1数学归纳法

பைடு நூலகம்
变式训练 2 平面内有 n(n∈N＋)条直线，其中任何 两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线 n2＋n＋2 把平面分成 f(n)＝ 个部分． 2
证明：(1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分， 2 1 ＋1＋2 而 f(1)＝ ＝2，∴命题成立． 2 (2)假设当 n＝k(k≥1)时命题成立，即 k 条直线把平 k2＋k＋2 面分成 f(k)＝ 个部分． 2
运用数学归纳法证明时，两个步
骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤
(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系．
变式训练1
求 证 ： (n ＋ 1)(n ＋ 2)„(n ＋ n) ＝
2n· 3· „· 1· 5· (2n－1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，
等式右边＝2×1＝2，
则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条 直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点； 又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同 于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平 面区 域 分为 两 部分 ， 故新增 加了 k＋ 1个平面 部 分．
【证明】 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部 分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1时命题成 立． (2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面 分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一个满足条件 的 任 一 个 圆 ， 则 这 个 圆 必 与 前 k 个 圆 交 于 2k 个 点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它 所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面 被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分， 即有
例1
1 1 1 【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝ ，右边＝ ＝ ， 1· 3 2· 1＋1 3 左边＝右边，∴等式成立． 1 1 (2)假设 n＝k(k≥1)时，等式成立，即有 ＋ ＋„＋ 1· 3· 3 5 1 k ＝ ， 2k－12k＋1 2k＋1 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1· 3· 3 5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3
思考感悟
在数学归纳法中的n0是什么样的数？
提示：n0 是适合命题的正整数中的最小值，有
时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，不一定
是从1开始取值．
课堂互动讲练
考点突破 用数学归纳法证明等式问题
1 1 用数学归纳法证明：n∈N＋ 时， ＋ 1· 3· 3 5 1 n ＋„＋ ＝ . 2n－12n＋1 2n＋1
∴等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)等式成立， 即(k＋1)(k＋2)„(k＋k) ＝2k· 3· (2k－1)成立． 1· 5„·
那么n＝k＋1时，
(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k
＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)＝2k ＋ 1· 3· „· 1· 5· (2k－
f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋ 1)＋2. 即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立． 根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－ n＋2部分． 【名师点评】 有关诸如此类问题的论证，关键 在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时 常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以 描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．
k2k＋3＋1 1 k ＝ ＋ ＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k2＋3k＋1 k＋1 ＝ ＝ 2k＋12k＋3 2k＋3 k＋1 ＝ . 2k＋1＋1 ∴n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N＋等式都成立．
【名师点评】
第四讲
数学归纳法证明不等式
一
数学归纳法
学习目标
1.理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法
证明等式问题；
2．学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除 性等问题．
学习目标 一 数 学 归 纳 法 课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
无限多个正整数 1．数学归纳法适用于证明一个与_______________ 有关的命题． 2．数学归纳法的步骤是： 验证当n＝n0(n0为命题成立的起始自 (1)( 归 纳 奠 基 )_________________________________ 然数)时命题成立 _________________； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N ＋ ，且k≥n0)时命题 推导n＝k＋1时命题也成立 成立，_________________________． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0 的自然数 都成立．
1(n∈N )能被x2＋3x＋3整除． ＋
【思路点拨】
证明多项式的整除问题，关键是
在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中凑出x2＋3x＋3.
【证明】 (1)当n＝1时， (x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3 整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能 被x2＋3x＋3整除，那么 (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2· (x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)· (x＋ 2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1
1)· [2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．
用数学归纳法证明几何问题
例2 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于
两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主 要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多 少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来 的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分 分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 k2＋k＋2 ＝ ＋k＋1 2 k2＋k＋2＋2k＋2 ＝ 2 k＋12＋k＋1＋2 ＝ . 2 ∴当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)可知当 n∈N＋时，命题成立．
用数学归纳法证明整除性
例3 用数学归纳法证明(x＋1)n ＋ 1 ＋(x＋2)2n －