无穷级数的求和方法举隅
无穷级数求和问题的几种方法-无穷级数求和的方法
⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法-⽆穷级数求和的⽅法⽬录摘要 (2)1⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法 (2)利⽤级数和的定义求和 (2)利⽤函数的幂级数展开式求和 (3)利⽤逐项求积和逐项求导定理求和 (4)逐项求极限 (5)利⽤Flourier级数求和 (7)构建微分⽅程 (9)拆项法 (9)'将⼀般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考⽂献 (12)$⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法摘要：⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，同时⽆穷级数求和问题，也是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.然⽽，⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，它是以极限理论为基础，⽤以表⽰函数，研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种重要⼯具.然⽽数学分析中注重函数的敛散问题，却对⽆穷级数求和问题的⽅法介绍的⽐较少，所以求和问题是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据不同的⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 1利⽤级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 /例2求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利⽤函数的幂级数展开式求和利⽤函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下⾯是⼏个重要的幂级数展开式：例（01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!n x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-?+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=??=--??+??∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞>得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利⽤逐项求积和逐项求导定理求和定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意⼀点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞-==??-=-=??∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算⽆穷级数()() +-++?-+--14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. ^两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 11,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++?∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x nn n n n 2112111??-+∑-∞=的和函数()x S .解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=??-+??-??∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从⽽收敛区间为(1,1)-，⽽知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ??∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ??∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x∞∞---===-?=-?=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0 ()()()2arctan x x x d x x ??==?,'()()()2arctan xxx x d x xdx ??==??=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++?因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处⽆定义，那么可⽤求极限的⽅法讨论在端点处的和函数. 例5 []4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.,解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下⾯⽤逐项求导的⽅法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1n x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-⼜有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑-于是对上式两边进⾏积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++?ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进⾏积分，⼜得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++?221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，⽽幂级数在1x =处收敛，所以等式》21(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成⽴.但因()f x 在1x =-处⽆定义，故要改⽤逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-??-=+-+ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-??-+=?++?12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑ %所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ?-+-+∈-??=??=-??.5利⽤Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅⾥叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取⼀个偶函数()f x ，满⾜21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?对于上式左端利⽤分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---??=-='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---??-+ 注意到$cos cos()(1)nn n ππ=-=-有1(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---??=--+?取21()4f x x =，则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?同时211()6f x dx n πππ-=?，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412n n x nx nπ∞=-==+∑ `令0x =，得2=-=∑ 例7[4]证明: 441190k k π∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅⾥叶级数222001()26xa dx ππππ-==22211()cos 2k xa kxdx k πππ-=， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞⽡尔等式（函数2()( )2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑?,有2422444011111ππππππππ∞-=-+===∑?即441190k k π∞==∑. 6构建微分⽅程如果某些级数的⼀般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利⽤经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分⽅程，然后解微分⽅程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+24681()2242462468x x x x x ??=--+-+(1())x S x =-于是所得⼀阶微分⽅程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N xS x Ce n ∞--==-=-∑从⽽121111(1)12242462468S e --+-+==-.7拆项法⽆穷级数求和时，有时根据⼀般项的特点，将⼀般项进⾏拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'1())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x=-++++ 【23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈-因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-.8将⼀般项写成某数列相邻项之差⽤这⼀⽅法求⽆穷级数的和，⾸先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v当111n n n n m u b b b ++-=，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-（m 为待定因⼦）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将⼀般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-+。
等比无穷级数求和公式
等比无穷级数求和公式在数学中，等比无穷级数是一种特殊的级数，它的每一项与前一项成等比关系。
等比无穷级数的求和公式是一种重要的数学工具，可以用来求解各种实际问题。
本文将介绍等比无穷级数求和公式的推导过程以及应用。
我们来看等比无穷级数的一般形式：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，其中a是首项，r是公比。
如果公比r的绝对值小于1，即|r| < 1，那么这个级数是收敛的，也就是说它的和是有限的。
反之，如果|r| ≥ 1，那么这个级数是发散的，也就是说它的和是无穷大或无穷小。
接下来，我们来推导等比无穷级数求和的公式。
设等比无穷级数的和为S，那么我们可以将该级数的每一项乘以公比r，得到：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...。
然后，将这两个等式相减，得到：S - rS = a。
整理得到：S(1 - r) = a，进一步化简得到：S = a / (1 - r)。
所以，等比无穷级数的和可以表示为首项a除以（1减公比r）。
接下来，我们来看一些实际应用中的例子。
例子1：从一个高度为1米的平面上，每次跳跃的距离是原来的一半。
问，如果无限次跳跃下去，总共跳了多远？解析：这个问题可以用等比无穷级数求和公式来解决。
首项a为1米，公比r为1/2，代入公式S = a / (1 - r)，得到S = 2米。
所以，无限次跳跃下去，总共跳了2米。
例子2：有一条蚂蚁在一条长度为1米的细线上爬行，每次爬行的距离是上一次的一半。
问，如果无限次爬行下去，蚂蚁爬行的总路程是多少？解析：这个问题也可以用等比无穷级数求和公式来解决。
首项a为1米，公比r为1/2，代入公式S = a / (1 - r)，得到S = 2米。
所以，无限次爬行下去，蚂蚁爬行的总路程是2米。
通过以上例子，我们可以看到等比无穷级数求和公式的应用范围是很广泛的。
它不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决物理、工程等实际问题。
无穷级数求和公式推导
无穷级数求和公式推导无穷级数求和是数学中重要的概念之一，它将无限个数相加并求得其总和。
在数学中，我们可以使用一些公式来推导无穷级数的和，其中最著名的是等比级数求和公式和调和级数求和公式。
一、等比级数求和公式的推导等比级数是指一个数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
假设等比级数的首项为a，公比为r，则等比级数可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...为了推导等比级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们假设等比级数的和为S，即S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...接下来，我们将等比级数的每一项乘以公比r，并将两个等式相减，可以得到：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...接着，我们将上述两个等式相减，得到：S - rS = a化简得到：S(1 - r) = a因此，我们可以得到等比级数求和公式：S = a / (1 - r)这就是等比级数求和公式的推导过程。
二、调和级数求和公式的推导调和级数是指一个数列中的每一项的倒数之和。
调和级数可以表示为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...为了推导调和级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们可以将调和级数的部分项相加，并将其表示为一个数列的和：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...接下来，我们将调和级数的每一项倒数与1相加，并将其表示为一个数列的和：1/S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...然后，我们将上述两个等式相加，可以得到：S + 1/S = 2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)化简得到：S^2 + S = 2S(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)进一步化简得到：S^2 + S = 2S^2再次化简得到：S^2 = S因此，我们可以得到调和级数求和公式：S = ∞这就是调和级数求和公式的推导过程。
无穷级数的求和法及其应用
无穷级数的求和法及其应用无穷级数是数学中一个非常重要的概念，我们可以利用无穷级数来求和，得到一些非常有用的结果。
本文将介绍无穷级数的求和法及其应用。
一、无穷级数的定义无穷级数是指一个数列的和，该数列包含无穷多个数。
无穷级数的一般形式为：a1 + a2 + a3 + … + an + …其中，a1、a2、a3、…、an是数列中的前n项，...表示剩余项，也就是前n项之后的无穷多项。
二、等比级数首先，我们来看一个特殊的无穷级数——等比级数。
等比数列是指数列中每一项之比都相等的数列，比如1，2，4，8，16，…就是一个等比数列，因为每一项之比都为2。
等比级数是等比数列的和。
对于等比数列a1，a2，a3，…，an，…以及其公比q（q≠0），则它的等比级数为：S = a1 + a2q + a3q2 + … + an-1qn-2 + an-1qn-1 + …等比级数有一个非常重要的性质：当|q|<1时，S可以求和，也就是说，等比级数可以收敛。
三、收敛级数的求和法1.调和级数我们先来看一个非常经典的例子，即调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/n + …这个级数的和是一个无穷大的数，但是它却收敛。
这是怎么回事呢？事实上，调和级数虽然无穷大，但是它增长的速度非常缓慢。
我们可以把调和级数分成很多个小组，每个小组包含2^k个数，其中k为自然数。
例如，第一个小组为1+1/2，第二个小组为1/3+1/4+1/5+1/6，依此类推。
通过这种方式，我们可以得到一个新的级数：1 + (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + … + 1/n上述级数的和为2。
因此，我们可以得出调和级数的和为无穷大的结论。
2. 几何级数几何级数也是一个非常常见的级数，其形式为：a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^n + …其中，a为首项，r为公比。
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。
无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。
在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。
在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
一个无穷级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。
当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。
如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。
如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。
收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。
我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。
其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。
比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。
比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。
积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。
除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。
其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。
部分和法是通过计算无穷级数的前n 项和来逼近无穷级数的和。
数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。
特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。
特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。
在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。
无穷级数求和的方法与技巧
n =1
（x ） Σ 2
x 0
∞
（ n- 1 ）
= 1 ， 2- x
∴S （x ） =
1 dt=ln2- ln （2- x ） 。 乙S'（t）dt= 乙 2t
0
责任编辑
李叶亚
（上接第 95 页 ） 9π ， 得解。 16
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ
所以 P ≤ =F1(1) · F2(1)= 3 π · 3 π= 9 π2。 X≤1,Y≤1 ≤ 4 4 16 从上面例子的解法二可以看出， 针对这类问题， 也可以 利用联合分布函数的特点直接判断独立性，较为简便地解 决问题。 参考文献
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n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ ∞
（un±vn ） 收敛， 且Σ （un±vn ） =Σun±Σvn。 当把级数分成两
n =1 n =1 n =1 ∞
个或多个 （有限个） 收敛级数的和时， 注意一定要保证 Σun
n =1 ∞
推广：对于实数 a≠0,- 1， b 为任意实数，无穷级数Σ
n =1
与Σvn 均收敛。
∞
1.2 拆项法 主要适用于无穷级数的通项为分式，分式的分母是因 式之积的形式的级数。 1 和。 （n+1 ） n =1 n 解： 由于 un= 1 =1 - 1 ， n （n+1 ） n n+1 所以： sn=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 ， 2 2 3 n n+1 n+1 1 所以 s=lim sn=lim（1） =1. n→∞ n→∞ n+1 例 1： 求无穷级数的Σ
无穷级数求和的若干方法
陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名专业名称数学与应用数学无穷级数求和的若干方法摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法[1]这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于1k k u ∞=∑为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数()1121n n n q∞-=-∑的和，()1q <.解 ()2113521n n S q q n q -=++++- (1) n S 中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以q 得：()233521nn qS q q q n q =++++- (2)(1)－(2)得：()()211122221n n n q S q q q n q --=++++-- ()()211221n n q q q n q -=++++--()()1211211n n q q n q q--=+---()()()1221121111n nn q q q S n q qq --=+----- 因为1q <，所以()1121n n n q ∞-=-∑()()22121lim 111n n q qS q q q →∞+==+=---. (2) 拆项法：()()10011lim lim n n n n n n n n n a b b b b b b ∞∞-→∞→∞===-=-=-∑∑.例2 求级数1n ∞=的和.解n u==1n S n⎛=++++-⎝⎝1=即1n ∞=lim 1n n S →∞==.(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例3 求级数211arctan2n n ∞=∑的和. 解 21111228arctan arctan arctanarctan 11283128S +=+==- 311121arctan arctan arctan arctan arctan 2818318S =++=+213318arctanarctan 2141318+==- 由数学归纳法可证： arctan 1n nS n =+πlim lim arctan arctan114n n n n S n →∞→∞===+, 故211arctan 2n n∞=∑π4=. 2 阿贝尔法[2]（即构造幂级数法）若级数0n n a ∞=∑收敛，则0n n a ∞=∑1lim nn x n a x -∞→==∑.由0n n a ∞=∑构造一个幂级数0n n n a x ∞=∑是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得0n n a ∞=∑的和.例4 级数1212nn n ∞=-∑的和. 解 令()221212n n n n f x x ∞-=-=∑,x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子()21n -.逐项积分()222101121122xxn n n n on n n f x dx x dx x ∞∞--==-==∑∑⎰⎰2112nn x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 22212212x xx x x ==--, 即()0xf x dx ⎰22xx =-. 上式两边对x 求导: ()()22222x f x x +=-,故1212n n n ∞=-∑=()()222112lim lim 32x x x f x x --→→+==-. 3 逐项微分法[2]由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数()11nn x n n ∞=+∑ 的和函数()S x ，其中1x <.解 ()111111111n n n n n n n n x x x x n n n n n n ∞∞∞∞====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑ 令()11n n x S x n ∞==∑,()211nn x S x n ∞==+∑.由()111n n S x x ∞-='=∑11x =-,则()()101ln 11x S x dx x x ==---⎰;类似地()()()121111ln 1ln 111n n x S x x x x x n x x+∞===--+=---⎡⎤⎣⎦+∑, 故()()()()1211ln 11S x S x S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，在区间()1,1-内.解()()21021n n n x∞+=+∑()()22121nn n n x n x x x∞∞+=='=+=∑∑210n n x x ∞+='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()()222220111n n x x x x x x x x x ∞=''+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑ . 4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，这儿1x <.解 令()S x =()2021n n n x ∞=+∑,1x <.而()()22122211xxnn n n n n xS x dx n x dx xx x x∞∞∞+====+===-∑∑∑⎰⎰, 故()()2222111x x S x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-, 则()()21021n n n x∞+=+∑=()()()22211x x xS x x +=-.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数211nn n x n ∞=+∑的和函数，这儿1x <. 解 ()21111111111n n n n nn n n n n n n n x nx x n x x x n n n∞∞∞∞∞∞======+=+=+-+∑∑∑∑∑∑ ()0011111x x n n n n x n x dx x x n ∞∞==''⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑⎰⎰dx ()()2120112ln 11111x n n x x x x x dx x x x x x ∞+='-⎛⎫=-+=--- ⎪----⎝⎭∑⎰ ()()2ln 11xx x =--- ()1x <.6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点0x ，当0x x =时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为S ，幂级数的和为()S x ，则()0S S x =.例9 求级数113nn n ∞=∑的和. 解 作()1n n x S x n ∞==∑,由()1111n n S x x x ∞-='==-∑,则()()0ln 11xdxS x x x==---⎰()1x < 令13x =,则113nn n ∞=∑123ln 1ln ln 332⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭. (2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数()1211n n n +∞=-∑的和.解 把()22f x x =在[]π,π-上展成余弦级数π2200242ππ3a x dx ==⎰()π220282cos 1πn n a x nxdx n==-⎰ ()1,2,n = 00b =()1,2,n =()()22128π1cos 3n n f x nx n ∞==+-∑ ()ππx -≤≤令0x =,则 ()221280π13n n n ∞==+-∑,故()1211n n n +∞=-∑2π12=. 7 复数法[1]（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数0cos n n a nx ∞=∑及0sin n n a nx ∞=∑的和，常把它们视为复数域内的幂级数0nn n a z ∞=∑（其中ixz e =）的实部和虚部.如果0nn n a z ∞=∑的和好求，则级数0cos n n a nx ∞=∑及级数0sin n n a nx ∞=∑的求和问题就已解决.例11 求级数1sin n nxn ∞=∑的和函数. 解 ()1111sin Im Im Im nix inxnn n n n e nx e z n n nn∞∞∞∞=======∑∑∑∑,其中ix z e =令()1nn z f z n∞==∑()1z < ()111111n n n n f z zz z z∞∞-=='===-∑∑, ()()()()ln 1ln 1ln 1cos isin ix f z z e x x =--=--=---sin ln 1cos isin i arctan 1cos x x x x -⎡⎤=---+⎢⎥-⎣⎦ ()1sin ln 22cos iarctan21cos xx x=--+-, 故1sin n nx n ∞=∑()sin πIm arctan arctan cot 1cos 22x x x f z x -⎛⎫==== ⎪-⎝⎭ ()02πx <<. 8 积分法(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数()111n n n-∞=-∑的和.解 令101n n x I dx x =+⎰,考虑到111110011n n n n n x x I I dx x dx x n---++===+⎰⎰. 当01x ≤≤时，由于1n n x x -≤，故1n n I I -≤, 于是112n n n I I I n -≤+=，即12n I n ≤，又1121n n n I I I n +≥+=+， 即122n I n ≥+.综合上两式有11222n I n n≤≤+ ()1n ≥,故lim 0n n I →∞=.再者递推可有 ()()()11101111n n n n n I I n-∞--=-=---∑, (3)又()11000ln 1ln 21dxI x x==+=+⎰.将(3)式两边取极限()n →∞且0n I → 则()111n n n-∞=-∑()100lim 1ln 2n n n I I I -→∞⎡⎤=+-==⎣⎦.(2)[3]利用公式()()101111a bn x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰，()a b ≠. 来求无穷级数的和，当a 、b 为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数()11n a n b n x x f x b a n a n b ++∞=⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭∑ 1x <()()1111n a n b n f x x x b a ∞+-+-='=--∑111a b x x b a x x ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭1x <由于()00f =，故()001111a b a bxx x x x x f x dx dx b a x b a x--==----⎰⎰. 而()()11n n a n b ∞=++∑()10lim x f x →-=,所以()()101111a b n x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰. 例13 求级数()()1112n n n ∞=++∑的和.解 此级数与上面公式比较知1,2a b ==从而()()1112n n n ∞=++∑2101211x x dx x --=--⎰1012xdx ==⎰. 9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求()202!nn x n ∞=∑的和函数，()x -∞<<+∞.解 设()()202!n n x S x n ∞==∑,考虑到()()()21211021!21!n n n n x x S x n n -+∞∞=='==-+∑∑, 则()()()()2210002!21!!n n nx n n n x x x S x S x e n n n +∞∞∞==='+=+==+∑∑∑,于是()12dx dx x x xS x e e e dx C e Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰.又()01S =，则12C =，这样可有 ()()12x xS x e e chx -=+=. 10 利用无穷级数的乘积[2]有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数n a ∑与n b ∑均收敛，又n c ∑也收敛，其中0110n n n n c a b a b a b -=+++,则n n n c a b =⋅∑∑∑.若n a ∑,nb∑都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中nc∑收敛于nna b ⋅∑∑.例15 求级数1111123n n x n ∞=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∑的和函数()S x ，其中1x <.11 解 考虑()00n n n n x a x ∞∞===∑∑为绝对收敛级数，且()100nn n n x b x n ∞∞==+=∑∑收敛，这里1x <.又()11111101123n n n n n n x x c x x x x x x n n n --⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅=++++ ⎪-⎝⎭, 则()()()100n n nn n n c x a x b x ∞∞∞====⋅∑∑∑, 再由011nn x x ∞==-∑,()1ln 1n n x x n ∞==--∑, 故()()()()1ln 1ln 111n n x x S x c x x x ∞=--==-=--∑. 无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：[1] 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有．高等数学复习指导[M]．北京：清华大学出版社，2007：516-524．[2] 陈文灯，吴振奎，黄惠青．高等数学解题方法和技巧[M]．北京：中国财政经济出版社，2004：334-345．[3] 周翠莲，于兰芳．无穷级数求和的方法[J]．承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18．。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全1. 等差数列求和公式：对于等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, ...，求和公式为 Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2. 等比数列求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ...，求和公式为 Sn = a(1 r^n) / (1 r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
3. 幂级数求和公式：幂级数是一种形如 a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... 的级数，其中ai为系数，x为变量。
它的求和公式可以通过对收敛域内的函数进行展开得到。
4. 几何级数求和公式：几何级数是一种形如 a + ar + ar^2 + ar^3 + ... 的级数，其中a为首项，r为公比。
当|r| < 1时，几何级数收敛，其和为 S = a / (1 r)。
5. 特殊级数求和公式：调和级数，调和级数是指形如 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的级数。
调和级数发散，但其部分和的增长速度可以用对数函数来描述。
斯特灵公式，斯特灵公式是指对于阶乘的近似公式n! ≈√(2πn)(n/e)^n，其中e为自然对数的底数。
6. 特殊函数求和公式：欧拉函数，欧拉函数是指对于正整数n，小于等于n且与n互质的正整数个数。
欧拉函数有一些求和公式，如Σφ(d) = n，其中d是n的正因子。
狄利克雷级数，狄利克雷级数是指形如Σ(a/n^s) 的级数，其中a和s为常数。
狄利克雷级数的求和结果与s的取值相关。
这些只是无穷级数求和公式的一小部分，还有许多其他公式和技巧，用于处理特定类型的级数。
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无穷级数的求和
无穷级数的求和Investigate of the summation ofinfinite series专业: 应用化学精细化工**: ***学号: ************摘要本文介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和这几种方法求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.关键词: 级数; 求和; 幂级数; 傅里叶级数简介无穷级数求和是无穷级数中的主要内容,针对无穷级数求和归纳为6种方法.即利用无穷级数和的定义、递推、构造成幂级数、傅里叶级数、幂级数的逐项求导或逐项积分、微分方程,以下让我通过简单的例子，通过分析,总结归纳出无穷级数求和的解题技巧,使求解这类问题有章可循目录摘要 (I)简介 (II)1 引言 (1)2 裂项相消法 (1)3 错位相减法 (2)4 逐项微分法 (6)5 逐项积分法 (8)6 运用特殊级数的和求和法 (9)参考文献 (13)1 引言无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分. 它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具. 众所周知, 收敛级数都有和, 然而求出收敛级数的和常常是较困难的. 因此, 本文将讨论运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和来求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.为行文的简洁, 本文中未特别申明的符号与文献[1]一致.2 裂项相消法设1n u n ∞=∑, 1n n n u v v +=-, 则1n u n ∞=∑的部分和为11n n s v v +=-.若 1lim n n v A +→∞=, 则1lim n n s A v →∞=-.也就是说1n u n ∞=∑的和为 1A v -.我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明.例1 求无穷级数11(2)n n n ∞=∑+的和.解 因为1111()(2)22n n n n =-++,所以1111111111[(1)()()](1)232422212n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=+--+++,于是lim n n S S →∞=1111(1)2212n n =+--++34=. 所以113(2)4n n n ∞==∑+.如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例2 求级数 201arctan1n n n ∞=∑++ 的和.解 先考虑变换问题的数学形式, 由21(1)arctanarctan 11(1)k kk k k k+-=++++,联想到正切的差角公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+,再设 tan 1,k k αβ=+=, 则原级数的部分和为2111arctan1arctan arctan arctan371arctan1(arctan 2arctan1)(arctan 3arctan 2)[arctan arctan(1)][arctan(1)arctan ]arctan(1),n S n n n n n n n =+++⋅⋅⋅+++=+-+-+⋅⋅⋅+--++-=+所以201arctanlim lim arctan(1)12nn n n S n n n π∞→∞→∞===+=∑++. 如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例3求和n ∞=∑.解 先对通项分母中的和式进行有理化, 得==,于是, 有(1n S =-++⋅⋅⋅++1=-,所以lim lim(11n n n n S ∞→∞→∞===-=∑.3 错位相减法设{}n u 为等差数列, 公差为d , {}n v 为等比数列, 公比为q , 则称0n n n u v ∞=∑为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上, 设112233n n S u v u v u v u v n =+++⋅⋅⋅+, (1)两边同时乘以公比q 得112233n n n qS u v q u v q u v q u v =+++⋅⋅⋅+,即12233411n n n n n qS u v u v u v u v u v -+=+++⋅⋅⋅++, (2)(5)式减去(6)式得11231(1)()n n n n q S u v d v v v u v +-=+++⋅⋅⋅+-,112311lim lim[]1()n n n n n n S S qu v d v v v u v +→∞→∞+++⋅⋅⋅+-==-.我们这种求级数和的方法为错位相减法.例4 求级数113n n n∞-=∑的和. 解 因为21231333n n n-=+++⋅⋅⋅+S , (3)23112333333n n n=+++⋅⋅⋅+S , (4) (7)式减去(8)得23112111113333333n n n n n n --==++++⋅⋅⋅++S S S ,即1(1)3313(1)12323313n n n n n n n S -=-=---, 于是2313lim lim[(1)]32332n n n n n n S →∞→∞=--=, 所以 339lim 224n n S →∞=⨯=, 故 11943n n n ∞-==∑.4 逐项微分法定理[2]1 若在[,]a b 上, 1()n n u x ∞=∑的每一项都具有连续导数'()n u x 一致收敛于()x δ,又1()n n u x ∞=∑收敛于()S x , 则'()()S x x δ=, 即11()()nn n n d du x u x dx dx∞∞===∑∑, 且1()n n u x ∞=∑一致收敛于()S x .这定理说明了和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要注意的是, 仅仅在条件“1()n n u x ∞=∑一致收敛”之下, 即使'()n u x 存在且连续, 也不能保证和号同求导数号可以交换.例5 求级数357(1)357x x x x x -+-+⋅⋅⋅≤的和.解 令357()357x x x F x x =-+-+,在收敛域[]1,1-内逐项微分, 得()24621'11F x x x x x=-+-+⋅⋅⋅=+. 注意到(0)0F =, 所以20()arctan 1xdtF x x t ==+⎰, 于是当1x ≤时, 有357arctan 357x x x x x -+-+⋅⋅⋅=.例6 求级数11111(1)3521n n --+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-的和.解 令35121111(1)3521n n x x x x x n --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-S(),逐项求导得2412321'()1(1)1n n S x x x x x --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=+, 所以2001()'()arctan 1x x S x S x dx dx x x ===+⎰⎰.因为级数12111(1)21n n n x n -∞-=-∑-在1x =处收敛, 所以 (1)arctan14S π==,即11111(1)35214n n π--+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=-. 例7 求级数210(21)!n n x n +∞=∑+的和函数.解 ()-∞+∞该级数的收敛区间为，, 令()213501(210)!3!5!n n x x x y x n +∞===+++⋅⋅⋅∑+,2240'()12!2!4!n n x x x y x n ∞===+++⋅⋅⋅∑,所以234()'()12!3!4!x x x x y x y x x e +=+++++⋅⋅⋅=,()()'()x y x y x y x e +=即满足微分方程, 此方程为一阶线性微分方程，其通解为1()2x x y x e ce -=+.例8 求幂级数221[(1)!](2)(1)(2)!n n n x x n ∞=-<∑的和. 解 在 1x < 上对()S x 逐项求导, 可知2211[(1)!]'()2(2)(21)!n n n S x x n ∞-=-=-∑,2221[(1)!]4(2)(22)!n n n x n ∞-=--∑. 由此可得 2(1)''()'()4x S x xS x --=. 在这两端乘以 212(1)x --, 我们有'())'1x x =<,解得()(1)S x x =+<.5 逐项积分法定理2[2]设1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛于()S x , 并且每一()n u x 都在[,]a b 上连续, 则11()()()b bb x n aaan n u x dx S x dx u x dx ∞∞====∑∑⎰⎰⎰,亦即和号可以与积分号交换. 又在[,]a b 上, 函数项级数1()x n an u t dt ∞=∑⎰也一致收敛于()x aS t dt ⎰.该定理也称为逐项积分定理.例9 求级数234234(1)x x x x x ++++⋅⋅⋅<的和.解 令234()234F x x x x x =++++⋅⋅⋅, 其收敛域为(1,1)-, 在收敛域内逐项积分, 得234234234234123()234111(1)(1)(1)234111()()234ln(1)1x F t dt x x x x x x x x x x x x x x x x x=+++⋅⋅⋅=-+-+-+⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅=+--⎰，其中1x <, 于是21'()[ln(1)],11(1)n n x xF x nx x x x x ∞===+-=<∑--.例10 求下列级数的和()S x(1) 410(2)1()()412n n x S x x n +∞==<+∑; (2) 0()()(1)21nn x S x x n ∞=-=<+∑.解 (1) 在 12x <上对()S x 作逐项积分, 可知 222444000()111121arctan(2)ln ().24122x x xnn n n dtS x tdt t dt t x x x x∞∞=====-+=+<-∑∑⎰⎰⎰(2) 对 01x <<, 令 2x t =, 有2220002220001()(1)(1)2111((1))1arctan .n t nn n n n t t n n n t S t x dtn t dt x dt t t x t t ∞∞==∞==-=-+=-=+=∑∑⎰∑⎰⎰由此知()arctan S x = 对 10x -<<, 令 2x t =-, 有222200001111()ln 21121n t t n n n t dt tS t x dx n t t x t t ∞∞==+-====+--∑∑⎰⎰,由此可得()S x =6 运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.例11 求123423434845165632S =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 解 原式可以用级数表示如下1111(1)()(1)(2)2nn n k n S n n ++==-⋅∑++.考虑级数111(1)(1)(2)nn n k n x n n ++=-⋅∑++, 其收敛半径为1, 故当12x =时收敛, 设其和函数为()f x , 下面在区间()0,1内求()f x . 由于21(1)(2)21n n n n n =-++++,所以1111112111122()(1)(1)212(1)(1)2112[ln(1)]ln(1)22(1)ln(1)2,n n n n n n n n n n n x x f x n n x x x n n n xx x x x x x x++++∞∞=-++++∞==---∑∑++∞=-+-∑∑++-=+-+++-=++-令12x =, 即得13()5ln 222S f ==-. 例12 (1)求级数111111()()()2346812++++++⋅⋅⋅的和;(2)求级数111()23n n n ∞=+∑的和.解 (1) 由于111111111111()()[()()]2346223211111111[()][()]2422363211111122112311221211(1),232n n n n n n nn n S ----=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅--=⋅+⋅--=-+- 所以1215lim[1(1)]2323n n n n S S →∞==-+-=, 故11115()()23463++++⋅⋅⋅=. (2) 因为22111111()()()232323n n n S =++++⋅⋅⋅++22111111()()222333n n =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+1111(1)(1)3322111123n n --=+--, 所以13lim 122n →∞=+=, 从而1113()232n n n ∞=+=∑.例13 求下列级数的和: (1)112n n n∞-=∑; (2)12(1)!n n n ∞=+∑+. 解 (1)由于1211,(1)(1)n n nx x x ∞-==<∑-, 令()11111157111317f x -+-+-+⋅⋅⋅+=12x =,得112n n n∞-=∑的和, 因此 111211211()422(1)n n x n n n n x -∞∞-======∑∑-.(2)由于当x -∞<<+∞时, 有 212!!nxx x e x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, 故令1x =即得11112!!e n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, 于是有11112(1)111(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n n ∞∞∞∞====+++==+∑∑∑∑+++ (1)(2)23e e e =-+-=-.例14 求下列常数项级数之和:(1) 111113579-+-+-⋅⋅⋅;(2) 111111135791113+--++--⋅⋅⋅;(3) 11111157111317-+-+-+⋅⋅⋅.解 将()4f x π=在[]0,π内展开为正弦级数有()0,1,2,3,n a n ==⋅⋅⋅, 01()2sin 40()n n b nx dx n n πππ⎧⎪==⎨⎪⎩⎰为奇数为偶数,所以()()()11sin sin 3sin 2104321f x x x n x x n ππ==++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅≤≤-. (1) 当2x π=时, 有1111135794π-+-+-⋅⋅⋅=.(2) 当4x π=时,有1111111357911134+--++-⋅⋅⋅=. (3) 当3x π=时,有11111157111317-+-+-+⋅⋅⋅=.例15 求2221111357++++⋅⋅⋅的和. 解 将函数[],x ππ-在上展成傅里叶级数得[]224cos3cos5(cos ),,235x xx x x ππππ=-+++⋅⋅⋅∈-. 令x π=, 则222211113578π++++⋅⋅⋅=.例16 求和0cos !n nxn ∞=∑.解 令 ixz e =, 则0!nZ n z e n ∞==∑. 因为 ()()cos 000cos sin ,cos sin sin sin !!!n Z x n n n z nxnx i e e x i x n n n ∞∞∞====+=+⎡⎤∑∑∑⎣⎦, 按实部和虚部分别相等的关系, 即得()()cos 0cos cos sin ,,!x n nxe x n ∞==-∞+∞∑.利用四则运算等将所给级数转化为()S x 代数方程再求解, 这种思维方式和求解方法与错位相减法类似, 只不过在错位相减法中两边同乘的是等比级数的公比q , 在这里则需依具体情况而定, 同乘以关于x 的某个代数式再两式相减以得化简.例17 求级数21n n nx ∞=∑的和.解 因为该级数的收敛半径1lim1nn n a R a →∞+==, 又因为当1x =±时，该级数发散，所以级数收敛域为(-1,1).()21n n nx S x ∞==∑设, 则()24623n S x x x x nx =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ , (5) ()2468223n x S x x x x nx +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, (6)(9)式减去(10)得()()222468211x x S x x x x x x -=++++⋅⋅⋅=-,故()()()222,1,11x S x x x =∈--.转化为微分方程求解, 即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系, 看其是否满足某微分方程及定解条件. 找出求和级数所满足的微分方程及定解条件, 再解该方程.参考文献[1] 刘玉琏. 数学分析讲义(下册)[M], 北京: 高等教育出版社, 2003. [2] 陈传璋. 数学分析讲义下册[J], 北京: 高等教育出版社， 2004. [3] 张春平. 无穷级数的求和探讨[J], 沈阳师范大学学报, (3) 2008, 20-21. 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无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全摘要：1.引言：介绍无穷级数求和公式的重要性和应用领域2.无穷级数的分类：根据项数和项之间的关系分类3.常见无穷级数求和公式：举例介绍常见的无穷级数求和公式4.求和公式的推导方法：介绍几种常用的推导方法5.应用实例：通过具体实例演示无穷级数求和公式的应用6.结论：总结无穷级数求和公式的特点和优势正文：一、引言在数学领域，无穷级数求和公式是一种重要的工具，它在数列、概率、微积分等多个领域都有着广泛的应用。
通过掌握无穷级数求和公式，我们可以更加方便地处理和分析各种问题。
二、无穷级数的分类无穷级数可以根据项数和项之间的关系进行分类，常见的分类有以下几种：1.项数有限的级数：例如等差数列求和、等比数列求和等。
2.项数无限的级数：根据项之间的关系，又可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、常见无穷级数求和公式在数学中，有许多常见的无穷级数求和公式，例如：1.等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中Sn 表示前n 项和，a1 表示第一项，an 表示第n 项。
2.等比数列求和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn 表示前n 项和，a1 表示第一项，q 表示公比。
3.斐波那契数列求和公式：Sn = (1/√5)((1 + √5)/2)^n - (1/√5)(1 -√5)^n。
四、求和公式的推导方法求和公式的推导方法有很多，常见的有以下几种：1.数列求和法：通过对数列进行求和，推导出无穷级数的求和公式。
2.裂项相消法：将级数中的项进行裂项处理，然后通过相消求和的方法推导出求和公式。
3.积分法：通过对级数进行积分，求出原级数的求和公式。
五、应用实例假设有一个等比数列：1, 2, 4, 8, 16,...，其公比为2。
我们可以通过等比数列求和公式求出前n 项和：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q) = 1(1 - 2^n)/(1 - 2) = 2^n - 1。
无穷级数基本公式
无穷级数基本公式无穷级数是指数列无穷求和的结果。
在数学中，有一些常见的无穷级数基本公式，这些公式是用来计算无穷级数和的方法。
下面将介绍一些常用的无穷级数基本公式。
1.等比级数：等比级数是指数列的公比恒定的级数。
对于一个等比级数，如果公比的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。
其和的计算公式为：S=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
2.等差级数：等差级数是指数列的公差恒定的级数。
对于一个等差级数，其和的计算公式为：S=(n/2)*(a+l)，其中a为首项，l为末项，n为项数。
3.平方级数：平方级数是指以平方数作为项的级数。
平方级数的和的计算公式为：S=(n/6)*(n+1)*(2n+1)，其中n为项数。
4.斐波那契级数：斐波那契级数是指以斐波那契数作为项的级数。
斐波那契级数的和的计算公式为：S=F(n+2)-1，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
5.调和级数：调和级数是指以倒数作为项的级数。
调和级数的和的计算公式为：S=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为项数。
6.自然数级数：自然数级数是指以自然数作为项的级数。
自然数级数的和的计算公式为：S=1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2，其中n为项数。
7.交替级数：交替级数是指数列中的项交替进行加法和减法。
交替级数可能是收敛的，也可能是发散的。
这些是一些常见的无穷级数基本公式。
当计算无穷级数和时，我们可以根据级数的特点选择合适的公式进行计算。
需要注意的是，有些无穷级数不存在有限和，而是无限逼近一个特定值，称为发散级数。
因此，在进行无穷级数和的计算时，需要判断级数是否收敛。
等比无穷级数求和公式
等比无穷级数求和公式等比无穷级数求和公式是数学中的一个重要概念，在数学领域有着广泛的应用。
它描述了一种特殊的数列，该数列中的每一项与前一项之比都相等。
下面我们将详细介绍等比无穷级数求和公式及其应用。
等比无穷级数是指一个数列，该数列中的每一项与前一项之比都相等。
数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n 项，a1表示第一项，q表示公比。
当公比q的绝对值小于1时，等比无穷级数会收敛到一个有限的数值；当公比q的绝对值大于1时，等比无穷级数会发散；当公比q的绝对值等于1时，等比无穷级数可能收敛也可能发散。
等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学公式，可以用来计算等比无穷级数的和。
当公比q的绝对值小于1时，等比无穷级数的和可以用以下公式表示：Sn=a1/(1-q)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以通过数学推导得到，具体推导过程可以参考数学教材。
等比无穷级数求和公式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在金融领域，等比无穷级数可以用来计算复利的本息和。
当利率小于1时，每年的本息和可以看作是一个等比无穷级数，利用求和公式可以方便地计算出总本息。
在物理学中，等比无穷级数求和公式也有应用。
例如，在动力学中，当一个物体受到恒定的外力作用时，它的位移随时间的变化可以看作是一个等比无穷级数。
利用求和公式可以计算出物体的总位移。
除了以上的应用，等比无穷级数求和公式还可以用于解决一些数学问题。
例如，可以用它来证明一些数学定理，或者计算一些复杂的数值。
在数学研究中，等比无穷级数求和公式是一个基础工具，为解决其他更复杂的问题提供了便利。
等比无穷级数求和公式是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
它可以用来计算等比无穷级数的和，解决实际问题，证明数学定理，计算数值等。
在学习和应用等比无穷级数求和公式时，我们需要理解其原理和应用场景，并灵活运用数学工具解决实际问题。
通过深入学习和研究，我们可以更好地理解和应用等比无穷级数求和公式，为数学和其他学科的发展做出贡献。
微积分中常见的无穷级数求和
微积分中常见的无穷级数求和无穷级数是一个非常重要的数学概念，它由无限多个数相加而成。
在微积分中，无穷级数求和是一个很常见的问题，因为很多函数的展开式就是一个无穷级数。
1. 无穷级数的定义对于一个数列{an}，我们可以将其相邻两项之差写成一个新的数列{bn}，即bn=an+1-an。
如果这个数列收敛到0，即lim(n→∞)bn=0，那么我们称原序列{an}为一个收敛的级数，记作∑an。
如果级数收敛，那么它的和为S=lim(n→∞)Sn，其中Sn为前n项的和。
2. 无穷级数的求和方法对于一些特殊的级数，我们可以使用一些技巧来求和。
以下是一些比较常见的方法。
2.1 等比数列求和法等比数列指的是一个数列的相邻两项之比为一个常数q，即an=aq^(n-1)。
对于这种数列，我们可以使用以下公式来求和：∑aq^(n-1) = a/(1-q)，其中|q|<1比如，如果我们要求1/2+1/4+1/8+...的和，那么这个数列就是一个等比数列，q=1/2，a=1。
根据公式，它的和为：1/(1-1/2) = 22.2 幂级数求和法幂级数是一种形如∑anx^n的无穷级数，其中n可以是任意自然数或0。
同样的，我们也可以使用一些技巧来求幂级数的和。
对于一个形如∑anx^n的幂级数，如果|q|<1，那么它的和可以用以下公式计算：∑anx^n = 1/(1-x)，其中|x|<1比如，如果我们要求1+x+x^2+x^3+...的和，那么这个幂级数的收敛半径为1，因此当|x|<1时它是收敛的。
根据公式，它的和为：1/(1-x) = 1/(1-(-1)) = 1/22.3 泰勒级数求和法泰勒级数是一种将一个函数展开成无穷级数的方法。
对于一个具有无限阶导数的函数f(x)，它的泰勒级数可以表示为：f(x) = ∑(n=0)∞f^(n)(a)/(n!) * (x-a)^n其中f^(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
无穷级数常见6个公式
无穷级数常见6个公式无穷级数的存在，它的概念具有悠久的历史，它的应用也是非常广泛的，无穷级数的主要应用涉及到数学、物理、化学、工程、统计、经济等领域，因此，无穷级数已经成为实用数学的重要组成部分。
本文将介绍无穷级数常见的六个公式，这些公式是数学家们使用无穷级数进行分析时常用的公式，可以帮助我们更好地理解无穷级数的作用。
首先，充分利用分析性求和式是计算无穷级数的常见方法，它的形式如下：begin{equation}sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...end{equation}其中，$a_1,a_2,a_3,...$是所求无穷级数的项，它把一个无限和拆分成一个无限序列的有限和，并期望形成这些有限和收敛到某一值，从而得出结论。
其次，调和数式是另一个常用的无穷级数公式，它的形式如下： begin{equation}H_n=frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}end{equation}其中，$H_n$表示调和数，它是一类特殊的无穷级数，由1、2、3、...逐步相加而成，这样的数列的表示方法叫做调和级数，它的极限一般认定为无穷大。
第三，反复求和公式是无穷级数的另一种常见应用，它的公式形式如下：begin{equation}sum_{n=1}^{infty}a_n=lim_{mtoinfty}sum_{n=1}^{m}a_nend{equation}其中，$m$表示反复求和的次数，$a_1,a_2,a_3,...$表示求和的项，当$m$逐渐变大，最后反复求和的值将趋于稳定，就是所求的无穷级数的值。
第四，极限级数公式也是无穷级数最常用的一种应用，它的公式形式如下：begin{equation}lim_{ntoinfty} a_n=aend{equation}这里，$a_n$是极限级数的项，$a$表示极限级数的极限值。
当$n$趋向无穷大时，$a_n$也趋向某一数，就是极限值$a$。
无穷级数的求和公式
无穷级数的求和公式在数学领域，无穷级数是一种数列的和，该数列拥有无数个项。
它通常写成∑an，表示该数列的前n个项的和。
无穷级数是数学中一个重要的研究领域，对于其求和公式的研究具有重要意义。
在求解无穷级数的求和公式时，较为常见的方法是使用收敛判别法。
这些方法通常用于确定无穷级数是否有定义，以及是否可以通过有限项之和的逼近来表示。
在确定无穷级数的求和公式时，收敛判别法可以帮助我们找到准确的答案，这是一种非常有用的技巧。
在这里，我们将探讨一些常见的无穷级数求和公式，包括：1.调和级数调和级数是一个极其简单的级数，其形式为1+1/2+1/3+…+1/n+…。
虽然它看起来很直观，但是其充分发散，无法收敛。
这意味着，当n趋近于无穷大时，此级数的和也趋向于正无穷。
2.几何级数几何级数在数学中也十分重要，它的形式为a+ar+ar^2+…+ar^n+…。
其中a为首项，r为公比。
几何级数收敛的条件是当r<1时，此级数的和趋近于a/(1-r)。
然而，当r≥1时，此级数会充分发散。
3.敛散判别法敛散判别法是确定无穷级数是否有定义的基本方法之一。
它的原理是，如果无穷级数可以用一个收敛的级数或比它还要漫长的级数来逼近，那么该级数就是收敛的。
如果无穷级数无法被这种级数所逼近，那么该级数就是发散的。
对于大多数级数而言，敛散判别法是非常有效的，但是有些级数却不太适用。
这时候，我们需要使用其他方法来确定该级数是否有定义，以及其求和公式。
4.改进欧拉公式改进欧拉公式是一种求数学级数的求和公式。
改进欧拉公式的形式为∑(n=1)∞1/(n^2)=π^2/6。
这是一个非常重要的公式，因为它可以被用来证明大量涉及至关重要的数学理论。
5.愚蠢的和公式愚蠢的和公式几乎是与改进的欧拉公式同样重要的公式。
它的形式为∑(n=1)∞n=-(1/12)。
尽管这个公式表面上看起来非常荒谬，但是通过正确的运算方法，我们可以证明其正确性并使用它来推导许多其他数学理论。
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宁波教育学院学报 JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION
Vol.11 No.4 Aug.2009
无穷级数的求和方法举隅
毕道旺
（宁波工程学院理学院， 浙江 宁波 315016）
摘 要：本文应用高等数学的知识，介绍无穷级数求和的方法与技巧，对有关级数理论的学习和教学是大有裨益
(Ningbo No. 7 High School, Zhejiang 315040, China)
Abstract: With continuously furthering the reform of curriculum, teachers have gradually accepted the teaching notion based on the curriculum standards. Only by sticking to the standards, analyzing them, setting teaching objectives, and creatively selecting teaching content, can teachers fully realize the teaching notion in accordance with curriculum standards.
1 21-x
22 =n =
n-1
nx =
1
n
=
0
2n+1
2xn ,
取级数
n=
an
0
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ =
n
x，
bn =
2n+1 2xn ，作这两个级数的乘积
cn ，其中
n=0
n=0
n=0
n=0
∞
Σ cn =
ak bn-k =1·2n+1
2xn
n-1
+x·nx
n-2
2
+…+x ·3x
n-1
n
+x ·2x+x ·1
x 22k 2！
的和函数．
∞
2k-1
∞
2k-2
∞
2k
Σ Σ Σ 解：有 y'= k=1
x 22k-1 2！
，
y''=
k=1
x 22k-2 2！
=
k=0
x 22k 2！
=y，则 y 满足的微分方程 y''-y'=0，初
始条件
y（0）=1，
y'（0）=0，解得
y=
1 2
2ex
-x
+e
2
通过以上无穷级数求和的方法讲解和举例说明，能起到举一反三的效果．
Key words: curriculum standards; teaching objectives; teaching content （责任编辑 戴亦明）
（上接第 78 页）
An Example for the Methods of Summing Unlimited Progression
BI Dao-Wang
(Ningbo University of Technology, Ningbo 315016, China)
Abstract: This article introduces the methods and skills of summing unlimited progression by applying the knowledge of the advanced mathematics. It is of great benefit to studying and teaching in the theory of unlimited progression.
展对青藏地区发展的作用）
阅读澳大利亚牧区与青藏高原牧区的比较图（体会同一
种地区由于自然环境的不同，人们社会生活和风土人情的不
感受牧民对草原的热 爱之情， 认识人地和 谐发展的重要性
同。 引发学生思考自然环境-生产生活-文化的关系。 ）
三、结语
在日常的历史与社会课程教学中，我们应当明确课时相应的课程标准，注意把握好课程标准的分
q -1-q
-2 .
2 拆项法
n
Σ 若 数 列{an }满 足
ak =ck -ck+1
-k=1,2,3,… -，则 部 分 和
sn
=
n
=
1
-ck-ck+1
-=c1
-cn+1
，
当
lim
n→∞
cn+1 =c
时，
有 lim n→∞
sn
∞
Σ =c1 -c, 即 an =c1 -c. n=1
Σ 例
2：
∞
求无穷级数
n
an x 在 x=1 的左侧是连续的，因而可以用来求收敛无穷级数的和．
n=0
Σ∞
例 6：求无穷级数
n-1 πn-1 的和．
n = 1 2n-1
Σ Σ Σ ∞
2n-1
∞
解：由例 4 知 n-1 πn-1 x =arctanx, 应用阿贝耳定理可得：
n-1 πn-1 = lim ∞
2n-1
n-1 πn-1 x
n
n
k
k+1
记部分和 sn = kq ， 则 qsn = kq ,
k=1
k=1
有
sn
-qsn
=
k
n =
1
k
q
n+1
-nq
=
q -1-qn 1-q
- n+1 -nq
,
从而 sn =
Σ q-1-1--qqn-2--
n 1-q
n+1
q.
由
q
∞
<1
知lim n→∞
sn
=
q -1-q
-2 ,即n
=
n
nq =
1
-n 1 n+2
,
有lim n→∞
sn
=
1 4
,
∞
因而
n=1
n→-→n1+-2n-1-=
1 4
.
收稿日期： 2009-05-20 作者简介： 毕道旺（1966 -），男，浙江临海人，宁波工程学院理学院副教授。
76
毕道旺：无穷级数的求和方法举隅
3 逐项微分法
幂级数在其收敛区间内可逐项微分．
∞
Σ 例 3：求无穷级数 πn+1 πnxn-1 πx <1 π的和函数． n=1
Selecting Teaching Content Closely Related to Curriculum Standards
— ——An Example Taken from the Text of Pasture Located at the Highest Altitude Published by People’s Education Publishing House YANG Dan-ting
即
f
20
2=0，有
0=
1 3
∞ 2
π -4
k=1
2-1 2k-1
2
k
，
∞
或
k=1
2-1 2k-1
2
k
2
=π 12
.
8 化为两个级数的乘积
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 如果级数 an 与 bn 都收敛，作这两个级数的乘积 cn ，其中 cn =a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0 = ak bn-k ,
n=
1
n---n1+-2n-1-的和．
Σ Σ - - - - 解：记部分和
sn =
k
n =
1
k---k1+2-k-1-， 则
sn =
k
n =
1
--1 -k-1 2
1 k
-
1 k+2
=
1 2
1- 1 ---1 -n-2 1 ---1 -n-1 1
2
n+1
n+2
Σ =
1 4
+ →-1
-n-1
1 n+1
+ →-1
Σ Σ πΣ π π π ∞
解：和函数 s nx π=
∞
πn+1 πnxn-1 =
''
πxn+1 π=
∞ n+1
x
n=1
n=1
n=1
''
=
2
x 1-x
''
=
2 π1-x
π3 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 逐项积分法
幂级数在其收敛区间内可逐项积分．
∞
2n-1
Σ 例 4：求无穷级数 π-1 πn-1 x πx <1 π的和函数．
难点，具有较强的技巧性，下面给出了无穷级数求和的几种方法．
1 计算部分和的极限
n
Σ 根据无穷级数的定义，收敛无穷级数的和就是它的部分和 sn = k=1
αk
当
n→∞
时的极限，记作lim n→∞
sn
∞
Σ =s，即得 αn =s. n=1
∞
Σ 例 1：求无穷级数
n
nq
→q
<1 →的和．
n=1
Σ Σ Σ 解：