武大数学建模培训多目标决策模型层次分析法AHP代数模型离散

层次分析法建模

层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法

70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：

机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；

统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描

述（自然现象、社会现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法

（2）AHP建模方法基本步骤

（3）AHP建模方法基本算法

（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社

2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社

3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7

节，清华大学出版社

一、问题举例：

A ．大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ② 工作收入较好（待遇好）；

③ 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④ 单位名声好（声誉-Reputation ）； ⑤ 工作环境好（人际关系和谐等）

⑥ 发展晋升（promote, promotion ）机会多（如新单位或单位发展有后

劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序

Ｂ.假期旅游地点选择

暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：1P ：苏州杭州，2P 北戴河，3P 桂林，

到底到哪个地方去旅游最好要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层

准则层

方案层

C ．资源开发的综合判断

7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：

例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：

（S1）将决策解分解为三个层次，即：

目标层：（选择旅游地）

准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则） 方案层：（有1P ，2P ，3P 三个选择地点） 并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权

限重在人的思维过程中常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；

中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy 等人提出：一致矩阵法．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较

2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层n 个因素n C C C , ,,21 对上一层因素O 的影响（例如：

旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

采用的方法是：每次取两个因素i C 和j C 比较其对目标因素O 的影响，并用ij a 表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

)1( 1

,0 ,)(=⋅=

>=ij ij ij

ji ij nxn ij a a a a a a A 或 （1） 由于上述成对比较矩阵有特点： ji

ij ij ij a a a a A 1 ,0 , )(=>= 故可称A 为正互反矩阵：显然，由 ji

ij a a 1

=，即：1=⋅ji ij a a ，故有：1=ji a 例如：在旅游决策问题中：

2112=a =（费用）（景色）21C C 表示：⎩⎨⎧2O 1O 2

1的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（C C 故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112=a

1

4

413==a =

（居住条件）（景色）3

1

C C 表示：

⎩⎨

⎧1O C 4O (3

1的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标

C 即：景色为4，居住为1。

1

7

723==a =

（居住条件）（费用）3

2

C C 表示：

⎩⎨

⎧1O C 7O (32的重要性为（居住条件）对目标

的重要性为费用）对目标

C 即：费用重要性为7，居住重要性为1。

因此有成对比较矩阵：⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=113

5

13

1112513131211714

155337412121

A