正交矩阵的性质和应用

目录

摘要（关键词） (1)

Abstract（Key words） (1)

1前言 (1)

2正交矩阵的性质 (1)

3正交矩阵的相关命题 (3)

4 正交矩阵的应用 (5)

4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)

4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)

4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)

5后记 (10)

参考文献 (10)

致谢 (11)

关于正交矩阵的性质及应用研究

摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.

关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用

Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.

Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application

1前言

我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？

我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。

2正交矩阵的性质

本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P 上的矩阵，用n n P ⨯表示数域P 上n 阶方阵的集合，用E 表示单位矩阵，用A 、1-A 、*A 、'A 分别表示矩阵A 的行列式、逆矩阵（当A 可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵. 定义2.1 n 阶实矩阵A ，若有 E A A =' ，则称A 为正交矩阵.

等价定义1: n 阶实矩阵A ，若有 E A A ='，则称A 为正交矩阵；

等价定义2: n 阶实矩阵A ，若有 1-='A A ，则称A 为正交矩阵；

等价定义3: n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称A 为

正交矩阵.

性质2.1 A 为正交矩阵，则其行列式的值为1或1-.

证明： 由正交矩阵的定义知,E A A =' 两边同取行列式，得1=='E A A ，又由于A A ='，则12

=A ， 即1±=A

性质2.2 A 为正交矩阵，A 的任一行(列)乘以1-得到的矩阵仍为正交矩阵.

证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=，其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然()n j i ββββ,,,,,,1 -也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.

性质2.3 A 为正交矩阵,A 的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.

证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然n i j ββββ,,,,,,1 也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.

性质2.4 A 为正交矩阵，则1-A 、A '、*A 也是正交矩阵.

证明： ()

()()E E A A A A A A =='='='------111111 ∴1-A 为正交矩阵,()E A A A A ='='''

∴A '为正交矩阵,()()()()E A A A A A A A A A A A A A ='='='='------**1121111,*∴A 为正交矩阵.

性质2.5 A 为正交矩阵,则m A 也是正交矩阵.

证明： A 为正交矩阵，则1-='A A ,()()()()11--=='='m m m m A A A A ,由正交矩阵的等价

定义2知，A 为正交矩阵.

性质2.6 A 、B 均为正交矩阵,则它们的积AB 也是正交矩阵.

证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于()()111---==''='AB A B A B AB ,由

正交矩阵的等价定义2知，AB 为正交矩阵.

性质2.7 A 、B 均为正交矩阵,则B A '()B A '也是正交矩阵.

证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B 由于()()()

()1111----'='='''=''A B A B A B B A ()1

-'=B A 所以B A '为正交矩阵.B A '证明同上.

性质2.8 A 、B 均为正交矩阵,则B A 1-()1-AB 也是正交矩阵.

证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于()()()111111------==''='A B A B A B B A ()1

1--=B A ,所以B A 1-为正交矩阵.1-AB 证明同上.

性质2.9 A 、B 均为正交矩阵,则BA A 1-也是正交矩阵.

证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B 由于()()11111-----=='''='A A B A A B A BA A ()()1

1111-----=BA A A B 所以BA A 1-为正交矩阵.

性质2.10 A 、B 均为正交矩阵,则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛B A 00也是正交矩阵. 证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11000000B A B A B A

100-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛B A 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00为正交矩阵. 性质2.11 A 、B 均为正交矩阵,则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--A A A A 21也是正交矩阵. 证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,则有 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A A A A A A A A 2121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-'=E A A A A A A A A A A A A A A

A A 00E 002002212121，则有结论⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A A A A 21为正交矩阵成立.