人教全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总及详细答案

（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2) 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【解析】 【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4＞0，则方程有两个不相等 实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
解得：x1=﹣ 1 ，x2= 2 ． 33
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点， 然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择 即可.
2．已知：关于 的方程 （1） 用含 的式子表示方程的两实数根；
有两个不相等实数根
．
（2）设方程的两实数根分别是 ， （其中
6．（问题）如图①，在 a×b×c（长×宽×高，其中 a，b，c 为正整数）个小立方块组成的长 方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在 2×1×1 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2= 2 3 =3 条线段， 2
棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 3×1×1=3．
），且
【答案】（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0 是关于 x 的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴
或
，求 的值．
（II）
，∴
．
而
，∴
，
．
由题意，有
∴
即
（﹡）
解之，得
经检验 是方程（﹡）的根，但
，∴
【解析】
（1）计算△ =（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1＞x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即 可． 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、 保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
解得：k＜ 1 ， 4
即实数 k 的取值范围是 k＜ 1 ； 4
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2， ∵ x1+x2+x1x2-1=0， ∴ 1-2k+k2-1=0， ∴ k2-2k=0 ∴ k=0 或 2， ∵ 由（1）知当 k=2 方程没有实数根， ∴ k=2 不合题意，舍去， ∴ k=0． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和 根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别 式，以防错解．
2
∴ (x－1)2＝ ห้องสมุดไป่ตู้ . 2
∴ x－1＝± 3 ＝± 6 . 22
∴ x1＝1＋ 6 ，x2＝1－ 6 .
2
2
(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴ (x＋1)(x＋1－6)＝0.
∴ x＋1＝0 或 x＋1－6＝0.
∴ x1＝－1，x2＝5.
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 2 x m 0（m 为常数）
施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元.下图反映
了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
3．解下列方程： (1)2x2－4x－1＝0(配方法)； (2)(x＋1)2＝6x＋6.
【答案】(1)x1＝1＋ 6 ，x2＝1－ 6 (2) x1＝－1，x2＝5.
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣ 1 ，x2= 2 ． 33
【解析】 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可. 试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0， 分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0， 可得 3x+1=0 或 3x﹣2=0，
2
2
【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平
方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为 ab=0 的形式，然后求解即可.
试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝ 1 ，∴ x2－2x＋1＝ 3 .
2
x2 m 2 x m 0
根据题意得 2+t= m 2 ,2t=m， 1
解得 t=0， 所以 m=0， 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【点睛】 本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过 程中注意对△ 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用 根于系数关系列出方程组，在求解.
（2）设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到 2+t= m 2 ,2t=m,最终解出关于 t 1
和 m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明： △ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4， ∵ 无论 m 为何值时 m2≥0， ∴ m2+4≥4＞0， 即△ ＞0， 所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为 t，
5．关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 0 有两个不等实根 x1 ， x2 .
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）若方程两实根 x1 ， x2 满足 x1 x2 x1x2 1 0 ，求 k 的值. 【答案】(1) k＜ 1 ;(2) k=0.
4
【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式得出△ ＞0，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入 x1+x2+x1x2-1=0，即可 求出 k 值． 【详解】 解：（1）∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+（2k-1）x+k2=0 有两个不等实根 x1，x2， ∴ △ =（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，
（2）如图③，在 3×1×1 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2+3= 3 4 =6 条线 2
段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在 a×1×1 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有