知识点一导数与函数的单调性.docx

1.函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果广⑴>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果f\x) <0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递减.如果f\x) = 0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数. 注：函数y = /(x)在(a,b)内单调递增，贝iJ/z(x)>0, f\x)>0是)y/(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.

2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；Illi线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.

一般地，当函数》= /(兀)在点兀。处连续时，判断/(兀。)是极人(小)值的方法是：

(1)如果在兀0附近的左侧厂(力〉° ,右侧厂(x)V°,那么/(兀0)是极大值.

(2)如果在兀。附近的左侧厂(兀)<° ,右侧厂(兀)>°,那么/(兀。)是极小值.

注：导数为0的点不一定是极值点

知识点一：导数与函数的单调性

方法归纳：

在某个区间(a,b)内，如果广(%) > 0 ,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果广(兀)<0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减.如果广(兀)=0 ,那么函数y = /(X)在这个区间上是常数函数.

注：函数y = /(X)在(a,b)内单调递增，贝IJ广⑴》0, f\x)> 0是y =/(x)在(a?b)内单调递增的充分不必要条件.

例］】(B类)已知函数f(x) = x3+bx2^cx + d的图象过点P(0, 2),且在点M(—1, /(-I))处的切线方程为6x— y + 7 = 0.

(I )求函数y = f(x)的解析式：(II)求函数y = f(x)的单调区间.

【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数门对在区间［a9b］±递增可得:/*(x)>0；函数/(兀)在区间［a,h］_L递减可得：八兀)50.

【例2】(A类)若f(x) = ax3+x在区间［一1,1］上单调递增,求d的取值范围.

【解题思路】利用函数/(兀)在区间［。,切上递增可得：厂⑴no；函数/(兀)在区间［a,切上递减可得：f V) < 0 .得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解

【例3】(B 类)已知函数/(x) = Inx, g(x) = - (a > 0),® F(x) = f(x) + g(x).

(I)求函数FCx)的单调区间；

(II)若以函数y = F(x)(x e (0,3］)图像上任意一点P(x09y0)为切点的切线的斜率£ 5丄恒成立，

求实数d的最小值

【课堂练习】

1. (B)己知两数f(x) = ax3+bx2的图像经过点M(l,4),曲线在点M处的切线恰好与直线

x + 9y = 0 垂直.

(I )求实数a,b的值;

(II)若函数/(兀)在区间［加，加+ 1］上单调递增，求加的取值范围.

2. (B类)设函数g(x) = —x2 + — ax2 -bx(a,b e R),在其图彖上一点P (x, y)处的切线的斜率记为/⑴.

(1)若方程/(X)= 0有两个实根分别为-2和4,^/(%)的表达式；

(2)若gd)在区间［-1,3］上是单调递减函数求/ 的最小值

3. (A类)已知函数/(x) = |x2一tn In x + （m一l）x ,

meR.当m<0时，讨论函数/(x)的单调

性.

例一［解析】(I )由/(对的图象经过P(0, 2),知d = 2,

所以 f (x )=兀‘ + bx 2 + ex + 2 • 所以广(x) = 3x 2 + 2bx + c.

由在M(-1, /(-I))处的切线方程是6无一 y + 7 = 0 , 知一6 — 于(一1) + 7 = 0,即.f(—1) = 1,.厂

(_1) = 6.

2b —c = 3, 即彳 解得b = c = —3. b-c = 0.

故所求的解析式是f(x)=『—3/ — 3x + 2 .

(II)因为广(兀) = 3/—6兀—3,

令3兀2_6兀一3 = 0,即X 2

-2X -1 = 0, 解得 %, =1-^2 , x 2 =1 + 72 . 当%/2

故/(X ) = ?-3X 2-3X + 2在(一°°，1 一血］内是增函数，在［1-V2,1 + A /2］内是减函数，在 ［1 +血,+00)内是增函数

例二【解析］••f \x) = 3ax 2+\又于⑴在区间［-1,1］上单调递增

.•.//(x) = 3ax 2+l>0在［一 1,1］上恒成立 BPa>—- 在兀w ［-1,1］时恒成立.

3x a>-~ 故d 的取值范围为［--,+oo ］

3 3

例三解析】(I) F (x) = /(x) + g(x) = lnx + —(x>0), F'(x)=丄一 ¥=

入:(兀〉0)

T a > 0 ,由 F f

(x) > 0 => x e (a,4-oo)，•: F (兀)在仏+oo)上单调递增.

由 F*(X )<0=>XG (0,6/) ,

F (x)在(0,a)上单调递减.

AF (x)的单调递减区间为(0卫)，单调递增区间为仏+00).

(II) F *(%) = —^―(0 < x < 3), k = F *(x 0) = /Z (O < x < 3)a > ~—x^ +x 0 X 兀0 I 2 丿口那

当兀0=1吋，—*球+兀0取得最大值g •

所以

3 — 2b + c = 6, 一 1 + /? — c + 2 = 1.