无穷级数的求和方法举隅
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Key words: unlimited progression; sum; method （责任编辑 陈咸存）
Σ Σ πΣ π π π ∞
解：和函数 s nx π=
∞
πn+1 πnxn-1 =
''
πxn+1 π=
∞ n+1
x
n=1
n=1
n=1
''
=
2
x 1-x
''
=
2 π1-x
π3 .
4 逐项积分法
幂级数在其收敛区间内可逐项积分．
∞
2n-1
Σ 例 4：求无穷级数 π-1 πn-1 x πx <1 π的和函数．
即
f
20
2=0，有
0=
1 3
∞ 2
π -4
k=1
2-1 2k-1
2
k
，
∞
或
k=1
2-1 2k-1
2
k
2
=π 12
.
8 化为两个级数的乘积
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 如果级数 an 与 bn 都收敛，作这两个级数的乘积 cn ，其中 cn =a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0 = ak bn-k ,
+
1 3
+…+
1 2n
-ln2n
- lim n→∞
1+
1 2
+
1 3
+…+
1 n
-lnn
+ln2=γ-γ+ln2=ln2, 即 1 =ln2. k = 1 n+k
6 应用阿贝耳定理
∞
∞
Σ Σn
阿贝耳定理：设 an =s,
n=0
则lim
-
x→1
n
=
an x
0
=s.
∞
Σ 阿贝耳定理表明函数 f nx π=
Σ∞
例 7：求无穷级数
2-1 2k-1
2
的和．
k=1 k
解：先求 f 2x 2=x2 的傅里叶级数
乙 a0
=
1 π
π
2
x
dx=
2
2
π，
-π
3
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 ak
=
1 π
π
2
x coskxdx=
1
-π
π
2
x
sinkx
k
π
-1 -π π
π 2x sinkx dx= 2
-π
k
π
π
π -π
x
n=1
2n-1
n = 1 2n-1
-
x→1
n
=
1
2n-1
= lim arctanx= π .
-
x→1
4
7 利用傅里叶级数
∞
Σ 设 在 区 间 →-π,
π
→上 连 续
的函数
f
πx
π的 傅 里 叶 级
数
1 2
a0 +
k=1
πak coskx+bk sinkx
π， 其 中 a k
乙 乙 =
1 π
π -π
f
展对青藏地区发展的作用）
阅读澳大利亚牧区与青藏高原牧区的比较图（体会同一
种地区由于自然环境的不同，人们社会生活和风土人情的不
感受牧民对草原的热 爱之情， 认识人地和 谐发展的重要性
同。 引发学生思考自然环境-生产生活-文化的关系。 ）
三、结语
在日常的历史与社会课程教学中，我们应当明确课时相应的课程标准，注意把握好课程标准的分
(Ningbo No. 7 High School, Zhejiang 315040, China)
Abstract: With continuously furthering the reform of curriculum, teachers have gradually accepted the teaching notion based on the curriculum standards. Only by sticking to the standards, analyzing them, setting teaching objectives, and creatively selecting teaching content, can teachers fully realize the teaching notion in accordance with curriculum standards.
难点，具有较强的技巧性，下面给出了无穷级数求和的几种方法．
1 计算部分和的极限
n
Σ 根据无穷级数的定义，收敛无穷级数的和就是它的部分和 sn = k=1
αk
当
n→∞
时的极限，记作lim n→∞
sn
∞
Σ =s，即得 αn =s. n=1
∞
Σ 例 1：求无穷级数
n
nq
→q
<1 →的和．
n=1
Σ Σ Σ 解：
的．
关键词：无穷级数； 求和； 方法
中图分类号： O173.1
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1009-2560（2009）04-0076－03
∞
∞
Σ Σ 无穷级数通常表示为 αn ，当通项 αn 是常数时，收敛无穷级数 αn 的和也是常数，当通项 αn
n=1
n=1
∞
Σ 是 x 的函数时，收敛无穷级数 αn 的和也是 x 的函数．无穷级数求和问题是学习无穷级数的重点和 n=1
n
n
k
k+1
记部分和 sn = kq ， 则 qsn = kq ,
k=1
k=1
有
sn
-qsn
=
k
n =
1
k
q
n+1
-nq
=
q -1-qn 1-q
- n+1 -nq
,
从而 sn =
Σ q-1-1--qqn-2--
n 1-q
n+1
q.
由
q
∞
<1
知lim n→∞
sn
=
q -1-q
-2 ,即n
=
n
nq =
1
参考文献 [1] 同济大学应用数学系．高等数学 [M]．上海：同济大学出版社，2001． [2] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2005．
78
（下转第 106 页）
宁波教育学院学报
2009 年第 4 期
第四个环节：发展西藏
} 观看：青藏铁路的图片和视频（了解青藏铁路、交通的发
q -1-q
-2 .
2 拆项法
n
Σ 若 数 列{an }满 足
ak =ck -ck+1
-k=1,2,3,… -，则 部 分 和
sn
=
n
=
1
-ck-ck+1
-=c1
-cn+1
，
当
lim
n→∞
cn+1 =c
时，
有 lim n→∞
sn
∞
Σ =c1 -c, 即 an =c1 -c. n=1
Σ 例
2：
∞
求无穷级数
= 乙2n+1 2+n+…+3+2+1 乙xn
k=0
∞
∞
∞
Σ Σ Σ =
1 2
2n+1
22n+2
2xn ,
则
n=
cn =
0
n=
an·
0
n=
0
bn
=
1 1-x
·1 21-x
22 =
1 21-x
23 .
9 转化为微分方程求解
先求出级数所满足的微分方程和初始条件，通过解微分方程求出级数的和．
∞
2k
Σ 例 9：求无穷级数 y= k=0
-n 1 n+2
,
有lim n→∞
sn
=
1 4
,
∞
因而
n=1
n→-→n1+-2n-1-=
1 4
.
收稿日期： 2009-05-20 作者简介： 毕道旺（1966 -），男，浙江临海人，宁波工程学院理学院副教授。
76
毕道旺：无穷级数的求和方法举隅
3 逐项微分法
幂级数在其收敛区间内可逐项微分．
∞
Σ 例 3：求无穷级数 πn+1 πnxn-1 πx <1 π的和函数． n=1
πx
πcoskxdx
，
b
k
=
1 π
π
f πx πsinkxdx πk=1,2, … π, 它 在 →π,-π →上 收 敛 ， 它 的 和 函 数
-π
f→
→
πx
π,-π<x<π
s
πx
π=
→→
1 →
→
→
[f π-π+ π+f ππ- π],x=+π .
2→
→
77
宁波教育学院学报
2009 年第 4 期
n=0
n=0
n=0
k=0
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 如果级数 cn 收敛，那么 cn = an· bn .
n=0
n=0
n=0
n=0
∞
Σ 例 8：求无穷级数 1 2n+1 22n+2 2xn 2x <1 2的和函数． n=0 2
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 解：
1 1-x
=
n
x
2x
n=0
<1
2,上式两边分别逐项求导得
Selecting Teaching Content Closely Related to Curriculum Standards
— ——An Example Taken from the Text of Pasture Located at the Highest Altitude Published by People’s Education Publishing House YANG Dan-ting
x 22k 2！
的和函数．
∞
2k-1
∞
2k-2
∞
2k
Σ Σ Σ 解：有 y'= k=1
x 22k-1 2！
，
y''=
k=1
x 22k-2 2！
=
k=0
x 22k 2！
=y，则 y 满足的微分方程 y''-y'=0，初
始条件
y（0）=1，
y'（0）=0，解得
y=
1 2
2ex
-x
+e
2
通过以上无穷级数求和的方法讲解和举例说明，能起到举一反三的效果．
BI Dao-Wang
(Ningbo University of Technology, Ningbo 315016, China)
Abstract: This article introduces the methods and skills of summing unlimited progression by applying the knowledge of the advanced mathematics. It is of great benefit to studying and teaching in the theory of unlimited progression.
1 21-x
22 =n =
n-1
nx =
1
n
=
0
2n+1
2xn ,
取级数
n=
an
0
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ =
n
x，
bn =
2n+1 2xn ，作这两个级数的乘积
cn ，其中
n=0
n=0
n=0
n=0
∞
Σ cn =
ak bn-k =1·2n+1
2xn
n-1
+x·nx
n-2
2
+…+x ·3x
n-1
n
+x ·2x+x ·1
n=1
2n-1
Σ 乙 乙 ∞
解：和函数的导数 s' πx π=
π-1
πn-1 2n-2 x=
1 2,则
n=1
1+x
x
s' nx πdx=
0
x 0
1
2
1+x
dx,
即
s nx
π-s n0
π=arctanx.
由 s n0 π=0 得 s nx π=arctanx.
5 利用欧拉常数
n π 欧拉（Euler）常数 γ=lim n→∞
1+ 1 + 1 +…+ 1 -lnn
23
n
.
wenku.baidu.com
∞
Σ 例 5：求无穷数
1 的和.
k = 1 n+k
∞
n πn π Σ 解：
记部分和 sn =
k=1
1 n+k
,
则
sn =
1+
1 2
+
1 3
+…+ 1 2n
-
1+
1 2
+
1 3
+…+ 1 n
,
∞
n π n π Σ 有lim n→∞
sn
=lim n→∞
1+
1 2
解，不论是导入的方式、问题的设计，还是地图的选择、图片的运用、歌曲的引用等各个教学环节的教
学内容都要紧扣教学目标，无不以达成课程标准的要求为目的。 这样紧扣课程标准选用的教学内容才
是有效的教学内容,在具体实施过程中才利于提高课堂教学的效率。
参考文献 [1] 韦志榕，赵世瑜. 义务教育课程标准实验教科书历史与社会七年级上[M].北京：人民教育出版社，2007. [2] 教育部.全日制义务教育历史与社会课程标准(二)[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
n
an x 在 x=1 的左侧是连续的，因而可以用来求收敛无穷级数的和．
n=0
Σ∞
例 6：求无穷级数
n-1 πn-1 的和．
n = 1 2n-1
Σ Σ Σ ∞
2n-1
∞
解：由例 4 知 n-1 πn-1 x =arctanx, 应用阿贝耳定理可得：
n-1 πn-1 = lim ∞
2n-1
n-1 πn-1 x
Key words: curriculum standards; teaching objectives; teaching content （责任编辑 戴亦明）
（上接第 78 页）
An Example for the Methods of Summing Unlimited Progression
n=
1
n---n1+-2n-1-的和．
Σ Σ - - - - 解：记部分和
sn =
k
n =
1
k---k1+2-k-1-， 则
sn =
k
n =
1
--1 -k-1 2
1 k
-
1 k+2
=
1 2
1- 1 ---1 -n-2 1 ---1 -n-1 1
2
n+1
n+2
Σ =
1 4
+ →-1
-n-1
1 n+1
+ →-1
2
k
dcoskx
=
2 π
x
coskx
2
k
-2 -π π
π -π
乙 Σ coskx 2 k
dx=4
2-1
2
k
2k
2k=1,2,…
2, bk
=
1 π
π -π
2
x
sinkxdx=0
2k=1,2,…
2,有
2
x
=
1 3
∞ 2
π +4
k=1
2-1
2
2k coskx(-π≤
k
Σ Σ x≤π).因 f 2x 2在 x=0 连续，
第 11 卷 第 4 期 2009 年 8 月
宁波教育学院学报 JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION
Vol.11 No.4 Aug.2009
无穷级数的求和方法举隅
毕道旺
（宁波工程学院理学院， 浙江 宁波 315016）
摘 要：本文应用高等数学的知识，介绍无穷级数求和的方法与技巧，对有关级数理论的学习和教学是大有裨益
Σ Σ πΣ π π π ∞
解：和函数 s nx π=
∞
πn+1 πnxn-1 =
''
πxn+1 π=
∞ n+1
x
n=1
n=1
n=1
''
=
2
x 1-x
''
=
2 π1-x
π3 .
4 逐项积分法
幂级数在其收敛区间内可逐项积分．
∞
2n-1
Σ 例 4：求无穷级数 π-1 πn-1 x πx <1 π的和函数．
即
f
20
2=0，有
0=
1 3
∞ 2
π -4
k=1
2-1 2k-1
2
k
，
∞
或
k=1
2-1 2k-1
2
k
2
=π 12
.
8 化为两个级数的乘积
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 如果级数 an 与 bn 都收敛，作这两个级数的乘积 cn ，其中 cn =a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0 = ak bn-k ,
+
1 3
+…+
1 2n
-ln2n
- lim n→∞
1+
1 2
+
1 3
+…+
1 n
-lnn
+ln2=γ-γ+ln2=ln2, 即 1 =ln2. k = 1 n+k
6 应用阿贝耳定理
∞
∞
Σ Σn
阿贝耳定理：设 an =s,
n=0
则lim
-
x→1
n
=
an x
0
=s.
∞
Σ 阿贝耳定理表明函数 f nx π=
Σ∞
例 7：求无穷级数
2-1 2k-1
2
的和．
k=1 k
解：先求 f 2x 2=x2 的傅里叶级数
乙 a0
=
1 π
π
2
x
dx=
2
2
π，
-π
3
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 ak
=
1 π
π
2
x coskxdx=
1
-π
π
2
x
sinkx
k
π
-1 -π π
π 2x sinkx dx= 2
-π
k
π
π
π -π
x
n=1
2n-1
n = 1 2n-1
-
x→1
n
=
1
2n-1
= lim arctanx= π .
-
x→1
4
7 利用傅里叶级数
∞
Σ 设 在 区 间 →-π,
π
→上 连 续
的函数
f
πx
π的 傅 里 叶 级
数
1 2
a0 +
k=1
πak coskx+bk sinkx
π， 其 中 a k
乙 乙 =
1 π
π -π
f
展对青藏地区发展的作用）
阅读澳大利亚牧区与青藏高原牧区的比较图（体会同一
种地区由于自然环境的不同，人们社会生活和风土人情的不
感受牧民对草原的热 爱之情， 认识人地和 谐发展的重要性
同。 引发学生思考自然环境-生产生活-文化的关系。 ）
三、结语
在日常的历史与社会课程教学中，我们应当明确课时相应的课程标准，注意把握好课程标准的分
(Ningbo No. 7 High School, Zhejiang 315040, China)
Abstract: With continuously furthering the reform of curriculum, teachers have gradually accepted the teaching notion based on the curriculum standards. Only by sticking to the standards, analyzing them, setting teaching objectives, and creatively selecting teaching content, can teachers fully realize the teaching notion in accordance with curriculum standards.
难点，具有较强的技巧性，下面给出了无穷级数求和的几种方法．
1 计算部分和的极限
n
Σ 根据无穷级数的定义，收敛无穷级数的和就是它的部分和 sn = k=1
αk
当
n→∞
时的极限，记作lim n→∞
sn
∞
Σ =s，即得 αn =s. n=1
∞
Σ 例 1：求无穷级数
n
nq
→q
<1 →的和．
n=1
Σ Σ Σ 解：
的．
关键词：无穷级数； 求和； 方法
中图分类号： O173.1
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1009-2560（2009）04-0076－03
∞
∞
Σ Σ 无穷级数通常表示为 αn ，当通项 αn 是常数时，收敛无穷级数 αn 的和也是常数，当通项 αn
n=1
n=1
∞
Σ 是 x 的函数时，收敛无穷级数 αn 的和也是 x 的函数．无穷级数求和问题是学习无穷级数的重点和 n=1
n
n
k
k+1
记部分和 sn = kq ， 则 qsn = kq ,
k=1
k=1
有
sn
-qsn
=
k
n =
1
k
q
n+1
-nq
=
q -1-qn 1-q
- n+1 -nq
,
从而 sn =
Σ q-1-1--qqn-2--
n 1-q
n+1
q.
由
q
∞
<1
知lim n→∞
sn
=
q -1-q
-2 ,即n
=
n
nq =
1
参考文献 [1] 同济大学应用数学系．高等数学 [M]．上海：同济大学出版社，2001． [2] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2005．
78
（下转第 106 页）
宁波教育学院学报
2009 年第 4 期
第四个环节：发展西藏
} 观看：青藏铁路的图片和视频（了解青藏铁路、交通的发
q -1-q
-2 .
2 拆项法
n
Σ 若 数 列{an }满 足
ak =ck -ck+1
-k=1,2,3,… -，则 部 分 和
sn
=
n
=
1
-ck-ck+1
-=c1
-cn+1
，
当
lim
n→∞
cn+1 =c
时，
有 lim n→∞
sn
∞
Σ =c1 -c, 即 an =c1 -c. n=1
Σ 例
2：
∞
求无穷级数
= 乙2n+1 2+n+…+3+2+1 乙xn
k=0
∞
∞
∞
Σ Σ Σ =
1 2
2n+1
22n+2
2xn ,
则
n=
cn =
0
n=
an·
0
n=
0
bn
=
1 1-x
·1 21-x
22 =
1 21-x
23 .
9 转化为微分方程求解
先求出级数所满足的微分方程和初始条件，通过解微分方程求出级数的和．
∞
2k
Σ 例 9：求无穷级数 y= k=0
-n 1 n+2
,
有lim n→∞
sn
=
1 4
,
∞
因而
n=1
n→-→n1+-2n-1-=
1 4
.
收稿日期： 2009-05-20 作者简介： 毕道旺（1966 -），男，浙江临海人，宁波工程学院理学院副教授。
76
毕道旺：无穷级数的求和方法举隅
3 逐项微分法
幂级数在其收敛区间内可逐项微分．
∞
Σ 例 3：求无穷级数 πn+1 πnxn-1 πx <1 π的和函数． n=1
πx
πcoskxdx
，
b
k
=
1 π
π
f πx πsinkxdx πk=1,2, … π, 它 在 →π,-π →上 收 敛 ， 它 的 和 函 数
-π
f→
→
πx
π,-π<x<π
s
πx
π=
→→
1 →
→
→
[f π-π+ π+f ππ- π],x=+π .
2→
→
77
宁波教育学院学报
2009 年第 4 期
n=0
n=0
n=0
k=0
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 如果级数 cn 收敛，那么 cn = an· bn .
n=0
n=0
n=0
n=0
∞
Σ 例 8：求无穷级数 1 2n+1 22n+2 2xn 2x <1 2的和函数． n=0 2
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ 解：
1 1-x
=
n
x
2x
n=0
<1
2,上式两边分别逐项求导得
Selecting Teaching Content Closely Related to Curriculum Standards
— ——An Example Taken from the Text of Pasture Located at the Highest Altitude Published by People’s Education Publishing House YANG Dan-ting
x 22k 2！
的和函数．
∞
2k-1
∞
2k-2
∞
2k
Σ Σ Σ 解：有 y'= k=1
x 22k-1 2！
，
y''=
k=1
x 22k-2 2！
=
k=0
x 22k 2！
=y，则 y 满足的微分方程 y''-y'=0，初
始条件
y（0）=1，
y'（0）=0，解得
y=
1 2
2ex
-x
+e
2
通过以上无穷级数求和的方法讲解和举例说明，能起到举一反三的效果．
BI Dao-Wang
(Ningbo University of Technology, Ningbo 315016, China)
Abstract: This article introduces the methods and skills of summing unlimited progression by applying the knowledge of the advanced mathematics. It is of great benefit to studying and teaching in the theory of unlimited progression.
1 21-x
22 =n =
n-1
nx =
1
n
=
0
2n+1
2xn ,
取级数
n=
an
0
∞
∞
∞
∞
Σ Σ Σ Σ =
n
x，
bn =
2n+1 2xn ，作这两个级数的乘积
cn ，其中
n=0
n=0
n=0
n=0
∞
Σ cn =
ak bn-k =1·2n+1
2xn
n-1
+x·nx
n-2
2
+…+x ·3x
n-1
n
+x ·2x+x ·1
n=1
2n-1
Σ 乙 乙 ∞
解：和函数的导数 s' πx π=
π-1
πn-1 2n-2 x=
1 2,则
n=1
1+x
x
s' nx πdx=
0
x 0
1
2
1+x
dx,
即
s nx
π-s n0
π=arctanx.
由 s n0 π=0 得 s nx π=arctanx.
5 利用欧拉常数
n π 欧拉（Euler）常数 γ=lim n→∞
1+ 1 + 1 +…+ 1 -lnn
23
n
.
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∞
Σ 例 5：求无穷数
1 的和.
k = 1 n+k
∞
n πn π Σ 解：
记部分和 sn =
k=1
1 n+k
,
则
sn =
1+
1 2
+
1 3
+…+ 1 2n
-
1+
1 2
+
1 3
+…+ 1 n
,
∞
n π n π Σ 有lim n→∞
sn
=lim n→∞
1+
1 2
解，不论是导入的方式、问题的设计，还是地图的选择、图片的运用、歌曲的引用等各个教学环节的教
学内容都要紧扣教学目标，无不以达成课程标准的要求为目的。 这样紧扣课程标准选用的教学内容才
是有效的教学内容,在具体实施过程中才利于提高课堂教学的效率。
参考文献 [1] 韦志榕，赵世瑜. 义务教育课程标准实验教科书历史与社会七年级上[M].北京：人民教育出版社，2007. [2] 教育部.全日制义务教育历史与社会课程标准(二)[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
n
an x 在 x=1 的左侧是连续的，因而可以用来求收敛无穷级数的和．
n=0
Σ∞
例 6：求无穷级数
n-1 πn-1 的和．
n = 1 2n-1
Σ Σ Σ ∞
2n-1
∞
解：由例 4 知 n-1 πn-1 x =arctanx, 应用阿贝耳定理可得：
n-1 πn-1 = lim ∞
2n-1
n-1 πn-1 x
Key words: curriculum standards; teaching objectives; teaching content （责任编辑 戴亦明）
（上接第 78 页）
An Example for the Methods of Summing Unlimited Progression
n=
1
n---n1+-2n-1-的和．
Σ Σ - - - - 解：记部分和
sn =
k
n =
1
k---k1+2-k-1-， 则
sn =
k
n =
1
--1 -k-1 2
1 k
-
1 k+2
=
1 2
1- 1 ---1 -n-2 1 ---1 -n-1 1
2
n+1
n+2
Σ =
1 4
+ →-1
-n-1
1 n+1
+ →-1
2
k
dcoskx
=
2 π
x
coskx
2
k
-2 -π π
π -π
乙 Σ coskx 2 k
dx=4
2-1
2
k
2k
2k=1,2,…
2, bk
=
1 π
π -π
2
x
sinkxdx=0
2k=1,2,…
2,有
2
x
=
1 3
∞ 2
π +4
k=1
2-1
2
2k coskx(-π≤
k
Σ Σ x≤π).因 f 2x 2在 x=0 连续，
第 11 卷 第 4 期 2009 年 8 月
宁波教育学院学报 JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION
Vol.11 No.4 Aug.2009
无穷级数的求和方法举隅
毕道旺
（宁波工程学院理学院， 浙江 宁波 315016）
摘 要：本文应用高等数学的知识，介绍无穷级数求和的方法与技巧，对有关级数理论的学习和教学是大有裨益