2015年陕西省中考数学总复习课件：专题一 规律探索型问题

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1 2 2 3
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3 3 5 4
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4 5 7 7
2
3 4 6 ____ 6 ____
猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条
对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式 f＝m＋n－1 是 ．(不需要证明)
(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式 是否依然成立．
解：当 m，n 不互质时，上述结论不成立，如图
(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个
圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆 组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图
形由________个圆组成．
审题视角 探索数量规律题可以检验同学们观察 图形的变化规律 ，并从中找出其数量关系的能力 ， 由于没有现成的公式、定理可以套用 ， 对初中生 而言 ， 有一定的难度．但只要了解一些数列的有 关知识 ， 加上一些常用的分析方法 ， 解决这类问 题也是比较容易的．
图形规律型问题
【例 3】 (2013· 安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中 心称作如图①所示基本图的特征点 ，显然这样的基本图 共有 7 个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相 邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名 称 图① 图② 图③ 图④ „ 基本图的个 数 1 2 3 4 „ 特征点的个数 7 12 17
解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类 比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特 殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、 猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种 规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结 论的正确．
数字猜想型问题 【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数
的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区 别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应 思想和数形结合． 4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先
要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图
形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图 形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的 变化规律，进而解决相关问题．
陕 西 省
数
学
专题一 规律探索型问题
要点梳理 规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点 是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图 形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或 某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理 ，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一
般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律
”“图形规律”与“动态规律”等题型．
要点梳理 1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较 的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想， 然后通过适当的计算回答问题． 2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、 分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列 代数式即函数关系式为主要内容．
要点梳理
3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形
试题 (1)(2012· 桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据
此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是____．
(2)(2012· 黔东南)如图，第①个图有 2 个相同的小正方形，第②个 图有 6 个相同的小正方形，第③个图有 12 个相同的小正方形，第 ④个图有 20 个相同的小正方形，„，按此规律，那么第 个图有 ________个相同的小正方形．
【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正
确的变形．
2．(2013· 南宁 )有这样一组数据 a1，a2，a3，…an，满足以 1 1 1 1 a1＝ ， a a an＝ (n≥2 …， 下规律： 2 2＝1－a1， 3＝1－a2， 1－an－1
－1 ．(结果用数字表示 ) 且 n 为正整数 )，则 a2013 的值为 ____
32015－1 ____ ． 2
数式规律型问题 【例2】 (2014·扬州)设a1，a2，„，a2014是从1，
0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋„＋ a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋„＋(a2014＋1)2＝ 4001，则a1，a2，„，a2014中为0的个数是 165 ．
1．(2014·兰州)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了求1＋2＋22＋23＋„＋2100的值
，可令S＝1＋2＋22＋23＋„＋2100，则2S＝2＋22
＋23＋24＋„＋2101，因此2S－S＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋„＋2100＝2101－1， 仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋„＋32014的值是
律．
3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按 一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个 数有 485 ．
数形结合猜想型问题
【例 4】 (2014· 泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点
A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B，O 分别落在点 B1，C1 处， 点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位 置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的 5 A x . A( 位置，点 2 在 轴上，依次进行下去… 若点 3，0)，B(0，4)，则 点 B2014 的横坐标为
22
„
_
猜想：在图
示)
中，特征点的个数为
5n＋2
；(用 n 表
(2)如图，将图
放在直角坐标系中，设其中第一个基本 x＝ 3 2)， 图的对称中心 O1 的坐标为(x1， 则 x1＝ 1 ； 图 的对称中心的横坐标为 2013 3 ．
【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探
究题，难度中等，注意观察图形及表格，总结规
10070
．
【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变
化类，根据题意数形结合得出B点横坐标变化规
律是解题关键．
4．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格 中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f， (1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察 下列图形并完成下表：
m
n
m＋n
游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4
，乙报5，丙报6，„依次循环反复下去，当报出的数
为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得
1分．当报数结束时甲同学的得分是 336 分．
【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一
些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律
变化的因素，然后推广到一般情况．