(完整版)高中数学圆的基本知识与分类练习

高一数学期中复习之一——圆

一．基本知识之关于圆的方程

1. 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地， 当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.

2. 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，其中0422>-+F E D .

圆心为点,2

2D E ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，半径r =

3. 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：

①2

x 项2

y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+AF E D .

4. 圆C ：222

()()x a y b r -+-=的参数方程为⎩

⎨

⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ为参数). 特殊地，222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==θ

θsin cos r y r x (θ

为参数).

5. 圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ),

当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 二．基本知识之关于直线与圆的位置关系

1. 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

2. 直线截圆所得弦长的计算方法：

①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦

AB

=

=；

②利用垂径定理和勾股定理：AB =其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离). 3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：

三．分类例题练习

1. 关于圆的方程：

例1：求满足下列各条件圆的方程：

(1)以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆； (2)与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；

(3)求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程；

(4)求与圆52

2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.

解：（1）22

1012510x y x y +--+=

（2）2

2

(13)(13)169x y -+-=或2

2

(5)(5)25x y -+-= （3）2

2

(2)(1)10x y -+-= （4）2

2

(3)(6)20x y ++-= 2. 关于点和圆的位置

例2：(1)已知点) 12 , 15 (a a P +在圆169)1(2

2=+-y x 的内部,求a 的取值范围.

(2)直线220x y k --=与直线230x y k --=的交点在圆2

2

25x y +=上，求k 的值. (3)已知直线01=--by ax 与圆:O 2

2

1x y +=相交，问点),(b a 的圆O 位置关系如何？ 解：(1)11a -<<； (2)1k =±； (3)圆外

3. 圆上的点的用法

例3：(1)已知实数x 、y 满足方程2

2

410x y x +-+=.分别求

y x ，y x -，及22

x y +的最大值和最小值. (2)平面上两点()1,0A -、()1,0B ，在圆C ：()()22

344x y -+-=上取一点P ，

求使22

AP BP +取得最小值时点P 的坐标.

(3)圆2

2

2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=

的点共有 个. (4)求圆01222

2

=+--+y x y x 上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值.

4. 关于直线和圆的位置

例4：(1)求圆042

2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程.

(2)求过点()2,3P 的圆2

2

4x y +=的切线方程.

(3)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 22

2=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围. (4)已知直线l ：y x b =+与曲线C ：y =b 的取值范围.

(5)已知直线l ：2830mx y m ---=和圆22

:612200C x y x y +-++=；

①m R ∈时，证明l 与C 总相交； ②m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.

(5) ①直线l ：2830mx y m ---=恒过的点(4,3)-在圆C 之内，故对m R ∈有l 与C 总相交；；

5. 关于圆与圆的位置

例5：(1)判断两圆012462

2

=++-+y x y x 和⎩

⎨⎧+=+-=θθ

sin 62cos 61y x (θ为参数)的位置关系.

(2) 已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22

210240x y x y +-+-=相交于,A B 两点，

①求公共弦AB 所在的直线方程；②求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程； ③求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程.

解：（1）相交

(2) ①公共弦AB 所在的直线方程为：240x y -+=；

②圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程为：2

2

(3)(3)10x y ++-=； ③经过,A B 两点且面积最小的圆的方程为：2

2

(2)(1)5x y ++-=.

6. 关于对称问题

例6：(1)求圆5)2(2

2

=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程.

(2)求圆22

2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.

(3)点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，反射光线与圆2

2

:4470C x y x y +--+= 相切，求光线l 所在直线方程. (4)直线x m

y 2

=

与圆0422=-+++ny mx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，求弦MN 的长.

解：（1）2

2

(2)5x y -+=； （2）2

2

(7)(1)1x y +++=

（3）3430x y +-=和4330x y ++=；（4）2,2,4m n ==-弦长为 7.关于轨迹

例7：(1)已知O 为原点，定点(4,0)Q ，点P 是圆2

2

4x y +=上一动点.

①求线段PQ 中点的轨迹方程；②设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程. (2)过圆2

2

:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为l 上任意一点，再过M 作圆的

另一切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程.