2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析
一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x
y x x
+=
-的水平渐近线方程为
15
y =
4sin 11lim lim
5
5x x x
x y x
→∞→∞+
==-
（2）设函数2
30
1sin ,
0(),0
x
t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
⎰ 在x =0处连续，则a =
13
2200()1
lim ()lim 33
x x sm x f x x →→== （3）广义积分
22
(1)xdx
x +∞
=
+⎰
12
2222220
1
(1)11
11
0(1)2
(1)2(1)
22
xdx d x x x x +∞+∞
+∞
+=
=-⋅
=+
=+++⎰
⎰
（4）微分方程(1)
y x y x
-'=
的通解是x
y cxe -=)0(≠x
（5）设函数()y y x =由方程1y
y xe =-确定，则0
x dy dx
==e
-
当x =0时，y =1，
又把方程每一项对x 求导，y y
y e xe y ''=--
01
(1)1x x y y
y
y
y
e y xe e
y e xe ===''
+=-=-
=-+
(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .
-1 2
解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得
|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]
（A ）0dy y <<∆
（B ）0y dy <∆<
（C ）0y dy ∆<<
（D ）0dy y <∆<
由()0()f x f x '>可知严格单调增加
()0()f x f x ''>可知是凹的
即知
（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则
()x
f t dt ⎰是[B]
（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数
（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数
（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--
（C ）ln 21--
（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)
12g e
+= g (1)= ln 21--
（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=
（C ）23x
y y y xe '''+-=
（D ）23x
y y y e '''+-=
将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.
（11）设(,)f x y 为连续函数，则1
4
(cos ,sin )d f r r rd π
θ
θθγ⎰⎰等于[C]
（A ）
(,)x
f x y dy ⎰
（B ）
(,)f x y dy ⎰
（C ）
(,)y
f x y dx ⎰
（D ）
(,)f x y dx ⎰
（12）设(,)(,)f x y x y ϕ
与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条
件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]
（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则
（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则
(,)(,)
(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)
(,)0x x x
y y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λ
λϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪
'''=+=⎨⎪'==⎩令
今
000000(,)
(,)0,(,)
y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-
'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)
y x
x y f x y x y f x y x y ϕϕ'''=
'
今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y x
y f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.
(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得
c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,
用A 左乘等式两边,得
c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,
于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).
矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此
r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).
由此马上可判断答案应该为(A).
(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0
P = 0 1 0 ,则 0 0 1
(A) C =P -1
AP . (B) C =PAP -1
. (C) C =P T
AP . (D) C =PAP T
. 解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B =PA , 1 -1 0
C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1
三、解答题
（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当
30x x →时比的高阶无穷小.
解：泰勒公式23
31()26
x
x x e x o x =++
++代入已知等式得 23
323[1()][1]1()26
x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++
整理得
233111(1)()()1()22
6B
B x
C B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭
比较两边同次幂函数得
B +1=A ①
C +B +
1
2=0 ② 1
026
B C ++= ③ 式②-③得
120233
B B +==-则 代入①得
13A = 代入②得
16
C = （16）求arcsin x
x
e dx e ⎰.
解：原式=2
2arcsin arcsin ()x x x
x e t de e t dt e t =⎰⎰令
1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰
2arcsin arcsin 1(2)
2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰
2arcsin 1
t du
t u =-
+-⎰
arcsin 11
ln 21
t u C t u -=-
+++
arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，
计算二重积分2211D
xy
I dxdy x y +=
++⎰⎰.
解：用极坐标系2201D xy
dxdy x y ⎛⎫=
⎪++⎝⎭
⎰⎰
1
1
22
2
00
2
ln(1)ln 2122r I d dr r r π
πππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==
证明：（1）1lim n n x +→∞
存在，并求极限；
（2）计算1
1lim n x n n n x x +→∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界(
)0n x ≥
根据准则1，lim n n x A →∞
=存在
在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=
因此1lim 0n n x +→∞
=
（2）原式2
1
sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
为型
离散型不能直接用洛必达法则
先考虑 201
1s i n l i m l n 0
s i n l i m t t t t t t t e t →⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
→⎛⎫= ⎪⎝⎭
用洛必达法则201
1(cos sin )lim
sin 2t t t t t t
t t
e
→-=
23233
3
10()0()26cos sin lim
lim
22t t t t t t t t t t t
t t e
e →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
==
33
110()261lim
26
t t t t e
e →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-
==.
（19）证明：当0a b π<<<时，1
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a
ππ++>++
. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加
()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+
cos sin x x x π=-+
()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少
又()cos 0f ππππ'=+=
故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）
()()b a f b f a >>由则
得证
（20
）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f
=满足等式
222
20z z
x y
∂∂+=∂∂. （I ）验证
()
()0f u f u u
'''+
=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.
证：（I
）
z
z
f f x
y
∂∂''==∂∂
(
)()
22
2
32
222
2
2z
x y f f x x y x y ∂'''=+∂++
(
)
()
22
2
32
222
2
2z
y x f f y
x y x y ∂'''=+∂++
22220
()
()0z z
f x y f u f u u
∂∂''
+=+
=∂∂'''∴+
=代入方程得成立
（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u
'==-=-+=⎰⎰则
22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由
（21）已知曲线L 的方程22
1
(0)4x t t y t t ⎧=+≥⎨=-⎩
（I ）讨论L 的凹凸性；
（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.
解：（I ）
422
2,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t
-==-==-
2223
12110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处
(0L t ∴>曲线在处)是凸
（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+
⎪⎝⎭
，设2001x t =+，2
000
4y t t =-，
则2
2232
00
000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭
得2
00000020,(1)(2)0
01t t t t t t +-=-+=>∴=
点为（2，3），切线方程为1y x =+
（III ）设L 的方程()x g y =
则()3
()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰
(2
2
40221t t y x -+===+解出t 得
由于（2，3）在L
上，由(2
3221()y x x g y ===+=得可知
(3
09(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦
⎰
3
3
(102)4y dy =--⎰
3
3
3
3
220
2
(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-
8642
213333
=+-=-
(22)已知非齐次线性方程组
x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，
a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.
解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.
又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.
② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1
(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3
b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0
2 -4 2 → 0 1 -1 5 -
3 .
0 0 0 0 0 得同解方程组
x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T
和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T
,(4,-5,0,1) T
.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T
+c 1(-2,1,1,0)T
+c 2(4,-5,0,1)T
, c 1,c 2任意.
(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T
, α2=(0,-1,1)T
都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T
AQ =Λ.
解:① 条件说明A (1,1,1)T
=(3,3,3)T
,即 α0=(1,1,1)T
是A 的特征向量,特征值为3.又
α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征
值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:c α0, c ≠0.
属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(
33,33,3
3)T
. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-
22,22)T , η2=(-36,66,6
6)T
. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且
3 0 0
Q T AQ =Q -1
AQ = 0 0 0 . 0 0 0。