第4章有限元法基础——一维单元

k c1 c2 X k c3 X c4 X
3 k
2 3 m c1 c2 X m c3 X m c4 X m
c 求解 c1 ，c 2 ， 3 和 c 4 ，整理后得到由节点的值 （自由度）和形函数表示的单元温度分布：
(e) Si i S j j Sk k Sm m
对于（n－1）阶多项式形函数，有普遍的函数形式
( X X1 )( X X 2 )...( X X N ) SK ( X K X1 )( X K X 2 )...( X K X N )
三次形函数的性质：
（1） 形函数在相应节点上值为1，在另外一个相邻节 点上值为0； （2） 形函数之和为1； （3） 形函数关于X的导数和不为零。
( 2) ( 2) 2 ( 2) 3
（b）在X=8cm处的位移由单元(3)来表示：
( Y ( 3) S 3( 3) y3 S 43) y4
X X3 X4 X y3 y4 l l
10 8 85 Y 0 .3 0.6 0.48(cm) 3 3
整体坐标、局部坐标和自然坐标：
X X i
i
X X j
j
X X k
k
将节点的值代入以上方程中，产生三个方程：
i c1 c2 X i c3 X
j c1 c2 X j c3 X
wenku.baidu.com
2 i
2 j
k c1 c2 X k c3 X
2 k
求解 c1 ，c 2 和 c3 ，整理后得到由节点的值（自由度） 和形函数表示的单元温度分布：
用自然坐标表达形函数：
(1 1)
1 S i (1 ) 2 1 S j (1 ) 2
4.2 二次单元
• 以二次函数表示未知量的空间变化，所研究单 元的物理量和坐标X的关系为二次函数：
(e) c1 c2 X c3 X 2
用三个节点来定义一个单元。节点的值分别为:
第四章 有限元法基础 ——一维单元
本章介绍一维单元和形函数的概念和其性质。
一）线性单元 二）二次单元 三）三次单元
4.1 线性单元
带有等截面的悬臂梁的温度分布
位移函数 （温度函数）
• 所研究单元的物理量和坐标X的关系为线性关系

(e)
c1 c2 X
(4.1)
单元的端点条件由节点的量值 i 和 j 给出，
(e) Si i S j j Sk k
写成矩阵形式：
( e ) Si S
j
i Sk j k
其中，形函数为
2 Si 2 ( X X j )( X X k ) l
4 Sk 2 ( X X i )( X X j ) l
2 S j 2 ( X X i )( X X k ) l
写成矩阵形式：
( e ) Si Sm i j k m
S
j
Sk
其中，形函数为
Si 9 ( X X j )( X X k )( X X m ) 3 2l
9 S j 3 ( X X i )( X X k )( X X m ) 2l 27 S m 3 ( X X i )( X X j )( X X k ) 2l 27 S k 3 ( X X i )( X X j )( X X m ) 2l
(1) 线性形函数在相应的节点上值为1， 在相邻的节点上为0。
(2) 线性形函数的和为1。 (3) 线性形函数对于X的导数和为零。
例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。
求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。
解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示：
X3 X X X2 Y S y 2 S y3 y2 y3 l l 54 42 Y 0.06 0.3 0.22(cm) 3 3

(e)

i X j j X i X j Xi
Xj X

j i X j Xi
X
对 i 项和 j 项进行分组，我们得到：
(由节点的值和形函数表示单元的物理量)
(e)
X Xi ) j ( ) i ( X j Xi X j Xi
定义形函数 S i 和 S j :
X X i
i
X X j
j
X X k
k
X X m
m
（注：上图中T参数代表参数）
将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：
i c1 c2 X i c3 X c4 X
2 i
2 j
2 k
3 i
3 j
j c1 c2 X j c3 X c4 X
X X i
i
X X j
j
• 将节点的值代入方程（4.1）中，产生两个方程：
i c1 c2 X i
j c1 c2 X j
求解
c1 和 c2 ，得到：
c1 i X j j X i X j Xi
c2
j i X j Xi
• 由节点的值表示的单元的物理量的值为：
Si Xj X X j Xi Xj X l
X Xi X Xi Sj X j Xi l
式中，l 为单元的长度。因此由形函数表示的单元的物理量值为：

( e)
Si i S j j
(e)
写成矩阵形式：
Si
i Sj j
形函数的性质：
S i 的性质:
Si
X X j

Xj X l
X X j
0
Si
X Xi

Xj X l
X Xi
1
S j 的性质:
Sj
X X j
X Xi l
1
X X j
Sj
X Xi
X Xi l
0
X Xi
Si S j 1
d X Xi d Xj X ( )0 ( ) dX X j X i dX X j X i
二次形函数的性质： （1） 形函数在相应节点上值为1，在另外一个相 邻节点上值为0； （2） 形函数之和为1； （3） 形函数关于X的导数之和不为零。
4.3 三次单元
所研究单元的物理量 和坐标X的关系为三次函数：
(e) c1 c2 X c3 X 2 c4 X 3
用四个节点来定义一个单元。节点的值分别为
整体坐标X：描述每个节点、每个单元的方向。 局部坐标x和自然坐标ξ ：描述局部（单元）的行为。 自然坐标：局部坐标的无量纲形式。
一维单元：
整体坐标与局部坐标的关系： 局部坐标与自然坐标的关系：
X Xi x
2x 1 l
用局部坐标表达形函数： X j X X j ( X i x) x Si 1 (0 x l ) l l l X X i ( X i x) X i x Sj l l l