扩散系数

布朗运动的扩散系数

刘佳杰 201202008010

摘 要：布朗运动即为分子无规则的运动，布朗运动中的扩散系数与分子的大小形状有何关系，我们设计了试验，进行求解。 关键词：布朗运动 扩散系数 因素

一、气体扩散系数

挥发性液体之气体扩散系数可藉由Winklemann’s method 来检测，在有限内径的垂直毛细管中保持固定的温度和经过毛细管顶部的空气流量，可确定液体表面的分子扩散到气体中的蒸气分压。

已知质传速率：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Bm T A

A C C L C D 'N (1)

D = 扩散速率 (m 2/s)

C A = A 物质于界面间的饱和浓度 (kmol/m 3)

L =质传有效距离(mm)

C Bm =蒸气的对数平均莫耳浓度 (kmol/m 3)

C T = 总莫耳浓度＝C A +C Bm (kmol/m 3)

液体的蒸发速率：

(2)

ρL = 液体密度

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dL M ρ'N L A

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Bm T A

L C C L C D dt dL M ρ

(3)

at t=0 , L=L 0 做积分

t C C C ρMD 2L L Bm T A L 202⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- (4) ()()t C C C ρMD 2L 2L L L L Bm T A L 000⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-- (5) ()()0A T Bm L 0A T Bm L 0L C MDC C ρL L C C C MD 2ρL L t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=- (6)

M = 分子量 、 t = 时间 其中

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=a

abs T T T Vol kmol C 1 ， 其中 Vol ＝22.4 m 3 (7) T 1B C C = (8)

T a v a 2B C P P P C ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

(9) )C ln()C (C C B2

B1B2B1Bm -= (10) T a v A C P P C ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

（11） (二)线型最小平方法

最小平方法或称最小平方差法 (least-squares method) 的最基础型──线型的 (linear)。今有一组实验数据基本上呈现线型的态势，则若以b ax y +=表示直线方程式，其中a 代表斜率 (slope)，b 代表截距 (intercept)，则最小平方法就是在使误差的平方和达到最小，即使下式最小化 (minimize)

()[]2

n 1i i i b ax y E ∑+-== 因此

()()∑---==∂∂=n 1i i i i x b ax y 20a

E ()()∑---==∂∂=n 1i i i 1b ax y 20b

E 将上二式常规化 (normalize) 得

∑∑∑=+====n

1i n 1i n 1i i i i 2i y x x b x a

∑∑=+==n

1i n 1i i i y bn x a

据此b ,a 可由Cramer 法则求出

斜率()∑∑-∑∑∑-=22i i

i i i i x x n y x y x n a

截距()x

a y x n x y x y x

b 2i 2i i i i i 2i -=∑∑-∑∑∑∑-= 其中y 是y 的平均值，x 是x 的平均值。

一般而言，线性关系的良窈可由Ｅ值的大小来判断，但要注意y 值本身的大小。此外，统计学家尚有一个相关系数 (correlation coefficient) 的判断法，相关系数R 可由下式计算

yy xx xy

S S S R = 其中，()()∑∑∑-=-=n x x x x S 2i 2i 2i xx

()()∑∑∑∑-

=--=n y x y x y y x x S i i i i i i xy ()()∑∑∑-=-=n y y y y S 2i 2i 2i yy

线型关系的强弱度是

1. Ｒ等于±1为完美（perfect ）的线性关系。

2. Ｒ趋近±1为强烈（strong ）的线性关系。

3. Ｒ趋近0 为微弱（weak ）的线性关系。

三、实验装置：

本实验装置如下图所示，包括：

(1) 玻璃温度计

(2) T 型管

(3) 温度传感器

(4) 恒温槽(透明压克力箱)

(5) 泄水阀

(6)游标尺高度计

(7)游标尺高度计支撑架

(8)显微镜

(9)温度显示面板

(10)heater 开关

(11)电源线

(12)air pump 开关

(13)air pump (黑色压克力箱)

(14)浮动开关

(15)伸缩管

四、实验步骤：

丙酮部分注满于毛细管约35mm。

1.除去金属配件顶部螺帽，小心插入毛细管于橡胶环内直到平放于槽顶，

缓慢的调整T型管并接上气管于一端，并调整显微镜焦距对准水槽约

20-30 mm处。

2.对准垂直的T型管，直到显微镜可清楚看见管内变化情形。

4. 调整光标尺于事先安排的刻度并校正无误。

5.打开水槽温度(设定在40℃)达恒温。