-=处取得最值（0>a 的时候是最小值，0<a 的时候是最大值）。

且最值为ab ac 442-。

（对称性的研究）当m a b x +-=2（0>m ）时，ab ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b +-2，a b ac am 4422-+）当m a b x --=2（0>m ）时，a b ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b --2，ab ac am 4422-+）当m 任意变化时，这两个点是关于垂直于x 轴的直线a b x 2-=对称的，所以抛物线ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=具有对称性，对称轴为直线a b x 2-=。

（单调性的研究）由于初中阶段不要求掌握单调性的研究方法，所以我们只需记住结论：“当0>a 时，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递减，当a b x 2->，函数单调递增。

当0<a 时，ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递增，当ab x 2->，函数单调递减。

”按与x 轴的交点我们再分三种情况研究：１、当抛物线a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=与x 轴没有交点时，若0>a ，则0442>-a b ac ，即042>-b ac ，也就是判别式042<-=∆ac b 。

如果从方程的角度来看，也就是研究“一元二次方程044)2(222=-++=++a b ac a b x a c bx ax ”的解的问题。

方程化简为22244)2(a b ac a b x --=+，即0444)2(2222≥∆=-=+aa acb a b x ，而当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，也就是此时042<∆a 与0444)2(2222≥∆=-=+aa acb a b x 矛盾！所以方程02=++c bx ax 无解。

反之也成立，方程02=++c bx ax 无解0<∆２、当抛物线a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=与x 轴有一个交点时，这个交点一定是抛物线的顶点。

a b x 2-=，0442=-=ab ac y ，即042=-b ac ，也就是判别式042=-=∆ac b 。

如果从方程的角度来看，也就是研究“一元二次方程044)2(222=-++=++a b ac a b x a c bx ax ”的解的问题。

方程化简为22244)2(a b ac a b x --=+，即0444)2(2222=∆=-=+aa acb a b x ，a b x 2-=。

不管从形的角度还是数的角度，答案是一致的。

３、当抛物线a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=与x 轴有两个交点时，我们把这两个交点记为A )0,(1x ，)0,(2x B 。

若0>a ，则0442<-ab ac ，即042<-b ac ，也就是判别式042>-=∆ac b 。

如果从方程的角度来看，也就是研究“一元二次方程044)2(222=-++=++a b ac a b x a c bx ax ”的解的问题。

方程化简为22244)2(a b ac a b x --=+，即0444)2(2222>∆=-=+a a ac b a b x ，aa acb a b x 244222∆=-=+∴a b a a b x 222∆±-=∆±-=∴（这就是求根公式。

）有两个根，记a b x 21∆--=，a b x 22∆+-=所以Ａ点坐标（a b 2∆--，0），Ｂ点坐标（a b 2∆+-，0）。

我们还可以得到副产品“a b a b a b x x -=∆+-+∆--=+2221，ac a ac a b a b b a b a b x x ==∆-=∆-∆+=∆+-⋅∆--=⋅2222214444))((22”这就是韦达定理，又称“根与系数的关系”。

这是从配方法的角度解“一元二次方程02=++c bx ax ”的，解一元二次方程还有什么方法呢？在方程有根的情况下，我们可以因式分解。

所以一元二次方程一定可以写成如下形式：0))((212=--=++x x x x a c bx ax ，而212122121221)(])([))((x ax x x x a ax x x x x x x a x x x x a ++-=++-=--，由多项式的性质：如果两个多项式相等，那么这两个多项式的系数对应相等。

所以有：“b x x a =+-)(21，c x ax =21”，也就是“a b x x -=+21，ac x x =21”当然这里0≠a 。

（也可以通过求根公式得到。

），这就是韦达定理，即根与系数的关系。

根与系数的关系由图象也可以直接看出。

顶点C 点坐标可以表示为（221x x +，)2(21x x f +），而C 点坐标为（a b 2-，a b ac 442-），所以a b x x 2221-=+，a b x x -=+21。

（抛物线中的等腰三角形）Ａ点（a b 2∆--，0），Ｂ点（a b 2∆+-，0），是关于对称轴a b x x x 2221-=+=对称的，则D(221x x +,0)为AB 的中点，AD=BD。

而顶点C 点（a b 2-，ab ac 442-）在对称轴上,CD 为公共边。

对称轴与x 轴垂直，所以BDC ADC ∠=∠，由边角边易得ADC ∆≌BDC ∆，则AC=BC，ACB ∆为等腰三角形。

21221221214)()(x x x x x x x x AB -+=-=-==aa acb a ac b a c a b ∆=-=-=--444)(2222，何时ACB ∆为等边三角形呢？若0>a ，则由设计二利用轴对称最值模式探究M 点的坐标【设计说明】这个部分大致需要10分钟．学生先独立思考问题解法，如果前面此类最值问题学生曾经做过，这时请会解的学生暴露思维过程，展示他是如何想到的？受到什么启发？阅读材料可以增加一些数学的趣味性．学生先思考2分钟，请想到思路的同学表达如何求解？提及轴对称模式后引导学生复习“将军饮马”的轴对称最值模式，教者可出示阅读材料引导学生加深最值模式的印象：【阅读材料】相传，海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天，一位将军向他请教一个问题：如图3所示，将军准备从A 点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B 地，那么走怎样的路线最短呢？海伦稍加思索，建立以下数学模型，便解决了这个问题，请看：他把河岸看作直线L.如图4所示，先取A （或B ）关于直线l 的对称点A '（或B '），连接A B '（或B A '），与直线交于一点P ，则点P 就是将军饮马的地点，且PA PB +即为最短路线.图3图4再请学生继续讲解：如图5，明确点M 所在位置为BC 与直线x =1的交点后，如何求解？启发学生使用不同解法（解析法、相似法、三角函数法）：图5方法1（解析法）∵点A （－1,0），对称轴为x =1，∴点B （3，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b ，则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3．当x ＝1时，y ＝－2．所以M 点的坐标为（1，－2）．方法2（相似法）由图形易得△BMN∽△BCO，∴MN BNOC BO=，∴233MN=，∴MN=2，即M点的坐标为（1，－2）．方法3（三角函数法）在Rt△OBC中，tan∠OBC=1，于是在Rt△OMN中，tan∠OMN=MNNB=1，∴MN=2，即M点的坐标为（1，－2）．设计三从不同角度探究“∠PCB＝90º”【设计说明】引导学生思考5分钟，如图6过点C作BC的垂线交直线l与点P，如何求点P坐标呢？图6方法1：应用勾股定理构造方程设P点坐标为（1，y），则PC2＝12＋（－3－y）2，BC2＝32＋32；PB2＝22＋y2由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB为斜边，则有PC2＋BC2＝PB2．所以：[12＋（－3－y）2]＋[32＋32]＝22＋y2；解得y＝－4，所以P点坐标为（1，－4）．方法2：特殊直角三角形的识别在第（2）问中，我们发现了等腰Rt△BCO，易得也为等腰Rt△BCO，而PD=1，于是CD=1，即P点坐标为（1，－4）．方法3：解析法要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，又直线BC的解析式为y＝x－3，所以直线PC的解析式为y＝－x－3，当x＝1时，y＝－4，所以P点坐标为（1，－4）．设计四变式探究“将第（3）问改为∠CPB＝90º”【设计说明】将直角顶点变为P点，问题进入另一种类型．让学生先思考5分钟，学生汇报思路即可。

教师引导同学们发现问题本质，即下面解法2中提及的“这两个点是以BC为直径的⊙M与直线x=1的两个交点！”解法1：如图7，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，图7指出点Q 大致位置．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

二次函数命题研究（2015年南通中考28题）已知抛物线1222-++-=m m mx x y （m 是常数）的顶点P ,直线1:-=x y l （1）求证点P 在直线l 上；（2）当3-=m 时，抛物线与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，与直线l 的另一个交点为Q ，M 是x 轴下方抛物线上的一点，PAQ ACM ∠=∠（如图），求M 点坐标。