功和能课后习题答案

ｄ
１ ２
λ（ ｌ１ ＋
ｌ２ ） ｖ２
根据动能定理 ：
ｄ
１ ２
λ（ ｌ１
＋
ｌ２ ） ｖ２
＝
λ（ ｌ２ ＋ ｘ ） ｇｄ ｘ － μλ（ ｌ１ － ｘ ） ｇｄ ｘ
依题意知 ：ｘ ＝ ０ 时 ，ｖ ＝ ０ 积分上式
∫ ∫ ｖ ｄ ０
１ ２
λ（ ｌ１
＋
ｌ２ ） ｖ２
＝
ｘ
［λ（ ｌ２ ＋ ｘ ） ｇｄ ｘ － μλ（ ｌ１ － ｘ ） ｇｄ ｘ ］
统 ，各种形式的能量可以互相转换 ，但它们的总和是一个常数 ．
二 、典型例题
３唱１ 一弹簧的质量为 ｍ ，原长为 ｌ０ ，劲度系数为 ｋ ．其一端固定 ，另一端系一
质量为 Ｍ 的小球 ，置于光滑的水平桌面上 ，
弹簧的伸长是均匀的 ．如图 ３唱１所示 ，现将小
球拉至 Ａ 点 ，然后无初速地突然释放小球 ，
ｘ ｌ２
ｇ
－
μ
ｌ１ ｌ１
－ ＋
ｘ ｌ２
ｇ
ｄｘ
＝ ｌ１
ｇ ＋
ｌ２
［（１
＋
μ）ｘｄ ｘ ＋
（ ｌ２
－
μｌ１ ）ｄ ｘ ］
当 ｘ ＝ ０ 时 ，链条速度 ｖ ＝ ０ 积分上式
∫ ∫ ｖ ｖｄｖ ０
＝
ｇ ｌ１ ＋ ｌ２
ｘ
［（１ ＋
０
μ）ｘｄ ｘ ＋
（ ｌ２
－
μｌ１ ）ｄ ｘ ］
得
ｖ＝
ｌ１
ｇ ＋
ｌ２ ［（１
三 、习题详解
３畅１ 选择题 （１）把一质量为 ｍ ，各边长均为 ２ ａ 的均质货箱 ，由位置（Ｉ）翻转到位置（ＩＩ） ，则 人力所作的功为（Ｄ） ．
图 ３畅１ （１ ）
（Ａ）０ （Ｂ）２ ｍｇａ
（Ｃ） ｍｇａ
（Ｄ）（ ２ － １） ｍｇａ
（２）宇宙飞船关闭发动机返回地球的过程 ，可以认为是仅在地球万有引力作用
· ５１ ·
角度
ｃｏｓ
－
１
１１ １２
以后
，大环对小环的作用力则是指向大环中心的
．
解 设小环在 Ｂ 点时 ，弹簧与竖直方向夹角为 φ ，对大环中心的张角为 θ ，小
环受三个力作用 ：重力 ｍｇ ，弹簧的弹性力 Ｔ ，大环对小环的作用力 Ｎ（假定沿半径
向外为正向） ．
设小环在 Ｂ 点的速度为 ｖ ，由牛顿第二定律得
所以
Ｎ ＝ ｍ２ｇ（１２ｃｏｓ φ － １１）（２ｃｏｓ φ ＋ １）
（４ ）
（１ ）对于大环最低点
Ａ
，φ ＝
π ２
，θ ＝ ０
，代入式 （３ ）得
ｖＡ
＝
３ ２
２ ａｇ
（２）由式（４）可知 ：当 ｃｏｓ φ ＝ １１１２时 ，Ｎ ＝ ０ ． 当 ０ ＜ φ ＜ ａｒｃｃｏｓ １１１２时 ，２ｃｏｓ φ ＋ １ ＞ ０ ，１２ｃｏｓ φ － １１ ＞ ０ ，这时 Ｎ ＞ ０ ，即大环对小
１ ６
ｍｖ２
＋
１ ２
Ｍｖ２
取小球与弹簧为系统 ，因为内力为保守力 ，外力不做功 ，故系统的机械能守恒
解得
１ ２
ｋｌ２
＝
１ ６
ｍｖ２
＋
１ ２
Ｍｖ２
＋
１ ２
ｋ（ｙ
－
ｌ０ ）２
ｖ＝
３ ｋ ［ ｌ２ － （ｙ － ｌ０ ）２ ］ ３Ｍ ＋ ｍ
说明 通常关于弹簧的问题都不考虑其质量 ．但本题给出了一个要考虑弹簧质量
试求小球经过位置 Ｂ 时的速度 ．
解 取坐标如图所示 ，由于弹簧伸长是
均匀的 ，所以弹簧上任意一点的速度 ｖ ｘ 将 随 ｘ 线性增加 ，即在 ｘ 处弹簧的速度为
图 ３ 唱１
ｖｘ ＝
ｘ ｙ
ｖ
式中 ｖ 为弹簧终端在 Ｂ 处的速度 ，即小球的速度 ．弹簧上 ｄ ｘ 微元的动能为
ｄ Ｅｋ ｍ ＝
１ ２
５ ．势能
对保守力场可引入势能的概念 ，其定义为
∫ Ｅｐ ＝ Ｍ０ Ｆ · ｄ ｒ Ｍ
其中 ，Ｆ 为保守力 ，Ｅｐ 为 Ｍ 点的势能 ，Ｍ０ 为势能零点 ． 重力势能 ：Ｅｐ ＝ ｍｇｚ ，以 ｚ ＝ ０ 的平面为势能零点
万有引力势能 ：Ｅｐ ＝
－Ｇ
ｍＭ ｒ
，以无穷远处为势能零点
弹簧弹性力势能
：Ｅｐ ＝
０
即
∫ ∫ ｖ ｄ ０
１ ２
λ（ ｌ１
＋
ｌ２ ） ｖ２
＝
ｘ
［λｇ（１ ＋ μ） ｘｄ ｘ ＋ λｇ（ ｌ２ － μｌ１ ）ｄ ｘ ］
０
从而得
ｖ＝
ｌ１
ｇ ＋
ｌ２ ［（１
＋
μ） ｘ２ ＋ ２（ ｌ２
－
μｌ１ ） ｘ ］１ ／２
说明 这是一个变力作功问题 ．运用动能定理的微分形式解此题时 ，注意正确写出
注意 Ｎ ＝ ０ 是大环对小环作用力方向变化的临界点 ．
３唱４ 质量为 ５畅６ ｇ 的子弹 Ａ ，以 ５０１ ｍ ／ｓ 的速度水平地射入一静止在水平面
上的质量为 ２ ｋｇ 的木块 Ｂ 内 ，Ａ 射入 Ｂ 后 ，Ｂ 向前移动了 ５０ ｃｍ 后而停止 ，求 ：
（１）Ｂ 与水平面间的摩擦因数 ．
（２）木块对子弹所作的功 Ｗ １ ．
ｍｖ２ ａ
＝
Ｔｃｏｓ φ － ｍｇｃｏｓ θ － Ｎ
（１ ）
又
Ｔ ＝ ｋ Δ ｌ ＝ ｍａｇ（２ ａｃｏｓ φ － ａ）
＝ ｍｇ（２ｃｏｓ φ － １）
（２ ）
以小环 、弹簧与地球为研究系统 ，则系统机械能守
图 ３ 唱３
恒．
取最高点为重力势能零点 ，弹簧原长为弹性势
能零点 ，故有
１ ２
ｍｖ２
－
ｍｇａ（１ ＋
（ｄ
ｍ
）
ｖ
２ ｘ
＝
１ ２
ｍ ｙ
ｄ
ｘ
ｘ ｙ
ｖ
２
＝
ｍｖ２ ２ ｙ３
ｘ２ｄ
ｘ
· ４９ ·
则弹簧的总动能为
∫ ∫ Ｅｋｍ ＝
ｄ Ｅｋ ｍ ＝
ｙ ０
ｍｖ２ ２ ｙ３
ｘ２ｄ
ｘ
＝
小球经过位置 Ｂ 时的速度为 ｖ ，其动能为
１ ６
ｍｖ２
Ｅｋ Ｍ ＝
１ ２
Ｍｖ２
则小球与弹簧组成的系统的动能为
Ｅ＝
Ｅｋ ｍ ＋
Ｅｋ Ｍ ＝
质点的动能定理 ：合外力对质点做的功等于质点动能的增量 ，即
Ａ
＝
１ ２
ｍ
ｖ
２ ２
－
１ ２
ｍ
ｖ
２ １
质点系的动能定理 ：外力对质点系做的功与内力对质点系做的功之和等于质
点系总动能的增量 ，即
∑ ∑ Ａ ｅ ＋ Ａ ｉ ＝ Ｅｋ２ － Ｅｋ１
ｉ
ｉ
∑ ∑ ∑ 其中 ： Ａ ｅ 为外力的功 ， Ａ ｉ 为内力的功 ；Ｅｋ２ ＝
根据牛顿定律 ：
（ ｌ２ ＋ ｘ ） λｇ － μ（ ｌ１ － ｘ ）λｇ ＝ λ（ ｌ１ ＋ ｌ２ ） ａ
ａ＝
ｌ２ ＋ ｌ１ ＋
ｘ ｌ２
ｇ
－
μ
ｌ１ ｌ１
－ ＋
ｘ ｌ２
ｇ
即
图 ３ 唱２
ｄｖ ｄｔ
＝
ｌ２ ＋ ｌ１ ＋ｘ ｌ２ｇ Nhomakorabea－
μ
ｌ１ ｌ１
－ ＋
ｘ ｌ２
ｇ
变量替换得
· ５０ ·
ｖｄｖ ＝
ｌ２ ＋ ｌ１ ＋
的问题 ．弹簧弹性力作功是保守力作功 ，机械能守恒 ．本题的关键在于计算弹簧的
动能 ．弹簧上各个质元的速度不同 ，因而其动能也不同 ，这样就需先计算出一个微
元的动能即本题中的
１ ２
（ｄ
ｍ
）
ｖ
２ ｘ
，然后通过积分求整个弹簧的动能
，最后运用机械
能守恒定律求解 ．
３ 唱２ 均质链条的一端被外力牵住 ，在水平桌面上的部分呈长度为 ｌ１ 的直
＋
μ） ｘ２ ＋ ２（ ｌ２
－
μｌ１ ） ｘ ］１ ／２
解法二 用动能定理求解 ．
取整个链条为研究对象 ，当链条在桌面移动了距离 ｄ ｘ 时 ，链条所受重力作功 为 λ （ ｌ２ ＋ ｘ ） ｇｄ ｘ ，摩 擦 力 作 功 μλ （ ｌ１ － ｘ ） ｇｄ ｘ ，链 条 动 能 变 化 为
ｖ１
对 Ａ 和 Ｂ 构成的系统 ，由动能定理
－
μ（ ｍ１ ＋
ｍ２ ） ｇｓ
＝
０－
１ ２
（ ｍ１
＋
ｍ２ ） ｕ２
可得摩擦因数
μ
＝
ｕ２ ２ ｇｓ
＝
ｍ２１ ２ ｇｓ（ ｍ１ ＋
ｍ２
）２
ｖ
２ １
＝２
×
９畅８
（５畅６ × １０ －３ ）２ × ０畅５ × （５畅６ × １０ －３
＋
２ ）２
×
５０１２
＝
０畅２
（２）对子弹 ，由于木块对其作功 ，使其速度从 ｖ１ ＝ ５０１ （ｍ ／ｓ）减为零 ，因此根据 动能定理
第３章 功 和 能
一 、基本内容和主要公式
１畅 功
在质点产生一元位移 ｄ ｒ 的过程中 ，作用在质点上的力 Ｆ 所做的功被定义为
力 Ｆ 和位移 ｄ ｒ 的标积 ，即
ｄＡ ＝ Ｆ· ｄｒ
力 Ｆ 在路程 ａｂ 上的功为
∫ｂ
Ａ ａｂ ＝
Ｆ· ｄｒ
ａ（ ｌ）
功率 ：力 Ｆ 在单位时间内所做的功 ，即
ｉ
ｉ
ｉ
１ ２
ｍｉｖ
２ ｉ２
为质点系末态总动
∑ 能 ；Ｅｋ１ ＝
ｉ
１ ２
ｍ
ｉ
ｖ
２ ｉ１
为质点系初态总动能
．
３畅 应用动能定理解题的一般步骤
确定研究对象 ；分析研究对象的受力和各力作功情况 ；列方程求解 ；讨论 ．
· ４８ ·
４畅 保守力
作功与路径无关的力 ．重力 、万有引力 、弹簧弹性力等都是保守力 ．
ｃｏｓ θ） ＋
１ ２
ｍｇ ａ
（２
ａｃｏｓ
φ
－
ａ）２
＝
１ ２
ｍ
ｇａ ２
２
＋
１ ２
ｍｇ ａ
（２
ａ
－
ａ）２
即
ｖ２ ａ
＝
ｇ ２
（５
＋
４ｃｏｓ θ
＋
８ｃｏｓ φ
－
８ｃｏｓ２
φ）
（３ ）
将式（３） 、（２）代入式（１）得
又因为
２Ｎ ｍｇ
＝
１２ｃｏｓ２ φ
－ １０ｃｏｓ φ
－ ６ｃｏｓ θ
－５
θ ＝ π －２φ
线 ，长度为 ｌ２ 的另一部分自然下垂 ．设桌面与链条的摩擦因数为 μ ，链条的线密度
为 λ ．撤去外力后 ，链条开始滑动 ．求链条在桌面移动距离为 ｘ 时的速度 ．
解法一 用牛顿定律求解
取整个链条为研究对象 ，分析其受力 ．当链条在桌面移动距离 ｘ 时 ，沿链条方
向 ，链条受重力 （ ｌ２ ＋ ｘ ） λｇ ，摩擦力 μ （ ｌ１ － ｘ ） λｇ ．
Ｗ１
＝
０
－
１ ２
ｍ１
ｖ
２ １
＝
－
１ ２
× ５畅６ × １０ －３
× ５０１２
＝
－ ７０３ （Ｊ）
（３）对木块 ，在整个过程中 ，子弹对其作功 ，同时水平面的摩擦力也对其作功 ，
木块初始静止 ，而后移动 ５０ ｃｍ 后停止 ，因此 ，根据动能定理
Ｗ ２ － μ（ ｍ１ ＋ ｍ２ ） ｇｓ ＝ ０
１ ２
ｋｘ２
，以弹簧原长处为势能零点
．
６畅 保守力与势能的微分关系
Ｆ ＝ － Δ Ｅｐ ＝ －
抄 Ｅｐ 抄ｘ
ｉ
＋
抄 Ｅｐ 抄ｙ
ｊ
＋
抄 Ｅｐ 抄ｚ
ｋ
或 Ｆｌ
＝
－
ｄ Ｆｐ ｄｌ
７畅 机械能守恒定律
在只有保守力做功的情况下 ，系统的机械能保持不变 ．它是普遍的能量守恒定
律的特例 ．
８畅 能量守恒定律
能量不能消失 ，也不能创造 ，只能从一种形式转换为另一种形式 ．对一孤立系
即
Ｗ ２ ＝ μ（ ｍ１ ＋ ｍ２ ） ｇｓ ＝ ０畅２ × （５畅６ × １０ －３ ＋ ２） × ９畅８ × ５０ × １０ －２ ＝ １畅９７ （Ｊ）
· ５３ ·
（４） Ｗ １ 和 Ｗ ２ 数值上不相等 ，其和也不为零 ．这是因为 Ａ 和 Ｂ 系统内力作功 之和不为零 ，它改变了系统的机械能 ． 说明 系统的内力不改变系统的动量而可能改变系统的机械能在此题中得到充分 的体现 ．结合动量守恒定律和动能定理就可解此题 ．在运用动能定理求 Ｗ １ 和 Ｗ ２ 时 ，要正确分析子弹和木块在整个过程中各力作功情况 ．例如对子弹 ，从初速 ５０１ ｍ ／ｓ到同木块一起静止是由于木块对其作功的结果 ．
· ５２ ·
环的作用力是离心的 ．
当
ａｒｃｃｏｓ
１１ １２
＜
φ ＜ ２３π时 ，２ｃｏｓ φ ＋ １ ＞ ０
，１２ｃｏｓ φ
－ １１ ＜ ０
，这时
Ｎ＜０
，即大环对
小环的作用力是向心的 ．
说明 本题综合运用了牛顿定律与机械能守恒定律 ．重力和弹簧弹性力是保守力 ，
机械能守恒 ，在写出弹簧弹性力势能时 ，要注意其势能零点是选在弹簧原长处 ，并
变力的功 ，通过积分就可解此题 ．同时 ，直接用牛顿定律也可求解此题 ，但我们可看
到 ：当问题中涉及到随位置变化的力的功时 ，用动能定理求解有很大的方便 ．
３ 唱３ 一摆铃是由金属线围成的半径为 ａ 的圆环 ，在此环上套上一个质量为
ｍ 的很小的圆环 ，设小环可在大圆环上无摩擦地滑动 ，大环放置在竖直平面内 ．在
Ｐ＝
ｄＡ ｄｔ
＝
Ｆ· ｖ
几种常见力的功
重力的功 ：Ａ ＝ ｍｇ（ ｚ１ － ｚ２ ）
万有引力的功 ：Ａ ＝ Ｇ ｍＭ
１ ｒ２
－
１ ｒ１
弹簧弹性力的功
：Ａ ＝
１ ２
ｋλ２１
－
１ ２
ｋλ２２
摩擦力的功 ：Ａ ＝ μｍｇｓ
重力 、万有引力 、弹簧弹性力作功与路径无关 ；摩擦力作功与路径有关 ．
２畅 动能定理
大环的最低点 Ａ 将一个弹簧的一端固定 ，弹簧的另一端则连到小环上 ，如图所示 ．
弹簧的自由长度也为
ａ ，劲度系数为
ｋ＝
ｍｇ ａ
．如果开始把小环拉到大圆环的最高
点 ，并以水平初速 ｖ０ ＝
ａｇ ２
释放
，那么在大圆环的最低点
，小环的速度为多少
？
同
时 ，证明在起始阶段 ，大圆环对小环的作用力是离开大圆环中心的 ，而在小环转过
（３）子弹对木块所作的功 Ｗ ２ ．
（４） Ｗ １ 与 Ｗ ２ 的大小是否相等 ？ 为什么 ？
解 （１）子弹射入木块时间短暂 ，可认为此过程木块没有移动 ，在此过程中 ，其
内力远大于摩擦外力 ，动量守恒 ．
ｍ１ ｖ１ ＝ （ ｍ１ ＋ ｍ２ ） ｕ
Ａ
和 Ｂ 的共同速度 ：ｕ ＝
ｍ１ ｍ１ ＋ ｍ２