高中数学论文 高等数学与初等数学的联系及一些应用

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浅谈高等数学在中学数学中的应用

浅谈高等数学在中学数学中的应用

浅谈高等数学在中学数学中的应用浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系,同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。

通过讨论可以得知,高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。

本文第三部分重点介绍了微积分,不等式,行列式,以及高等几何等在初等数学中的应用,探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。

另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。

关键词高等数学中学数学微积分行列式AbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculus目录摘要 .......................................................................................................................... .. (I)Abstract .............................................................................................................. .......................... II 第一章前言. (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (9)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (14)3.3 高等几何在初等几何的应用 (15)3.3.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (15)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (21)4.1 拉格朗日中值定理 (21)4.2 有关级数的应用 (24)总结 (27)参考文献 ........................................................................................................... 错误!未定义书签。

浅析高等数学在中学数学解题中的应用

浅析高等数学在中学数学解题中的应用

浅析高等数学在中学数学解题中的应用高等数学是中学数学教育中非常重要的一门课程,它涉及到了微积分、数理方程、概率论等等领域,对于提高中学生的数学素养和解题能力有着至关重要的作用。

本文将从四个方面来浅析高等数学在中学数学解题中的应用。

一、微积分的应用微积分是高等数学中非常重要的一个分支,它与中学数学的关系非常密切。

微积分的应用非常广泛,它可以用来求解函数的极值、函数的连续性、函数的导数等等,这些都是中学数学中常见的问题。

同时,微积分还可以用来研究物理问题中的运动、力学和热力学等方面。

例如,在中学数学中,我们经常需要求解函数的极值。

如果函数是单调上升或单调下降的,就可以通过一些简单的方法来解决问题。

但是,当函数的变化规律不是那么简单的时候,我们就需要使用微积分的方法来求解。

可以通过求导数、求二阶导数以及求极值等方法来解决这些问题。

二、数理方程的应用数理方程也是高等数学中的一个重要分支,在中学数学中也经常涉及到。

数理方程可以用来描述各种现象和问题,通过数理方程来描述问题可以更加准确地预测和解决问题。

例如,在中学数学中,我们经常需要解决一些常微分方程或偏微分方程。

这些方程可以用来描述物理、化学、生物等方面的问题。

通过解方程,我们可以求取某一时刻的状态或变化率。

三、概率论的应用概率论是高等数学的一个基础分支,在中学数学教育中也有非常重要的作用。

通过学习概率论,我们可以更好地理解和计算概率,从而更好地解决各种概率问题。

四、数学建模的应用数学建模是一种将现实问题抽象化并用数学语言表达的一种方法,它在中学数学教育中也具有非常重要的作用。

数学建模不仅可以增加学生对数学知识的深度理解,还可以培养学生独立思考和问题解决能力。

例如,在中学教育中,我们可以将各种实际问题抽象为数学问题,然后通过建模和求解来解决这些问题。

这样既可以增强学生的兴趣,又可以把理论知识应用到实际中。

总之,高等数学在中学数学解题中具有非常重要的作用,它不仅可以使学生更好地掌握数学知识,还可以提高学生的解题能力,增强学生对数学的兴趣。

浅谈高等数学在初等数学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用
高等数学是一门研究变量之间特定联系的数学分支,对于了解变量
之间联系的更深层次理解有巨大的帮助。

因此,高等数学在初等数学
中可以起到非常重要的作用。

首先,高等数学可以用来推导初等数学中的一些公式,如果用初等数
学加以运用无法得出正确结果,可以借助高等数学来解决,如借助有
理函数、导数等概念来推导公式,从而使初等数学中的公式更准确,
而不会存在错误。

此外,高等数学在初等数学中也可以用来解决一些复杂的问题,例如
非线性方程和非线性方程组,这些都是初等数学中无法直接解决的,
但是借助高等数学的多元函数分析理论,却可以计算出实际的解析解,让初等数学中的问题更加清晰简单,同时还能够解决难度更加高的复
杂问题。

除此之外,高等数学还可以用来计算、表示数值,并分析其特性,为
初等数学中的一些问题提供更多的信息和见解,以便加深对问题的理解。

总之,高等数学是一门极其重要的理论分支,对于初等数学而言,它
具有无法替代的作用,因此一定要学习,才能更好地理解和运用初等
数学。

高等数学与初等数学的联系及一些应用

高等数学与初等数学的联系及一些应用

高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要:众所周知,初等数学是高等数学的基础,高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展,中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法,并在教学中与初等数学的知识有机结合起来,那么将能提高学生的思维,开阔学生的思路,培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而,本文着重把高等数学与初等数学联系起来,通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词:高等数学;初等数学;应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科,将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱,在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操,也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解,是有一定的道理的。

中小学的数学,即使是高中数学的教学,它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理,由于学生的接受能力有限,更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解,才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论,才能认识到数学区别于其他学科的三种特性:抽象性、严谨性和高度的概括性。

2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容,学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了,“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系,加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌,但学生仍然晕头转向,不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

高等数学在中学数学中的应用----毕业论文

高等数学在中学数学中的应用----毕业论文

⾼等数学在中学数学中的应⽤----毕业论⽂【标题】⾼等数学在中学数学中的应⽤【作者】丁海云【关键词】⾼等数学中学数学联系应⽤【指导⽼师】陈强【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1 引⾔近⼏年来,⾼等师范院校数学系的不少⼤学⽣对学习⾼等数学存在不少看法,如“现在学的⾼等数学好像与初等数学没有多⼤联系”,“学习⾼等数学对今后当中学数学教师作⽤不⼤”,有的甚⾄提出“⾼等数学在中学教学⾥根本⽤不上”等等.这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样:“新的⼤学⽣⼀⼊学就发现,他⾯对的问题好像和中学⾥学过的东西⼀点也没有联系似的,当然他很快就忘了中学学的知识.但是毕业以后当了⽼师,他们⼜突然发现,要他们按⽼师的教法来教传统的初等数学,由于缺乏指导,他们很难辨明当前数学内容和所受⼤学数学训练之间的联系,于是很快坠⼊相沿成习的教学⽅法,⽽他们所受的⼤学训练⾄多成为⼀种愉快的回忆,对他们对教学毫⽆影响”.然⽽在新的数学教材中已经出现了⼀些基础的⾼等数学知识,可以说是数学发展的⼀种必然.现在的中学数学教师必须掌握⾼等数学的基础知识以适应数学发展和教材改⾰,⽽⾼等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等⽅⾯的作⽤就尤为突出了.本⽂探讨⼀些⾼等数学知识和⽅法在初等数学中的应⽤.2 初等数学与⾼等数学的联系⼀般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典⾼等数学时期、现代⾼等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”).⽆论何种⽅法,都把第⼆发展时期叫做“初等数学时期”,这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,⽽把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“⾼等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“⾼等数学”.理论意义下的初等数学和⾼等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法:所谓初等数学就是指常量数学,⾼等数学就是指变量数学,并把笛卡尔(R? Descartes)1637年发明的解析⼏何看成为出现⾼等数学或进⼊⾼等数学时期的标志.⽽教育意义下的初等数学和⾼等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的,即视普通初等、中等教育(即中、⼩学教育)阶段的数学主要内容为初等数学,视⾼等教育阶段的数学主要内容为⾼等数学.当然,由于社会和教育的思想、⽅法、⼿段尤其是教育内容都在不断发展,“初等数学”和“⾼等数学”也是⼀个变化的客体对象,两者没有严格的概念区别.事实上,数学科学是⼀个不可分割的整体,它的⽣命⼒在于各部分之间的有机联系,只从学科表⾯上看,难以看清两者之间的内在联系,这就需要深⼊研究初等数学,理清其中最基本的思想和⽅法,努⼒寻求初等数学和⾼等数学的结合点.2.1 知识⽅⾯的联系⾼等代数在知识上是中学数学的继续和提⾼.它能解释许多中学数学未能说清楚的问题,如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等.从以下⼏个⽅⾯说明:⾸先,中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.⾼等代数在拓宽多项式的含义,严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上,接着讲多项式的整除理论及最⼤公因式理论;中学代数给出了多项式因式分解的常⽤⽅法.⾼等代数⾸先⽤不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义,接着给出了不可约多项式的性质、唯⼀因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定;中学代数讲⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的求解⽅法及⼀元⼆次⽅程根与系数的关系.⾼等代数接着讲⼀元n次⽅程根的定义,复数域上⼀元n次⽅程根与系数的关系及根的个数,实系数⼀元n次⽅程根的特点,有理系数⼀元n次⽅程有理根的性质及求法,⼀元n次⽅程根的近似解法及公式解简介;中学代数讲⼆元⼀次、三元⼀次⽅程组的消元解法.⾼等代数讲线性⽅程组的⾏列式解法和矩阵消元解法、讲线性⽅程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为⾼等代数的数环、数域提供例⼦;中学代数学习的有理数、实数、复数、平⾯向量为⾼等代数的向量空间提供例⼦.中学代数中的坐标旋转公式成为⾼等代数中坐标变换公式的例⼦.其次,中学⼏何的内容体系主要是由平⾯⼏何、⽴体⼏何和平⾯解析⼏何三部分构成.平⾯⼏何研究由点的集合⽽形成的平⾯⼏何图形的性质;⽴体⼏何研究空间⼏何图形的性质诸如直线、平⾯及旋转体;平⾯解析⼏何研究形与数结合的问题,重点是⼆次曲线理论的研究.侧重研究直线间的合同、相似极度量关系,就⼆次曲线⽽⾔也侧重于定义的直观描述和各⾃所具有的性质.作为⾼等⼏何⽽⾔,侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及⼆次曲线⼀般理论的研究,具有普适性、全⾯性.中学⼏何学习的向量的长度和夹⾓为欧⽒空间向量的长度和夹⾓提供模型,三⾓形不等式为欧⽒空间中两点间距离的性质提供模型,线段在平⾯上的投影为欧⽒空间中向量在⼦空间的投影提供模型.第三,⾼等数学分⽀之⼀数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期,不仅内容上更加丰富,更在思想⽅法上发⽣了根本性的变化.它的形成是深深扎根于初等数学基础之上,它的⼀些基本概念如导数、积分、⽆穷级数的收敛等,都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的.如导数是在运⽤代数运算求直线斜率这⼀问题的基础上,发展成为运⽤极限⽅法求曲线上的点的斜率⽽形成的.可以这样讲,数学分析的形成是初等数学发展到⼀定阶段的必然结果.第四,集合论是关于⽆穷集合和超穷数的数学理论.它的建⽴是数学发展史上的⼀个⾥程碑,它给数学奠下了坚实的基础,其思想已渗透到数学的各个领域.它是整个数学的基础,它是数学的基本语⾔,同时也树⽴了现代数学的传统.我国中学数学中已经渗透了集合论的内容,如集合、映射及分类的思想,并使⽤了点集、解集合等集合论语⾔.综上所述可知,⾼等代数在知识上的确是中学数学的继续和提⾼.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等问题,⽽且以整数、实数、复数、平⾯向量为实例,引⼊了数环、数域、向量空间、欧⽒空间等代数系统.这对⽤现代数学的观点、原理和⽅法指导中学数学教学是⼗分有⽤的.2.2 思想⽅⾯的联系中学数学思想和⽅法主要体现为三个层次,第⼀层次指数学各分科的具体解题⽅法和解题模式,如代数中的加减消元法、代⼊消元法、韦达法、判别式法、公式法、⾮负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等;⼏何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助⾯的作法、⾯积⽅法、体积⽅法、图形及⼏何体的割补⽅法、三⾓形奠基法等等;还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式.第⼆层次指适⽤⾯很⼴的⼀些“通法”,如配⽅法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、⼀般化与特殊化法、参数法、反证法、同⼀法、观察与实验、⽐较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类⽐与联想、抽象与概括等等.第三层次指数学观念,即⼈们对数学的基本看法和概括认识,如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等.在⾼等数学教育活动中,上述数学思想和⽅法将得到进⼀步强化,⾼等数学各分⽀学科中⼏乎渗透了三个层次的思想和⽅法,在空间解析⼏何、⾼等⼏何、微分⼏何等学科中明显渗透着第⼀层次的思想和⽅法,第⼆、第三层次的思想和⽅法是数学学习和研究的重要⽅法,在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和⽅法的训练.除上述所举的思想和⽅法外,⾼等数学各分⽀学科中也渗透着许多新的思想和⽅法,如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性⽅程组的矩阵解法、⼆次型的正负判定法、线性变换法等等.现代中学数学和⾼等数学教学的⼀个显著特征就是注重知识形成过程的教学,形成和发展学⽣的数学思想和⽅法,会⽤数学思想和⽅法来解决问题.3 ⾼等数学在中学数学中的应⽤⽤⾼等数学的观点、原理和⽅法,认识、理解和解决中学数学问题是我们⼤多数⼈的共同⽬的,也是⾼等数学价值的⼀种体现,尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等⽅⾯,体现⾮常明显.3.1 ⾼等数学在中学数学教学中的作⽤我们知道,初等数学与⾼等数学之间⽆论在观点上还是在⽅法上都有着很⼤的区别.正因为这个原因,有许多学者就认为:学⽣不需要懂得什么⾼等数学知识,教师只要能照本本讲下去就可以了,其实这是⼀种误解.诚然,我们在课堂上不能把⾼等数学知识传授给学⽣,但我们作为⼀名教师倘若仅仅停留在本本上,那是很不够的,有时甚⾄连⾃⼰对⼀些初等数学问题也可能会感到费解,这是因为:⼀⽅⾯,⾼等数学是初等数学的继续和提⾼;另⼀⽅⾯,初等数学⾥很多理论遗留问题必须在⾼等数学中才能得以澄清.因此,我们对⾼等数学在初等数学教学中的作⽤不能掉以轻⼼,下⾯就这个问题谈谈笔者的⼀些初浅的体会.3.1.1 ⾼等数学原理与中学数学教学⾸先,注重⾼等数学对初等数学的指导作⽤,运⽤原理,把握本质.多数教育⼯作者实践中认识到:教师只有深⼈研究⾼等数学,才能深刻把握初等数学的本质,使数学课堂教学不失科学性,做到居⾼临下,把课教活.如有这样⼀道题⽬:例1 解⽅程.解此题若按三次⽅程求解相当困难.但若将“”看作“未知数”,看作常量,则是⼀个关于“”的“⼀元⼆次⽅程”,,解之得= .所以原⽅程的解为,.可以看出,该题很好的把握了题⽬的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚⾄常数看作变量,⽽将字母间的关系看作函数关系,运⽤变量和函数的观点去考察它,会使⼀些问题变得容易或为解题提⽰⼀种可⾏的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学⽣的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的⼀些知识内容不可能严谨透彻,例如⾼中代数中的指数函数(a> 0且a≠1),由于中学阶段指数概念仅推⼴到有理数,⽽指数函数的定义域是实数集.然⽽要在中学阶段讲清这个问题是不⼤容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,⼀些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作⽤,⼤都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过⾼等数学的知识加以证明和完善.可以说,运⽤⾼等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为⾼等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运⽤⾼等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提⾼⾼师⽣数学解题能⼒.其次,在教学中讲解⾼等数学在初等数学中的渗透,深化对中学知识的掌握⾼等数学中的概念、思想、⽅法很多已渗透到中学数学中,在教学中注意这⽅⾯的讲解,就能使学⽣充分地认识到⾼等数学对中学数学教学的指导意义,也说明教师充分认识到了“居⾼临下”的重要性.另外在中学数学中,对有些概念和⽅法没有加以解释和说明,就交给学⽣应⽤,虽然使⽤时能解决问题,但深⼊理解是不可能的.⽽作为未来的中学数学教师,对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的⽔平上,⽽应该更清楚和深刻.如:中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这⾥的“+”是什么意思?a与bi是两个不同单位的元素,怎么可以相加?因此,这⾥的“+”只能看作是将a与bi连结成⼀个整体的符号.那么,能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢?为此,就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集,+,分别表⽰复数的加法与乘法,则(C;+,)是⼀个域,叫复数域.在对应关系:(a,0) a之下可证集合与实数域同构,故可把(a,0)看成实数a,即(a,0)=a,从⽽复数域就是实数域的⼀个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数(0,1)和的性质相同.它是⽅程的⼀个根,令(0,1)=i,i为虚数单位.故任意复数(a,b)就可以写成(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号,它与实数算术运算中的“+”完全⼀致.3.1.2 ⾼等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透⾼等数学思想、观点,使它们相结合.现代⾼等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙⽽诱⼈的技巧和⽅法,使它更具有魅⼒.3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的⽅法,⽽且⼜引进新的思想⽅法———极限法.运⽤极限⽅法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“⾮均匀”等可实现相互转化.所以,从⽅法论的⾓度来讲,数学分析的有关知识和⽅法对理解和解决⼀些中学数学问题会起导向作⽤.例2 设有三次函数y= (p、q∈R),⽤微分⽅法求函数极值.解所以当>0时,⽆驻点,因⽽也⽆极值点;当=0时,驻点=0,但此时在=0两侧不变号,故=0不是极值点,即=0时⽆极值点;当 0时,有⼆驻点,⼜所以函数在处取得极⼤值在处取得极⼩值.这从思想、⽅法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运⽤这样的⽅法,将会使我们中学数学问题的解决思路⼤为开阔,⽅法更加灵活有效,从⽽摆脱对问题束⼿⽆策或盲⽬乱试的困境.另外⾼等数学知识进⼀步探讨和学习,可增强学⽣的求知欲,达到培养学⽣的学习兴趣.教师运⽤⾼等数学知识可以提⾼对学⽣提出的⼀些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 ⾼等⼏何思想与中学数学教学⾼等⼏何对教材内容的安排⼀般不同于中学⼏何,它是先给出定义、定理⽽后直观解释和证明,中学⼏何⼀般是先通过实例描述⽽后给出重要的概念和定理.前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同,对同⼀问题得出的结论相同.全⾯了解欧⽒⼏何、仿射⼏何、射影⼏何的联系与区别,从本质上认识,从整体上把握,⼜从局部上深⼊,才能深刻认识动与静、特殊与⼀般的辩证关系.就内容⽽⾔,⾼等⼏何⽐中学⼏何丰富,⽽且分析问题、处理问题的观点新颖,⽅法独特.如对偶原则,在研究点⼏何的同时,也研究了线⼏何的内容,对⼆次曲线的定义,既有⼏何定义,⼜有代数定义,开拓了认识眼界.从⽅法论来看,⾼等⼏何对具体问题处理的⽅法独特,⽽且灵活,对解决中学⼏何的有关命题提供了⼀种新的模式,也为中学⼏何的有关问题提供了知识背景.如利⽤中⼼射影投影⼀直线到⽆穷远来证明中学⼏何问题:若在平⾯上给定⼀个与直线有关的本质上是射影性质的⼏何命题,则只要恰当选择射影中⼼和向平⾯,总可以使直线的象直线是上的⽆穷远直线.由于⽆穷远直线的特殊性,有时可以将原命题化成上容易证明的新命题.既然射影变换保持射影性质不变,那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明.3.1.2.3 集合论的观点和⽅法与中学数学教学集合论是整个数学的基础,它不仅是数学的基本语⾔,⽽且树⽴了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学⽅法,对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有⼒研究⼯具,也是数学中⼗分重要的化归⽅法,利⽤映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去,从⽽实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射⽅法的基本思想是:当处理某问题甲有困难时,可联想适当的映射,把问题甲及关系结构R映成与它有⼀⼀对应关系且易于考察的问题及关系结构;在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,⼜可⽤来指导数学发现.如:数学模型⽅法. 数学模型⽅法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的⼀种数学⽅法.中学数学中的解应⽤题是最简单的数学模型⽅法.过程如下图:图1:运⽤数学模型⽅法解题过程框图3.2 ⾼等数学在中学数学解题过程中的作⽤初等数学是⾼等数学的基础,⼆者有本质的联系.将⾼等数学的理论应⽤于初等数学,使其内在的本质联系得以体现,进⽽去指导初等数学的教学⼯作,是⼀个值得研究的课题.俗话说,站得⾼才能看得远.因此,笔者认为,作为中学教师,除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等⽅法外,还应善于⽤⾼等数学⽅法解决中学数学问题,特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁,⽽⽤⾼等数学⽅法则易于解决的中学数学问题,从⽽拓⼴解题思路和技巧,提⾼教师专业⽔平,促进中学数学教学.下⾯略⼏举例说明之:3.2.1 变换⾓度,化繁为简例3 求满⾜⽅程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量,上⾯的⽅程只能确定之间的函数关系,⽽不能求出其具体的值.茅盾的根源在于:中学数学中求未知数总是⽅程的个数和未知数的个数相同才能求出,但题⽬⾥⾯却是两个未知数⼀个⽅程.可以得出启发:应当设法构造出两个关于的⽅程.在实数范围内,将⼀个等式分成⼏个等式,最常见的⽅法是利⽤⾮负数,即若⼏个⾮负数之和为零,则其中每个必须为零.根据此思路,可将⽅程变形为进⽽变为,由是锐⾓知,上式中两项均为负,故都都等于零.从⽽解得.另外,许多初等数学中的问题,往往蕴含着数学中的较⾼层次理论的再实践的问题.如能在教学中有意将⾼等数学的原理、⽅法应⽤于⼀些初等数学的证明、计算,不仅可以开拓学⽣的视野,⽽且可使学⽣体会到教师所使⽤的⾼等数学的原理、⽅法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉,进⽽更加有兴趣学习数学.3.2.2 利⽤函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的⼯具之⼀,有许多不等式在数学研究中有着重要的作⽤.但⽤初等数学知识证明⼀些不等式⽐较困难,下⾯利⽤⾼等数学的原理和⽅法,就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间(a,b)内的函数,若>0(或<0),则函数在(a,b)内严格增加(或严格减少),根据函数的单调性,可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0).证明:先证:.设,则在[0,+ )单调增加,⼜,当时,,即:.再证:.设,则, 当时,,即:.以上⽅法体现了⽤初等数学知识证明⽐较难的不等式时,可充分利⽤⾼等数学的原理和⽅法思考,进⽽收到很好的效果.3.2.3 利⽤⾼等⼏何思想解初等⼏何问题在中学数学教学中往往会碰到⼀些初等⼏何问题,欲⽤传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,⽽⽤解析法却轻⽽易举,可⼜不能将此法告知学⽣,⾯临如何将它转化为纯⼏何的证明⽅法的问题,往往⼗分棘⼿.但利⽤⾼等⼏何知识进⾏思考,可收到很好的效果.例5 过⼀圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平⾯⼏何范围内去研究,虽能找到多种不同的证法,如:为使、是全等三⾓形的对应边,宜将沿直线翻折⾄,则有, ,故知.这样,⼜将线段相等归结为⾓的相等,⽽⾓的相等关系在圆上⼜可利⽤圆周⾓定理进⾏转化,即因,故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易,如果我们利⽤⾼等⼏何的交⽐来证明,就⾮常容易了.证明:如图,E(AF,DB)=C(AF,DB) (1)E(AF,DB)=(AM,QB) (2)E(AF,DB)=(AP,MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM,QB)=(AP,MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x,MQ=y,AM=BM=a,则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论,⽽且还把结论推⼴到了⼆次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线,⼀对平⾏线或⼀对相交直线,结论仍成⽴.⾼等数学的许多⽅法和技巧都能直接应⽤于中学数学解题,常能起到以简驭繁,并能使问题得以深化和拓⼴的作⽤.以上只是给出两个实例说明⾼等数学能指导中学数学解题(初等代数和初等⼏何),且收到了很好的效果.在教学过程中,结合具体内容,不失时机地介绍给学⽣,对于丰富学⽣的解题⽅法,特别是作为教师在将来的数学教学中⽤它来预测答案,确定初等解法的路线,构造习题,检验结果都有重要的作⽤.3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作⽤微积分在⾼等数学⾥占有⾮常⾼的地位,它之所以能解决初等数学不能解决的问题,其根本原因是在初等数学的基础上它引进了⼀种新的思想⽅法——极限法.俗话说,站得⾼才能看得远.笔者认为,作为中学数学教师,利⽤微积分思想解决中学数学问题特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁,⽽⽤微积分思想则易于解决的中学数学问题,从⽽拓⼴解题思路和技巧,提⾼教师专业⽔平.例6 分解因式.解把看作变量,看作常量.令,求对的导数得=对上式取不定积分,得其中是常数,此处是含有变量的代数式,从⽽得恒等式.上式中令,得,于是= .⽤导数和积分进⾏因式分解,常可使解法简便、巧妙.3.3 ⾼等数学对中学数学问题的诠释在中⼩学数学教学中,⼈们往往重视对教学⽅法和解题思路的研究,这在许多教学经验⽂章中都可以看到.同时,⼈们也常常重视研究中⼩学数学教材的衔接问题以及初⾼中数学教材的衔接问题,这在许多教学研究⽂章中也可以看到.然⽽,在初等数学教学中涉及与⾼等数学衔接的问题却很少有⽂章谈到.笔者从阅读⼤量前辈的⽂章中总结于下,供分享.3.3.1 映射所引出的问题⾼中数学课本代数上册第⼀章幂函数、指数函数和对数函数中,叙述了映射、⼀⼀映射的概念.中学⼀级教师焦鸣讲述了他在课堂教学中曾经举的⼀个例⼦.例7 设集合A={弧CD上的点},集合B={弦CD上的点},试建⽴⼀个对应关系f,使得f:A→B为⼀⼀映射.解:如图3所⽰,弧CD上的点与弦CD上的点建⽴如下对应关系f:过弧CD上的任⼀点P作弦CD的垂线得垂⾜T,则这样建⽴的映射f:A→B是⼀⼀映射.举了上述例⼦之后,当时就有学⽣提出疑问:根据平⾯⼏何知识可知,弧CD的长度⼤于弦CD的长度,即弧CD上的点多于弦CD上的点.⽽由上述例⼦,它们之间的点⼀⼀对应起来了,这不是⽭盾了吗?回答这个问题确实⽐较困难,它超出了初等数学的范围,⽽要到⾼等数学中去寻找答案.为此,先引进⼀个定义: 图3定义1 对于两个集合A和B,如果存在对应关系f,使A和B成为⼀⼀对应,则A和B叫做具有相同基数的或对等的集合.记作:A B.这⾥应注意A B与A=B的区别.例如:设A= {1、2、3、4},B= {红、黄、⿊、⽩},C={东、南、西、北}.显然有A B,B C,C A.可以看出,有限集合之间对等的充要条件就是它们的元素个数相同.可以告诉学⽣的是:⾃然数集和有理数集是对等的,和⽆理数集是不对等的,和弦CD上的点所成的集合也是不对等的.3.3.2 ⾼等数学对中学数学概念的诠释在⾼中数学课本代数上册第⼀章中,⽤描述性的语⾔给出了函数y=f(x)的反函数的定义.在谈到函数y=f(x)时,把它称为反函数的“原来的函数”.然⽽,有的数学复习资料及有些数学教师为了⽅便,往往把它说成是反函数的“原函数”.就是这两个字之差,就出现了科学性的错误.如以下两例:“反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域不能由其解析式确定,⽽应当是原函数的值域”.“反函数的定义域是原函数的值域,必须通过求原函数的值域得到”.⽽关于“原函数”的定义在⾼等数学的数学分析中早有定论.定义2 设已知函数f(x),如果有函数F(x)使得=f(x),那么F(x)便叫做f(x)的原函数.(这⾥的是指F(x)的导数) 由此可见,“原函数”早就有它特定的含义,是不能随便乱⽤的.如果象⽂献上述两种说法,就是犯了科学性的错误.虽然学⽣由于所学知识的限制,不可能发现这个错误,但作为教师应该注意避免发⽣.这就提醒我们,在中学数学教学中,不能为了表达⽅便或其他原因,随意杜撰⼀个相关的词语来说明有关的问题.这样往往会在不知不觉中犯科学性错误,误⼈⼦弟.在这⾥我认为还是⽤“原来的函数”来表达⽐较贴切.从上述例⼦我们可以看到:中学数学教学虽然基本不涉及⾼等数学的内容,但⾼等数学起着潜在的作⽤.对于⼀个中学数学教师来说,只有掌握了相关的⾼等数学知识,才能在讲述有关内容时,做到讲得清楚,讲得透彻,讲得不含糊,不出现科学性错误.4 总结加强⽤⾼等数学的思想⽅法来指导中学数学研究,着眼研究中学数学与初等数学的接轨处,⽴⾜于更⾼观点,教学中⽤⾼等数学的⽅法去剖析初等数学,能培养学⽣⾯对新问题、新情境及综合运⽤所学知识解决问题的能⼒,对提⾼中学⽣的数学素养有着重要的意义;中学数教师善于⽤⾼等数学的观点处理中学数学中的问题,不但体现了⾼等数学具有居⾼临下的作⽤,⽽且对中学数学中有些较难的题型通过⽤⾼等数学的理论与⽅法较易解决,充分现了⾼等数学的优越性;⾼等数学能在更⾼层次上认识初等数学,特别是⼀些接轨处,不但让中学数学教师教轻松驾驭数学课堂,还使学⽣感到⾼等数学与初等数学存在联系,增。

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先,高等代数和中学数学都是数学的一部分,它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。

无论是高等代数还是中学数学,都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。

学习中学数学的时候,学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识,这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。

其次,高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法,而中学数学则
更加注重具体问题的解决。

在高等代数中,通过引入向量空间、线性映射
等概念,可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题,从而用更通用的方法来解决。

而在中学数学中,更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习,注重运用知识解决实际问题。

此外,高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。

例如,
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法,而在中学数学中,矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中,如平移、旋转、缩放等。

同样,
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用,如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。

最后,学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。

高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化,学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。

通过学习高等代数,学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识,从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。

浙江省宁波市鄞州高中数学论文 高等数学与初等数学的

浙江省宁波市鄞州高中数学论文 高等数学与初等数学的

高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要:众所周知,初等数学是高等数学的基础,高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展,中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法,并在教学中与初等数学的知识有机结合起来,那么将能提高学生的思维,开阔学生的思路,培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而,本文着重把高等数学与初等数学联系起来,通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词:高等数学;初等数学;应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科,将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱,在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操,也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解,是有一定的道理的。

中小学的数学,即使是高中数学的教学,它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理,由于学生的接受能力有限,更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解,才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论,才能认识到数学区别于其他学科的三种特性:抽象性、严谨性和高度的概括性。

2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容,学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了,“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系,加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌,但学生仍然晕头转向,不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

初等数学和高等数学的区别与联系_浅析高等数学与初等数学相关内容的比对论文

初等数学和高等数学的区别与联系_浅析高等数学与初等数学相关内容的比对论文

初等数学和高等数学的区别与联系_浅析高等数学与初等数学相关内容的比对论文论文关键词高等数学初等数学教材内容比对衔接论文摘要高等数学与初等数学教材内容的有效衔接问题,是切实提高高等院校高等数学课程教学质量的关键问题之一。

本文对高等数学与初等数学教材中有关“函数与极限”、“导数与微分”等内容及教学要求进行了比对,并给出了解决这些问题的一些建议。

经过调研了解到,2021年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后,新出版的高中教材与以前的教材相比,一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系,高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。

试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。

但是,大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。

这些问题影响了大学数学课程的教学质量,对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。

高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1“函数与极限”的衔接函数,是高中数学的重点内容,高考要求较高,学生掌握也比较牢固。

高等数学教材中的这部分内容基本相同,但内涵更丰富,难度也提高了。

(1)函数概念:在原有内容中,增加了几个在高等数学中经常用到的实例,如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。

因此,在学习中,函数概念部分可以简略,重点学习这几个特殊函数即可。

(2)初等函数:反三角函数要求提高,新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。

反三角函数的概念在高中已学过,但高中对此内容要求较低,只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。

而高等函数中要求较高,此处在学习中应补充有关内容:在复习概念的基础上,要求学生熟悉其图像和性质,以达到灵活应用的目的。

新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到,故应特别注意。

(3)函数极限:“数列极限的定义”,高中教材用的是描述性定义,而高等数学重用的是“”定义,此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念,因此在教学中应注意加强引导,避免影响函数极限后面内容的学习。

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学与高等数学之间的有效衔接是数学教育领域中一个重要的课题。

初等数学通常是指小学和初中阶段所涉及的基础数学知识,包括整数、分数、百分数、代数、几何、统计等内容。

而高等数学则是指大学阶段所学的数学知识,包括微积分、线性代数、离散数学、概率论等内容。

如何将初等数学的知识与高等数学进行有效的衔接,对于学生的数学学习和发展至关重要。

在这篇文章中,我们将就初等数学与高等数学之间的有效衔接路径进行深入探讨。

初等数学与高等数学之间的有效衔接需要建立在扎实的基础之上。

作为数学知识体系的起点,初等数学的学习对于学生后续的高等数学学习至关重要。

在学习初等数学的过程中,学生需要掌握良好的数学基本功,包括数字计算、代数运算、几何图形的性质等。

只有打好了这些基础,学生才能更好地理解和掌握高等数学的知识。

初等数学与高等数学之间的有效衔接需要形成一个逐步推进的学习路径。

在初中阶段,学生可以通过学习初等数学中的代数知识,如方程、不等式、函数等,为将来学习高等数学中的代数知识打下基础;通过学习初等数学中的几何知识,如图形的性质、相似、全等等,为将来学习高等数学中的几何知识打下基础。

在高中阶段,学生可以通过学习初等数学中的微积分知识,如导数、微分、积分等概念,为将来学习高等数学中的微积分知识打下基础;通过学习初等数学中的概率与统计知识,为将来学习高等数学中的概率论与数理统计知识打下基础。

初等数学与高等数学之间的有效衔接需要进行知识内容的延伸和深化。

在初等数学中,学生通常接触到的是一些基础的数学概念和定理,而在高等数学中,这些概念和定理将会得到更深入更广泛的应用和推广。

在衔接的过程中,教师可以适当延伸和深化初等数学的知识内容,引导学生逐步了解更加深入的数学知识。

在初等数学中学习了一元二次方程的解法,高等数学中可以引导学生了解到二元二次方程的解法,从而进行知识的延伸;在初等数学中学习了简单的概率计算,高等数学中可以引导学生了解到更加复杂的概率分布和统计方法,从而进行知识的深化。

高等数学知识在初等数学中的应用

高等数学知识在初等数学中的应用

高等数学知识在初等数学中的应用:高等数学知识在初等数学中的应用代写论文高等数学知识在初等数学问题中的应用具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.但解决的知识是中学所学习的初等数学知识,它对学生的数学语言信息的阅读、收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高,是考查数学创新能力的有效手段,是模式化训练“题海战术”所达不到的.此类问题对培养学生独立发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有很大的帮助.下面,笔者就对此类问题进行归类、例析,以期广大专家、同行对此类问题进行更深入的研究.一、知识背景的应用例1:已知函数,当f(x)=tanx,x∈(0,),x,x∈(0,),且x≠x,证明[f(x)+f(x)]>f().分析:本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景,以三角函数为知识载体,通过对正切函数和不等式的引入,使函数的凹凸性的性质得以充分体现.证明:因为x,x∈(0,),x≠x,所以2sin(x+x)>0,cosxcosx>0,且0<COS(X-X)<1,从而有0<COS(X+X)+COS(X-X)<1+COS(X+X),由此得tanx+tanx>,即>tan(),所以[f(x)+f(x)]>().思想汇报 /sixianghuibao/例2:设a>0,实数x,y,z满足x+y+z=a,x+y+z=.求证0≤x,y,z≤.分析:本题的知识背景是高等数学中的空间解析几何问题,x+y+z=a表示过三点(0,0,a),(0,a,0),(a,0,0)的平面,x+y+z=表示与坐标原点距离为的点(x,y,z)应满足的条件,即以O为圆心,为半径的球.如把已知方程中的z视为已知数,将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆,构造一个直线和圆有公共点得图形,初等方法就可以解决了.证明:将已知两方程分别化简为x+y=a-z,x+y=-z.因为此两式同时成立,所以在平面直角坐标系中,直线x+y=a-z和圆x+y=-z有公共点(即相交或相切),于是圆心(0,0)到直线x+y=a-z的距离不超过半径即≤,将该式化简得3z-2az≤0,即z(3z-2a)≤0,解得0≤z≤.同理可证0≤x≤,0≤y≤,所以0≤x,y,z≤.二、语言叙述的应用例3:设绝对值小于1的全体实数的集合为S.在S中定义一种运算*,使得a*b=.(1)证明:若a,b∈S,则a*b∈S;(2)证明:结合律(a*b)*c=a*(b*c)成立.分析:本题是以高等数学语言习惯定义一:种新运算,并将集合语言融入,来让学生证明结合率,使得问题变得新颖,有创意,能力要求较高.解:(1)要证明,若a,b∈S,则a*b∈S,即证明:当-1<A<1,-1<B<1时,有-1<<1成立,也就是证()<1成立.此式易用作差比较法证明(证明略).(2)两次用条件中的公式a*b=分别得:(a*b)*c=*c==a*(b*c)=a*==所以有(a*b)*c=a*(b*c).三、推理方法的应用例4:在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB+AC=BC.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则?摇?摇?摇?摇.”分析:此题主要是考查对勾股定理的实质性类比,类比是高等数学中最为基本的推理方法,从类比推理的方法和规律来看,应将由线段长度到三角形面积的升维类比,过渡到由指数的二次向指数的三次转变,可得结论是S+S+S = S,但恰恰相反,此结果是错误的.特别的,直三棱锥A-BCD的三条直棱AB、AC、AD的长度均为1,显然有S=S=S=,S=,而()+()+()≠(),但()+()+()=(),所以有S+S+S = S.对于得到S+S+S=S这个结果的学生来说,不是因为他们的类比推理能力差,而是其在推理过程中缺少检验和修正的环节.。

浅谈高等数学对中学数学的指导作用

浅谈高等数学对中学数学的指导作用

浅谈高等数学对中学数学的指导作用高等数学是高等教育的主要科目,它可以为中学数学起到引导指导作用。

首先,高等数学可以帮助中学生根据具体情况灵活运用中学数学中的公式、定理。

在高等数学中,理论体系更加完整,学生可以通过各种方式,从函数的基本定义、几何的极限理论,到复杂的实变函数、积分等,从而更好地熟悉并掌握中学数学中的所有知识点。

其次,高等数学能够激发学生的学习兴趣。

学习中,学生可以学习更多数据统
计处理和几何分析等复杂的高等数学知识,从而培养学习勤奋,开拓视野,巩固中学数学基础知识。

最后,高等数学也可以帮助中学生把学习到的内容和技术应用到实际生活当中。

学生不仅可以根据数理逻辑和用数分析来处理实际问题,还可以构建更复杂的数学模型来完成复杂的任务。

总之,高等数学为中学数学的学习指导作用是非常显著,可以有效地深化学生
的数学认知,增强学习的主动性,提高学习效率,实现数学服务社会的目标。

例谈高等数学与中学数学的联系

例谈高等数学与中学数学的联系

例谈高等数学与中学数学的联系高等数学与中学数学是一个相互衔接、相互联系的体系,它们之间的联系有以下几个方面:一、基础知识的延续高等数学是在中学数学基础上进行的深化和拓展,大量的数学基础知识来自中学数学。

例如,微积分的基础是函数的概念和极限的求解,而这些都是在中学数学中学习的;线性代数课程中的矩阵行列式、线性方程组、特征值等都是中学数学里矩阵的相关知识的拓展。

二、思维方式的转变高等数学需要运用更为深入的数学思维,这要求学生具备较为广泛的数学素养。

而这些素养是在中学数学学习中培养起来的,例如数学思维方法、解决问题的科学方法等。

对于高等数学学习而言,这种思维方法的转变尤为必要,在这个过程中,中学数学对学生有着不可或缺的作用。

三、方法技巧的运用高等数学中有许多需要掌握的技巧和方法,这些技巧和方法也在中学数学课程中被广泛讲解和运用,例如极值问题、本质上等式的问题等。

这些技巧和方法是帮助学生更好地理解更深入的数学知识的,同时能够帮助学生将更高难度的数学问题化为较为简单的问题来解决。

四、举一反三的思维方式在高等数学的学习过程中,一个重要的能力就是能够将一个问题解决的方法运用到另外一个问题上,这就需要学生具有举一反三的思维方式。

而这种思维方式不是突然形成的,而是在中学数学学习这个过程中慢慢培养的。

因此,学习中学数学有助于学生成为具备举一反三能力的综合性数学思维者。

五、探索和发现高等数学不仅仅是中学数学知识的补充和晋升,还需要学生具备科学的探索和发现能力。

这种能力的培养在中学的数学课程中得到体现,例如数学竞赛、奥数培训等都能够帮助学生探索和发现数学规律。

总体而言,高等数学与中学数学是密不可分的,它们之间存在着深厚的联系和互动,它们共同构成了一套完整的数学知识体系。

因此,中学数学的学习对于高等数学的学习具有重要作用,具备稳扎稳打、细节把控、坚实基础的中学数学学习过程是学生成功掌握高等数学的明确保障。

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学是数学中最基础的部分,包括了基本的算术、代数、几何等方面。

初等数学主要让学生掌握基本的数学知识和思维,培养逻辑思维和抽象思维能力。

而高等数学则是在初等数学基础上进一步发展成熟起来的,包括微积分、线性代数、数学分析、复函数论等方面。

初等数学和高等数学之间存在一定的距离,需要有适当的桥梁来构建两者之间的联系和衔接。

下面就是我对初等数学和高等数学之间有效衔接的几点看法:首先,初等数学和高等数学在学习方式和思维方法上的差异较大。

初等数学更强调的是对数学方法的掌握和运用,强调具体的实际问题与解决方法之间的联系。

而高等数学则更多地强调数学方法的理论性、抽象性和严谨性,旨在培养学生的数学思维和分析能力。

因此,我们需要通过深度的学习、反思和实践,逐渐理解和掌握数学的本质和普适性,从而在初等数学和高等数学之间进行顺畅的转换。

其次,初等数学和高等数学之间的联系和衔接主要体现在共性与差异上。

虽然两者之间存在一定的差异,但在很多基本概念和方法上仍然是相通、相互关联和互为基础的。

例如,高等数学中的微积分和初等数学中的函数及其变化率、导数等都有密切关系,并共同构成了数学知识结构的重要组成部分。

最后,有效的初等数学和高等数学衔接需要实现“以点带面”的理念,注重综合性和系统性。

我们需要重视数学知识之间的交叉与整合,通过大量的实例、题目、练习等形式,帮助学生将初等数学和高等数学的内容融会贯通,从而进一步推动数学能力的提高。

在实践中,我们可以通过以下几种途径实现初等数学和高等数学之间的有效衔接:首先,加强数学基础,掌握好初等数学的基本概念、方法和技巧,为高等数学的深入学习和掌握打下坚实的基础;其次,学习高等数学时注重理论性,掌握数学方法的本质和普适性,避免只停留在应用层面;第三,注重实践和实例,通过实际问题的应用和解决,巩固理论知识,并提升数学思维和能力;最后,加强对数学科学发展的认知、对数学学科的价值和重要性的认识和理解,从而激发学生学习数学的兴趣和热情。

高等数学在初等数学中的应用【文献综述】

高等数学在初等数学中的应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学高等数学在初等数学中的应用一、前言部分随着新课程改革的不断进行,高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大,所以,作为高中教师,就必须认真研究新的课程标准、新的考试大纲,认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学的知识方法在中学数学中的应用问题。

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的.与初等数学有着紧密的联系。

许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答。

因此,帮助学生学会用高等数学的思想、方法,从不同的角度去研究初等数学的问题。

这些问题可以是与中学教学内容密切相关,但又未能完全解决,而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题,也可以是初等数学中己经解决,而运用高等数学的知识,从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景,还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决)等等。

总之,应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质,以及与高等数学之间的内在联系,有了深刻的认识。

所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究。

主要论述的高等数学的方法有微积分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展开定理、线性方程组的方法。

本论文研究了初等数学、高等数学的概念、范畴、关系,能使学生对此三个相关联的概念加以区别;同时以大量、翔实的中学数学的范例为依据,尤其是近几年的高考试题,充分说明了高等数学方法在解决初等数学的相关问题上,具有明显的作用,并且尽可能地使用现有中学数学教材讲到的知识、方法。

本论文运用高等数学的先进观点地分析和处理中学数学内容的问题,主要表现为以下三个方面:一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去;二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义:三是指出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。

二、主题部分1. 初等数学[1]初等数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表层知识,另一个称为深层知识。

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学与高等数学是数学学科中的两个重要组成部分,初等数学是数学的基础,而高等数学则是对初等数学知识的深化和拓展。

初等数学包含了数学的基本概念、基本运算和基本解题方法,高等数学则包括微积分、线性代数、概率论等高级数学内容。

初等数学与高等数学之间的有效衔接是学生顺利学习高等数学的关键,本文将讨论初等数学与高等数学有效衔接的路径。

初等数学的基本知识是学生学习高等数学的基石。

初等数学包括了整数、有理数、代数式、方程与不等式、函数、三角函数等基本概念和基本运算规则。

这些基本知识是学生学习高等数学的基础,所以在初等数学的学习中,学生要牢固掌握这些基本知识,这样才能够更好地理解和应用高等数学的内容。

初等数学与高等数学之间的衔接可以通过数学建模问题来实现。

数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法,通过把实际问题转化为数学问题来解决。

在初等数学中,学生可以通过一些简单的数学建模问题,如寻找最优解、求解最大值最小值等问题,来体会数学与实际问题的联系。

而在高等数学中,学生可以通过更复杂的数学建模问题,如微积分中的极限问题、微分方程的应用等问题,来进一步深化对数学与实际问题的理解。

初等数学与高等数学之间的衔接还可以通过数学思维的培养来实现。

初等数学注重培养学生的基本数学思维能力,而高等数学则要求学生具备一定的抽象思维和逻辑推理能力。

所以在初等数学的学习中,学生要注重培养自己的数学思维能力,如观察、归纳、推理等能力。

在高等数学的学习中,学生要进一步培养自己的抽象思维和逻辑推理能力,如分析、证明、推导等能力。

通过培养数学思维能力,学生可以更好地适应和理解高等数学的内容。

初等数学和高等数学之间的有效衔接是学生顺利学习高等数学的关键。

通过牢固掌握初等数学的基本知识,通过数学建模问题和解决实际问题的方式来衔接初等数学和高等数学之间的知识,通过培养数学思维能力来适应和理解高等数学的内容,可以帮助学生更好地顺利过渡到高等数学的学习。

高等数学与中学数学教学衔接方法论文

高等数学与中学数学教学衔接方法论文

高等数学与中学数学教学衔接方法论文摘要:对高校理工科学生而言,高等数学是必修课程,在日常教学活动中,学生普遍认为高等数学难度较大,主要原因在于高等数学与中学数学严重脱节。

基于此,采取合理路径有效衔接高等数学与中学数学是强化高校数学教学质量的关键所在,重要性不容忽视。

关键词:高等数学;中学数学;衔接方法一、前言目前,很多步入高校的莘莘学子在学习高等数学这门课程时普遍觉得不适应,有的学生经历半个学期后依然难以达到入门水平,此类现象在高校中广泛存在。

基于此,为确保学生的水平从中学数学稳定过渡到大学数学,需要采取有效方法合理衔接中学数学与高等数学,推动高校教学质量更上一层楼。

二、高等数学与中学数学的不同之处1.知识的不同第一,知识具备一定重复性。

立足对现有教材的调查分析,学生对于很多知识已然有了了解认识,涵盖导数概念及计算、四则运算法则等具体知识点,学生却不知晓知识点具体的来龙去脉,难以熟练完成复杂函数极限与求导、求解等过程。

导数应用涵盖曲线的极值、切线、最值的求解以及函数单调性及生活最优化问题的判断,平面几何解析,向量线性运算,向量的定义及坐标解释等均属于明确的课标内容,同样也是高考主要内容,学生对这方面知识掌握比较好。

第二,知识有断层。

实践证明,高等数学与中学数学对应知识存在重复现象,始终存在难以衔接的问题,如球坐标和柱坐标的变换,这几类变换虽然均在中学数学中出现过,但大多数中学生却难以熟练掌握;多数学生均不知道三角函数正割以及余切、余割函数、积化和差、反三角函数、和差化积、万能公式等具体知识点,对此知之甚少。

同时,反双曲函数以及双曲函数均存在断层问题。

2.方法的不同纵观中学教学进程,教师教学时一般都是通过大量例题与习题实现某个知识点的提高与巩固,旨在让学生能够扎实掌握知识。

高校均采取的大班授课方法,涉及的教学内容非常多,知识点紧凑,一般均是在课堂上讲解具体的知识要点,较少进行课堂习题练习,较少针对对应习题进行分析,使学生需要在课后自行归纳总结与做题,对课堂内容的理解掌握上存在一定难度。

浅谈高等数学在初等数学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础,高等数学是初等数学的继续和提高,它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题,并使许多初等数学束手无策的问题,至此迎刃而解了。

本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的,与初等数学有着紧密的联系。

站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。

运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题,以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签:初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。

它源自于古希腊,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。

透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出许多学生经常提出这样的问题:我们为什么要学这么多高等数学?这些问题长期以来困扰着我们。

本文通过讨论初等与高等数学的联系,使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义,帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材,从而站得更高,对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪,延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。

这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学,也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何(平面几何和立体几何)和平面三角等内容。

二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。

其中极限论是基础:微分、积分是是核心,是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性,微分是从微观上揭示函数的局部性质,积分是从宏观上揭示函数的整体性质:级数理论是研究解析函数的主要手段:解析几何为微积分的研究提供了解析工具,為揭示函数的性质提供了直观模型:微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来,揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径1. 引言1.1 初等数学和高等数学的联系初等数学和高等数学在数学领域中扮演着不同但又相互联系的角色。

初等数学是学生在学习数学的最基础阶段所接触到的数学知识,包括算术、代数、几何等内容。

而高等数学则是在大学阶段深入学习数学理论和方法的学科,包括微积分、线性代数、概率论等内容。

虽然初等数学和高等数学的内容有着一定的差异,但它们之间也存在着紧密的联系。

在学习初等数学的过程中,学生打下了数学基础知识和解题方法,为将来学习高等数学奠定了基础。

初等数学中的概念、定理和方法往往是高等数学的基础和前提。

学习初等代数中的方程、不等式、函数等知识,可以为学习高等数学中的微积分和线性代数打下坚实的基础。

初等数学中培养的逻辑思维能力和解决问题的能力也是学生在学习高等数学时必不可少的素养。

初等数学和高等数学之间的联系是不可分割的,建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性也逐渐受到人们的重视。

通过巧妙设计教学内容和方法,帮助学生在初等数学和高等数学之间建立起衔接桥梁,可以提高学生学习数学的积极性和效果。

促进初等数学与高等数学的有效衔接也有助于培养学生的数学兴趣和自信心,使他们更好地适应未来的学习和生活。

1.2 建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性在于确保学生在数学学习过程中能够顺利过渡,更好地理解和掌握各种数学概念和方法,避免在学习高等数学时出现知识的断裂和混乱。

初等数学是数学学习的基础,是学生掌握数学思维和解决问题的关键。

而高等数学则需要学生具备扎实的初等数学基础,才能更深入地理解和运用各种数学知识和技巧。

建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性还在于促进学生数学素养的全面发展。

通过有效的衔接,学生可以逐步提升数学思维能力、解决问题的能力和创新能力,培养扎实的数学基础和自信心,为将来深造和工作打下坚实的数学基础。

教育工作者和家长都应重视初等数学与高等数学的衔接问题,注重打好数学学习的基础,引导学生建立正确的数学学习观念和方法,从而帮助他们更好地适应高等数学学习的要求,实现数学学科的有机衔接和发展。

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径

浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学和高等数学是两个紧密相连又有所不同的学科。

初等数学侧重于基本的数学概念和基础知识,高等数学则更注重抽象与理论的深度探究。

学习高等数学需要具备一定的初等数学知识,但两个学科之间的过渡不容易。

为了成功实现初等数学与高等数学之间的有效衔接,下面以以下五个阶段为例进行浅议:第一阶段:数学思维的培养学习初等数学的过程中需要在理解基本数学概念和运算基础上培养数学思维。

这种数学思维能力包括发现模式、合理推断、解决问题和创新思维,加强这些能力对学习高等数学有着很大的帮助。

第二阶段:数学基础知识的强化在初中和高中的数学核心课程中,我们可以学习到大部分数学知识和技能。

这些技能包括代数、几何、三角函数和微积分等方面。

学生可以通过解决问题、示例演练、课堂互动以及教师和同学的帮助来加强对数学基础知识的掌握。

第三阶段:课外拓展与延伸拓展和延伸课程被认为是初等数学到高等数学的桥梁。

通过参加科学竞赛、阅读数学文献、完成独立项目和讨论小组等,学生可以拓展他们对数学思想的理解,在学习开发性任务的过程中,涉及了多个数学部分的知识点,能够有效修补知识的漏洞。

第四阶段:引入几何与代数思想高等数学强调代数与几何思想之间的联系,可以通过引入简单的代数符号和几何图形来帮助学生更好地理解这种关系。

学生应该加强熟悉代数和几何符号的能力和手段,以便更好地理解高等数学中抽象的概念和思想。

第五阶段:交叉学科除了数学自身的知识以外,学生还应该加强与其他学科的交叉学习。

特别是在物理学和计算机科学等领域,数学的应用非常广泛。

学生可以通过跨学科的学习加深对数学的了解,并掌握它们与其他领域的互动关系。

总之,初等数学与高等数学的有效衔接需要学生具备数学思维、掌握基础知识、拓展课外知识、熟悉几何和代数思想、学习交叉学科等技能和手段的培养。

这些阶段是数学学科之间衔接的有效渠道,可以为学生打开通往数学高峰的大门。

高数与初中数学的衔接

高数与初中数学的衔接

高数与初中数学的衔接高等数学(简称高数)是大学数学的重要组成部分,而初中数学则是学生在中学阶段学习的数学内容。

高数与初中数学之间存在着衔接的问题,即高中毕业后学生在进入大学学习高数之前,需要充分理解和掌握初中数学的基本概念和方法。

本文将围绕高数与初中数学的衔接问题展开探讨,并提供一些方法和建议。

一、知识体系的延续高数是建立在初中数学的基础上的,二者有着紧密的联系。

初中数学主要包括代数、几何和概率统计等方面的知识,而高数则是在这些基础上进一步发展和深化。

因此,学生在学习高数之前,应该对初中数学的基本概念和方法有一个扎实的掌握。

在代数方面,初中数学涉及到代数式的展开、因式分解等内容,而高数会进一步引入函数、极限和导数等概念。

在几何方面,初中数学涉及到线、面、体的几何关系等基本概念,而高数则会引入曲线、曲面的研究。

在概率统计方面,初中数学主要涉及到概率的基本计算和统计图表的分析,而高数则会引入连续性随机变量、概率密度函数等进一步的内容。

二、概念的理解与扩展在高数学习中,初中数学中的一些概念会被进一步扩展和深化。

例如,在初中数学中,学生已经学习了函数的概念,而在高数中,学生需要对函数的性质、函数的极限以及导数等进行更深入的研究。

因此,学生在过渡阶段应该将初中数学中的概念进行有效的扩展和理解。

三、方法与思维方式的转变高数与初中数学不仅在内容上存在差异,还在学习方法和思维方式上有所不同。

初中数学注重的是基本概念和基本方法的掌握,而高数则更注重对抽象概念和证明方法的理解。

因此,学生在学习高数之前需要进行方法与思维方式的转变。

在初中数学中,学生通常会通过计算和应用来解决具体问题,在高数中则需要学会运用公式和理论来推导和证明问题。

这对于学生来说是一个挑战,但也是一个成长的机会。

学生可以通过多做习题和参加数学竞赛等活动来提升自己的抽象思维能力和证明能力。

四、培养兴趣与探索精神为了更好地衔接高数与初中数学,学生需要培养对数学的兴趣和探索精神。

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高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要:众所周知,初等数学是高等数学的基础,高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展,中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法,并在教学中与初等数学的知识有机结合起来,那么将能提高学生的思维,开阔学生的思路,培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而,本文着重把高等数学与初等数学联系起来,通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词:高等数学;初等数学;应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科,将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱,在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操,也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解,是有一定的道理的。

中小学的数学,即使是高中数学的教学,它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理,由于学生的接受能力有限,更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解,才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论,才能认识到数学区别于其他学科的三种特性:抽象性、严谨性和高度的概括性。

2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容,学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了,“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系,加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌,但学生仍然晕头转向,不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

如果他的数学分析中的映射掌握得好,完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。

法国数学家F·克莱因曾经说过:“教师应具备较高的数学观点,理由是,观点越高,事物就显得越简单。

”数学教育专业的学生绝不可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。

要使高等数学课程学有所用,必须要尽可能了解中学数学教材内容,明确教材改革方向和趋势,这样才能在教学中将两者有机结合起来,从而提高学生的思维,居高临下地解决问题。

3.高等数学与初等数学的联系高等数学是初等数学的延伸和发展,而初等数学却是高等数学的基础。

作为学习和研究数学的步骤,无疑应该是先学习和掌握初等数学,然后才能学习和应用高等数学。

反之,学习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握,可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力。

但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接,使不少大一新生一接触到“数学分析”、“高等代数”等这些数学课程,就对数学专业课产生了畏难、抵触情绪。

而且高等数学理论与中学教学需要严重脱节,许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学数学感到迷茫。

毫无头绪。

为了解决上述长期存在的问题,笔者认为研究高等数学与中学数学的联系是一项有效的措施。

4.高等数学在初等数学中的一些应用 (1).柯西——施瓦兹不等式应用柯西——施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式,它在中学数学中有广泛的应用。

设欧式空间n R ,令()n a a a ,,,21 =ξ,()n n R b b b ∈= ,,21η,则222,ηξηξ≤。

(等号当且仅当ηξ,线性相关时成立)在标准内积下,即()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++≤++,若1=i b ,则得()()22221221n n a a a n a a a ++≤++。

例[]81设c b a ,,都是正数,且1=++c b a 。

求证:9111≥++cb a 证明:在3R 中,使用标准内积。

设()c b a ,,=ξ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a 1,1,1η,则()cb ac b a c b a 11111122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=ηξ 9111,22=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅=c c b b aa ηξ由柯西不等式,得9111≥++cb a ,(等号当且仅当ηξ,线性相关时成立) 使用柯西——施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧式空间,特别是构造內积运算,并找到两个适当的向量。

做到这一点是有困难的,但是只要完成这个构造,余下的问题便很容易解决。

构造法就是在解决某个问题时,先构造一种数学对象,这种构造物有时看来与题意无关,但实际上恰与问题有内在的联系,而且在某种条件下正是题目所求,或者使我们可以用另一种方法求解问题,这时构造物就成了一种桥梁。

(2).矩阵的应用要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵,然后才能使用矩阵的性质和定理。

例]8[2. 已知1110,1,1-++===i i i u u u u u (1)。

能不能用一个显式表达n u 呢?解:首先把(1)式用矩阵来表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+1110111i i i i i i i u u u u u u u (2) 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+i i i u u U 1,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 则(2)式为1-=i i AU U ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11010u u U 于是01AU U =, 0212U A AU U ==,0U A U n n =问题转为求n A 。

先求A 的特征值与特征向量,并将A 对角化得1251251-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=P P A 。

其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=11251251P ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=-5251515251511P , 于是1251251-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=P P A nn所以⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++11220125125125125151n n n n n n n n U A u u U所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n U 。

在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质,得以求出通项。

而用初等数学的方法解的话,则要经过复杂的迭代才能解出此题,不如用矩阵的知识解题一目了然。

(3).微积分的应用例[]93. 证明:当b a <<0时aab a b l b a b n -<<- 证明:设x l y n =,它在区间[]b a ,满足拉格朗日中值定理的条件,有ξ1=--a b a l b l n n ,b a <<<ξ0,ξab a l b l n n -=- 由于a b 111<<ξ,故aa b a b b a b -<-<-ξ 即aab a b l b a b n -<<-。

若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手,将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的,因为有个对数函数在,而只要用拉格朗日中值定理,则此题便迎刃而解。

例[]44.设()x f y =是定义在区间[]1,1-上的函数,且满足条件: (i )()()011==-f f ; (ii)对任意的[]1,1,-∈v u 都有()()v u v f u f -≤-.(1) 证明:对任意的[]1,1-∈x ,都有()x x f x -≤≤-11; (2) 证明:对任意的[]1,1,-∈v u ,都有()()1≤-v f u f ; (3) 在区间[]1,1-上是否存在满足题设条件奇函数()x f y =,使得 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,v u 时,()()v u v f u f -≤-,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21,v u 时,()()v u v f u f -=-.若存在,请举一例;若不存在,请说明理由。

这是03年北京高考理科数学最后一道大题(第20题),是有关抽象函数不等式的证明题,认真分析研究该题中的(2),发现这是一道具有高等数学知识背景的试题,可以将这个问题推广:推广1. 函数()x f 定义在[]b a ,上。

()()b f a f =,且对任意的[]b a x x ,,21∈,都有()()2121x x x f x f -≤-,则必有()()221ab x f x f -≤-. 证明:(i )当221a b x x -≤-时,由()()22121ab x x x f x f -≤-≤-知,结论成立。

(ii )当221a b x x ->-时,不妨设21x x <,则221ab x x --<-,从而有()()()()()()2121x f b f a f x f x f x f -+-=-()()()()21x f b f a f x f -+-≤ 21x b a x -+-≤21x b a x -+-=21x x a b -+-= 2ab a b ---< 2ab -=. 综合可知,总有()()221ab x f x f -≤-。

由试题中函数()x f 满足的条件(ii )可联想到高等数学中的R.Lipschitz 条件: 对于[]b a ,上定义的函数()x f 和正数()10≤<αα,若存在正常数M 使不等式()()α2121x x M x f x f -≤-对[]b a x x ,,21∈都成立,则称函数()x f 在[]b a ,上满足α阶的R.Lipschitz 条件。

显然试题中的函数()x f 满足1阶的R.Lipschitz 条件。

下面进一步将其推广到()x f 满足α阶的R.Lipschitz 条件推广2. 函数()x f 定义在[]b a ,上,()()b f a f =,且()x f 满足α阶的R.Lipschitz 条件,即存在正常数M ,使得对于任意的[]b a x x ,,21∈,都有()()α2121x x M x f x f -≤-()10≤<α,则必有()()()ααa b M x f x f -≤--21212. ①证明:(i)当221ab x x -≤-时,若21x x =,则不等式①显然成立。

下设21x x ≠。

由于10≤<α得110<-≤α,2211<≤-α。

于是()()α2121x x M x f x f -≤-ααα⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-2221a b M a b M()ααa b M -=-212(ii)当221a b x x ->-时,不妨设21x x <,则221ab x x --<- 由10<<α知函数αx y =在区间[)+∞,0上是凸函数,于是()()221ααx b a x -+-()()α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤221x b a x ()αα212x x a b -+-=-αα⎪⎭⎫ ⎝⎛---<-22a b a b()ααααa b a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--2222,()()αα21x b a x -+-∴()ααa b -<-212 ②显然当1=α时,不等式②也成立。

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