电工电子学第三章魏红,张畅

Im I
若用相量表示，则有
U I
． ．
U Ue
．
j 0
I Ie j 0
．


Ue j 0 Ie j 0
．



U j 0 e R I
．
即 U RI ． ． 同理有 U m RIm
（3.2.3）
8


交流电路的电压和电流是随时间变化的，故电阻所消耗的功率也随时 间变化。在任一瞬间，电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为瞬时功率。 用小写字母 p表示。即 （3.2.4） p ui U m sint I m sint
T

0
m
i

1 T1 2 I m [1 cos 2(t i )]dt T 0 2 Im 2
Um 2

同理，正弦电压和正弦电动势的有效值：
U
E
Em 2
（3.1.5） （3.1.6）
3





可见，交流电的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平 均值再取平方根。所以有效值也称为方均根值。有效值用大写字母表 示。虽然与表示直流的字母相同，但物理含义不同。 2. 周期、频率和角频率 正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期, 用T表示，单位为s （秒）。每秒内重复变化的次数称为频率，用 f表示，单位为 （赫 兹）。 周期与频率互为倒数关系，即： f 1 T （3.1.7） 我国电厂生产的交流电频率为 ，这一频率称为工业标准频率，简称 工频。 正弦量每重复变化一次，相当于变化了 弧度。为了避免与机械角度 混淆，这里称为电角度。正弦量每秒变化 次，则每秒变化的电角度 为 弧度。即每秒变化的弧度数称为正弦量的角频率或电角速度，单 位为 （弧度/秒）。 （3.1.8） 2π 2 πf

图3.1.3 初相不等的正弦量
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上图两正弦量的相位差为： (t u ) (t i ) u i （3.1.9） 上式表明，两个同频率正弦量之间的相位之差并不随时间改变，它等 于两者的初相位之差。当计时起点改变时，正弦量的相位和初相位跟 着改变，但两者之间的相位差保持不变。

图3.2.1 电阻元件的交流电路
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设电流为参考正弦量。即 i I m sint 则有 u Ri RI m sint U msint （3.2.1） 可见,电阻上的电流 与它两端的电压 是同频率同相位的正弦量。如图 3.2.1（b）所示，它们间的大小关系为 U m RI m 或 U m U R （3.2.2）

3.1 正弦交流电的基本概念

图3.1.2 正弦交流电的波形
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3.1 正弦交流电的基本概念
正弦电压和电流是随时间按照正弦规律变化的，称之为正弦交流电， 其波形如图3.1.2所示，正弦电压和电流等物理量都称为正弦量，其 表达式为： u U m sin(t u ) （3.1.1） （3.1.2） i I m sin(t i )
3.1.2 正弦交流电的表示法 1．瞬时值表示法





三角函数表示法和波形图表示法能完整和准确地表示正弦量的 特征，而且波形图表示法能直观地表示正弦量的变化过程，特别是便 于比较几个正弦量之间的相位关系。它们都是瞬时值表示法。 如果用三角函数式进行计算，虽然运算结果准确，但计算过程 非常繁琐；用正弦波形合成的方法，既繁琐也不准确。为了方便地分 析计算正弦交流电路，引入了正弦量的另一种表示法――相量表示法。 2．相量表示法 正弦量的相量表示法的实质是用复数来表示正弦量，它简化了正弦量 之间的运算问题，是分析正弦交流电路的有利率、初相位三要素来确定。而平面坐标内的一个 旋转矢量可以表示出正弦量的三要素，因此旋转矢量可以表示正弦量。 3. 2 纯电阻、纯电感、纯电容单相正弦交流电路 交流电路的分析主要有两个方面，一是确定电路中电压与电流 的关系。二是电路中能量的转换和功率的问题。 3.2.1 纯电阻交流电路
T
4



3. 相位、初相位和相位差

在正弦量的表达式u U m sin(t u ) ，i I m sin(t i ) 中， (t u ) 和 (t i ) 都是随时间变化的电角度，称为正弦量的相位或相位角，它 反映了正弦量的变化进程。相位的单位是弧度，也可用度。 t 0 时的相位叫做正弦量的初相位或初相位角。初相位确定了正弦 量在 t 0 时刻的值，即初始值。初相位与计时起点的选择有关，计 时起点选的不同，正弦量的初相位就不同，正弦量的初始值也就不同。 在同一个交流电路中，电压 u和电流i 的频率是相同的，但初相 位不一定相同。两个同频率正弦量的相位之差称为相位差。用 表示。 如图3.1.3所示。
2UIsin 2 t 1 U m I m (1 cos2t ) 2 UI (1 cos2t )



由瞬时功率 的表达式和波形图可知，除了过零点外，其余时间均为 正值。即 p≥0，这说明电阻元件从电源取用电能，并将电能转换为 热能，这是一种不可逆的能量转换过程。所以电阻元件是耗能元件。 瞬时功率只能说明功率的变化情况，实用意义不大。通常所说电路的 功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用大写字 母 P表示。即 1 1 (3.2.5) P pdt UI (1 cos 2t )dt
2




通常用有效值来表示正弦量的大小。 有效值是从电流热效应的角度规定的。设一个交流电流 和某个直流 电流 分别通过阻值相同的电阻 ，并且在相同的时间内（如一个周期 ） 产生的热量相等，则这个直流电流 的数值叫做交流电流 的有效值， T 2 2 按此定义，有： 0 Ri dt RI T 即 1 T 2 I i dt T 0 （3.1.3） 对于正弦电流 的有效值为 1 T （3.1.4） I [ I sin(t )]2 dt

幅值、角频率、初相位反映了正弦量的大小、变化的快慢和初始值等 正弦特征，因而幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。 下面讨论三要素以及相关量。 1. 瞬时值、幅值和有效值 正弦量在任一瞬间的数值称为瞬时值，用小写字母 u、i 来表示，其 中最大的瞬时值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母 U m 、、I m 来表示。