[逐题详解]2015届深圳一模文科数学

图 1
D. a > 1, 0 < b < 1
【解析】A；由图象单调性可知, 0 < a < 1 ,由下移幅度可知 -1 < b < 0 ,选 A.
ì x + y £ 3 ï 5. 已知实数 x, y 满足不等式组 í x ³ 1 ,则 x + 2 y 的最大值为( ï y ³ 0 î
A. 2 B. 3 C . 4
æ 5π ö ÷ 的值； è 12 ø
æ π πö , ÷ ,求 sin 2 x 0 的值. è 12 3 ø
【考查意图】 本小题主要考查三角函数 f ( x ) = A sin ( w x + j ) 的图象与性质,同角三角函数的关系式,诱导 公式,两角和与差的正弦公式,考查了简单的数学运算能力. 【解析】(Ⅰ)依题意
2
2
2
2
【解析】C；对于选项 A, d1 = 1 < d 2 = 2 ,正确；选项 B,画图知 d1 £ 1 , d 2 = 项 C, d1 =
2 ,所以 d1 < d 2 ,正确；选
2 2 2 m 2 + 4 ( m - 1) - 1 ,因为 é( m - 2) + 4m2 ù - ém2 + 4 ( m -1) ù ë û ë û m + 1 > 2 , d1 < d 2 ,故选 选项 D, d1 = 1 , d 2 = = 4 m > 0 ,所以 d1 > d 2 ,故选项 C 对应命题为假命题； 2
π ö æ = p ,所以 w = 2 , f ( x ) = 2sin ç 2 x + ÷ ……………3 分 w 3 ø è 7π π æ 5π ö æπ ö 所以 f ç = 2 sin ç + π ÷ = -2sin = -1 ． …………………5 分 ÷ = 2sin 6 6 è 12 ø è6 ø
{0, 2}
C． {1,5}
【解析】C； ð } ,选 C. U A = {1,5 2. 已知 i 为虚数单位,复数 i A. i 【解析】D； i
2 2
( i - 1) 的虚部是(
) C. 1 D. -1
B. - i
( i - 1) = - ( i - 1) = 1 - i 的虚部为 -1 ,选 D.
【解析】D；依题意 f ¢ ( x ) = 1 称 C C 1 比 2 更靠近点 M ,下列为假命题的是( A. C 更靠近 M (1, - 2 ) 1 : x = 0 比 C 2 : y = 0
x B. C 更靠近 M ( 0, 0 ) 1 : y = e 比 C 2 : xy = 1
A.
2 - 1
B.
5 + 1 2
2 + 1
D .
5 - 1
【解析】C；依题意 PF1 = F1 F2 = 2c , PF2 = 2 2c ,由双曲线定义得 PF2 - PF1 = 2 2c - 2c = 2 a ,即
(
2 - 1 c = a ,所以 e =
)
)
D. 5
【解析】D；可行域为三角形 ABC 区域,其中 A (1, 0 ) , B ( 3, 0 ) , C (1, 2 ) ,当直线 z = x + 2 y 过 C 时取得最 大值 5 ,选 D. 6. 如图 2,三棱锥 A - BCD 中, AB ^ 平面 BCD , BC ^ CD ,若 AB = BC = CD = 2 , 则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD )的面积为( A. ) D. 2 3
O g B 图 3
.
A D E C
(
)
AD = r , OB = r ,因为 RtD ABC 中, ÐA = 30° , BC = 6 ,所以 AB = 3r = 12 , 所以 r = 4 .又 ÐAOE = 60° ,所以 DODE 为正三角形,从而 DE = 4 .
2 î3 - x , x < 0
S = 0, n = 1, i = 1
,则 f ( 2015 ) + f ( -2015 ) =
2 2
.
S = S + n n = n + 2 i = i +1
【解析】 0 ；当 x > 0 时, f ( - x ) = 3 - ( - x ) = 3 - x = - f ( x ) ；当 x < 0 时,
B 图 2 C D A
2
B. 2
Cwenku.baidu.com 2 2
【解析】A；易知三棱锥的四个侧面均为直角三角形,侧视图也为直角三角形,两直角边 的长分别为 AB = 2 , DBCD 的斜边 BD 上的高为 2 ,故所求面积为 2 ,选 A.
7. 在 DABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ,若 A = 60° , a = 3 , b + c = 3 ,则 DABC 的面积为 ( A. )
)
C. 若 C 比 C 更靠近点 M ( m, 2 m ) ,则 m > 0 1 : ( x - 2 ) + y = 1 2 : x + ( y - 2 ) = 1
2 D. 若 m > 1 ,则 C x 比 C ) 1 : y = 4 2 : x - y + m = 0 更靠近点 M (1, 0
2015 年深圳一模文科数学全解析
【详解提供】佛山市南海区南海中学 钱耀周 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 U = {2, 0,1,5} ,集合 A = {0, 2} ,则 ðU A = ( A. Æ B. ) D． {2, 0,1,5 }
(二) 选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） æ pö 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中,点 ç 2, ÷ 到直线 r cosq = 3 的距离等于 è 3ø
【解析】 2 ；题意即点 1, 3 到直线 x = 3 的距离,显然为 3 - 1 = 2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在 RtD ABC 中, ÐA = 30 ° , ÐC = 90° , D 是 AB 边上的一点,以 BD 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 E .若 BC = 6 ,则 DE = 【解析】 4 ；连结 OE ,则 OE ^ AC ,设 OE = r ,则 OA = 2r ,又 OD = r ,从而 .
(Ⅱ)方法一:由 f ( x0 ) = 3 得 sin ç 2 x0 + 又 x0 Î ç
2p
æ è
πö 3 , ÷= 3 ø 2
…………………………6 分
π æ p ö æ π πö , ÷ ,所以 2 x0 + Î ç , p ÷ , ……………………………………………8 分 3 è 2 ø è 12 3 ø 3 π 2 p p 所以 2 x0 + = ,即 2 x0 = ,………10 分 所以 sin 2 x0 = .…………12 分 3 3 3 2 πö 3 æ 方法二:由 f ( x0 ) = 3 得 sin ç 2 x0 + ÷ = , …………………………6 分 3 ø 2 è π æ p ö æ π πö 又 x0 Î ç , ÷ ,所以 2 x0 + Î ç , p÷, ……………………………………………8 分 3 è 2 ø è 12 3 ø
16.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) = 2sin ç w x + (Ⅰ) 求 f ç
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. æ è π ö ÷ ( w > 0 )的最小正周期是 π . 3 ø
(Ⅱ) 若 f ( x0 ) = 3 ,且 x0 Î ç
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输出 S
结束
图 3
不满足 i > 5 ,得 i = 3 , n = 5 , S = 4 + 5 = 9 ；不满足 i > 5 ,得 i = 4 , n = 7 , S = 9 + 7 = 16 ； 不满足 i > 5 ,得 i = 5 , n = 9 , S = 16 + 9 = 25 ；不满足 i > 5 ,得 i = 6 , n = 11 , S = 25 + 11 = 36 ； 满足 i > 5 ,退出循环,输出 S = 36 .
) B. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
­ O y 1 x
3. 在四边形 ABCD 中,“ AC = AB + AD ”是“ ABCD 是平行四边形”的( A. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
x
【解析】B；考查平面向量的加法法则,选 B. 4. 若函数 y = a + b 的部分图象如图 1 所示,则( A. 0 < a < 1, -1 < b < 0 B. 0 < a < 1, 0 < b < 1 ) C. a > 1, -1 < b < 0
f ( - x ) = ( - x ) - 3 = x - 3 = - f ( x ) ,故 f ( x ) 为奇函数,所求为 0 .
12. 将容量为 n 的样本中的数据分成 5 组,绘制频率分布直方图.若批1 至第
2
2
i > 5
是
否
5 个长方形的面积之比 3 : 4 : 5 : 2 :1 ,且最后两组数据的频数之各等于 15 , 则 n 等于 . 3 【解析】 75 ；依题意 n = 15 ¸ = 75 . 15 13. 执行图 3 的程序框图,则输出 S 的值为 . 【解析】 36 ；开始时, S = 0 + 1 = 1 ,不满足 i > 5 ,得 i = 2 , n = 3 , S = 1 + 3 = 4 ；
1 1 2 1 ³ 0 在 ( -¥, -1) 上恒成立,即 £ x ,所以 £ 1 ,解得 a < 0 或 a ³ 1 . 2 ax a a 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M 与曲线 C i 上任意一点距离的最小值为 d i ( i = 1, 2 ).若 d1 < d 2 ,则
1 2
3 ,故选 B. 2
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8. 已知 F 1 , F 2 分别是双曲线 C :
x 2 y 2 = 1 ( a , b > 0 )的左、右焦点,点 P 在 C 上,若 PF1 ^ F F 1 2 ,且 a 2 b 2
) C.
PF1 = F1 F2 ,则 C 的离心率是(
3 4
B.
2
3 2
2 2
C.
3
2
D. 2
2
【解析】B；由余弦定理得 a = b + c - 2bc cos A ,代入数据得 3 = b + ( 3 - b ) - b ( 3 - b ) ,整理得 b = 1 或 2 ,故 a = 3 , b = 1 , c = 2 或 a = 3 , b = 2 , c = 1 ,面积均为 ´ 1´ 3 =
( m - 2 ) + 4m 2 - 1 , d 2 =
2
项 D 对应命题为真命题.从而选 C.
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)
11. 已知函数 f ( x ) = í
开始
ì x 2 - 3, x > 0
c 1 = = 2 + 1 ,故选 C. a 2 - 1
) D.
9. 函数 f ( x ) = x + A. [1, +¥ )
1 在 ( -¥, -1) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ax
B.
( -¥, 0 ) U ( 0,1]
C.
( 0,1]
( -¥, 0 ) U [1, +¥ )
所以 cos ç 2 x0 +
æ è
πö πö 1 2 æ ÷ = - 1 - sin ç 2 x0 + ÷ = - ,…………………………………………10 分 3ø 3ø 2 è