(完整版)高中数学圆的基本知识与分类练习
圆的基础知识点及习题
圆基础训练题1一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角 ；圆周 角 ； （2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度； （3）在下图中，若AB 是圆O 的直径，则∠AOB= 度；题2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线；圆是中心对称图形，对称中心为 ．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如上图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E∴ = ， =3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ； 例：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ，（1）当d =2厘米时，有d r ，点在圆 （2）当d =7厘米时，有d r ，点在圆 （3）当d =5厘米时，有d r ，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．例：已知圆的半径r 等于12厘米，圆心到直线l 的距离为d ， （1）当d =10厘米时，有d r ，直线l 与圆 （2）当d =12厘米时，有d r ，直线l 与圆 （3）当d =15厘米时，有d r ，直线l 与圆5、圆与圆的位置关系：例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2的半径为8厘米，圆心距为 d ， 则：R+r= ， R －r= ；（1）当d =14厘米时，因为d R+r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是：OACB EOAB D（2）当d =2厘米时， 因为d R －r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （3）当d =15厘米时，因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （4）当d =7厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （5）当d =1厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 6、切线性质：例：（1）如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，则∠PAO= 度（2）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点， 则 = ，∠ =∠ ；6题7、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点； 例：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形ABC 的内切圆， （2）画出三角形DEF 的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心二、练习： （一）填空题1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，则»AB 的度数= 度， ¼ACB 的度数等于 度；∠AOB＝ 度，∠AC B ＝ 度，第1小题2、如图，已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若»AB 、»CA 、»BC 的 度数之比为1∶2∶3，则∠AOB＝ ，∠AOC＝ ， ∠AC B ＝ ，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OD=3，则AD= ，AB 的长为 ；5、如图，已知⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝，则OD= ㎝。
高一数学圆的知识点及题型
高一数学圆的知识点及题型圆是高中数学中重要的几何概念之一，掌握圆的知识点及题型对于学好高中数学非常关键。
本文将详细介绍高一数学中与圆相关的知识点及解题技巧。
一、圆的相关定义1. 圆的定义：平面上的所有到一个固定点的距离相等的点构成一个圆。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的重要要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的两个相对的点所确定的线段，通常用字母d 表示，其长度等于半径的两倍。
3. 弧与弦：- 弧：圆上的一部分，弧长是弧上的两个端点所对应的弧所对的圆心角的度数所对应的弧长。
- 弦：连接圆上任意两点的线段。
4. 圆周角：以圆心为顶点的角。
二、圆的性质1. 圆的三要素关系：- 半径与直径的关系：直径是半径的两倍，即d = 2r。
- 直径与周长的关系：周长是直径的π倍，即C = πd。
- 半径与周长的关系：周长是半径的2π倍，即C = 2πr。
2. 弧长与圆周角的关系：- 弧长公式：弧长L等于圆周角的弧度数乘以半径，即L = rθ，其中θ用弧度表示。
- 弧度与角度的转换：1弧度= 180°/π。
3. 弦和切线的关系：- 弦上的中垂线过圆心：圆心角所对的弦，其上的中垂线经过圆心。
- 切线与半径的关系：半径与半径所在切线的交点连线垂直，且相互延长至圆的外部，即半径垂直于切线。
三、圆的相关题型及解题技巧1. 圆的面积和周长：- 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积，r为半径。
- 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r为半径。
2. 圆心角和弧度制：- 圆心角的度数与弧度的关系：圆心角θ的度数等于圆心角所对弧的弧长L除以半径r的比值，即θ = L/r。
- 弧度制与角度制的转换：角度制的度数乘以π/180即可转换为弧度制。
3. 弦长和半径的关系：- 弦长公式：弦长L等于半径r与所对圆心角θ的正弦值之积的2倍，即L = 2rsin(θ/2)。
高中圆基础练习题及讲解
高中圆基础练习题及讲解### 高中圆基础练习题及讲解练习题1：已知圆心为(2,3)，半径为5的圆，求圆的方程。
解：根据圆的标准方程，\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
代入题目给定的值，我们有：\[(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2\]练习题2：已知圆心在原点，半径为4的圆，求圆上点P(x,y)的坐标，使得点P到圆心的距离为6。
解：由题意知，圆的方程为\[x^2 + y^2 = 4^2\]。
点P到圆心的距离为6，即\[x^2 + y^2 = 6^2\]。
解方程组：\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 16 \\x^2 + y^2 = 36\end{cases}\]练习题3：已知圆经过点A(1,2)和点B(4,5)，求圆的方程。
解：首先求AB的中点C，\[C\left(\frac{1+4}{2},\frac{2+5}{2}\right) = (2.5, 3.5)\]。
然后求AB的斜率，\[m =\frac{5-2}{4-1} = 1\]。
AB的中垂线斜率为\[-1\]，中垂线方程为：\[y - 3.5 = -1(x - 2.5)\]求出中垂线与AB的交点即为圆心O，再求出半径r，最后得到圆的方程。
练习题4：已知圆心在x轴上，且圆经过点(2,3)和(-2,-3)，求圆的方程。
解：由题意知，圆心在x轴上，设圆心为(a,0)。
由于圆经过点(2,3)和(-2,-3)，我们可以得到：\[(2-a)^2 + 3^2 = (-2-a)^2 + 3^2\]解得a的值，进而得到圆的半径r，最后得到圆的方程。
练习题5：已知圆的方程为\[(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25\]，求与该圆相切的直线方程，且该直线与x轴的交点为(4,0)。
解：圆心为(1,-2)，半径为5。
设切线方程为\[y = k(x-4)\]，即\[kx - y - 4k = 0\]。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
圆知识点总结及习题
圆知识点总结及习题一、基本概念1. 圆的定义圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径，以O表示圆心，r表示半径的圆记作圆O。
2. 圆的元素圆的元素包括圆心、半径、直径、弦、弧和扇形。
直径是连接圆上任意两点的线段，且通过圆心。
弦是圆上任意两点的线段，弧是圆上的一段弧线，扇形是由圆心、圆上两点和这两点对应的弧线所组成的区域。
3. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr2。
二、性质1. 圆的基本性质圆上任意两点之间的距离相等。
2. 弧长和圆心角的关系弧长和圆心角之间的关系为：L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。
3. 弦长和圆心角的关系弦长和圆心角之间的关系为：l=2rsin(θ/2)，其中l表示弦长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。
三、定理1. 圆的切线定理定理1：当直线与圆相交于两点时，这条直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角，且切点处的切线等于半径。
2. 圆心角定理定理2：圆心角的度数是它所对的圆周角度数的两倍。
3. 弦切线定理定理3：当直线与圆相交于一个点时，这条直线称为圆的切线。
切线与切点处的弦相交延长线的夹角等于这条弦所对的圆心角的度数。
四、习题1. 已知半径为8，求圆的周长和面积。
2. 在半径为6的圆中，求一条长2的弦的长度。
3. 已知AB为圆上的弦，AB=6，O为圆心，求角AOB的度数。
通过本文的总结，我们对圆的基本概念、性质、定理和相关的习题有了一定的了解。
希望读者能够通过学习更深入地了解圆的相关知识，提高数学学科的成绩。
第24章 圆章节知识点及习题及答案
第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。
7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。
圆的概念 弧、圆心角、圆周角、弦 知识点+例题+练习(分类全面)
例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．。
圆相关知识点复习及练习题
圆相关知识点复习及练习题一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
圆的有关概念：1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。
（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
大于半圆周的圆弧叫做优弧。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
（4）顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
（5）圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
（6）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
（7）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
直角三角形内切圆半径r满足：r=+。
+a2bc7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
1、圆的有关性质1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、夹在平行线间的两条弧相等。
（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1（ⅰ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（ⅱ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（ⅲ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
(完整版)高中数学圆知识+习题总结.docx
1． 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r ＞ 0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，(D 2＋圆心： －D ，－E，一般方程22E 2－ 4F ＞ 0)半径：1D 2＋E 2－ 4F22． 直线与圆的位置关系 (半径为 r ，圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程＜ 0＝ 0＞ 0量观点 化几何d ＞ rd ＝ rd ＜ r观点3． 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1， r 2， d ＝ |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1－ r 2|＜ d ＜d ＞ r 1＋ r 2 d ＝ r 1＋ r 2 d ＝ |r 1－ r 2| d ＜ |r 1－ r 2| r 1＋ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 ＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2) 几何法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2．1.圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 6 与直线 2x＋ y－ 5＝ 0 的位置关系是 ()A ．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2.若直线 x－ y＋ 1＝ 0 与圆 (x－a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围为 ________．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 43.过原点且与直线6x－ 3y＋ 1＝ 0平行的直线 l 被圆 x2＋ (y－3)2＝ 7所截得的弦长为________．4.若圆 C1： x2＋ y2＝ 1 与圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0 外切，则 m＝ ()A． 21B． 19C． 9D．－ 115.若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞ 0)的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________．6.已知点 M 是直线 3x＋ 4y－ 2＝0 上的动点，点 N 为圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()A ．9B． 1 5413C．5D．51与圆 x2＋ y2－ 2x＝ 15 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y＝－ x－ 22截式为 ________．8.已知圆 M ：x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切D．相离9.已知圆 C 经过点 A(2，－ 1)，和直线x＋ y＝ 1 相切，且圆心在直线y＝－ 2x 上．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．。
(完整版)高二数学圆专项训练
高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1.【AB 】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.【A 】圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2.【B 】圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)b 1=2b =圆的方程为。
3.【A 】圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.3.【B 】已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________． 【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.二、与圆有关的轨迹问题1.【A 】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程； 【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.22(2)1x y +-=∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.2.【B 】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3.【A 】已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ．解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。
高中圆的练习题及答案
高中圆的练习题及答案1. 题目：圆的基本概念及性质题目描述：请列举圆的基本概念及性质，并给出相应的解答。
解答：圆是平面上一组离一个确定点的距离都相等的点的集合。
其中，离圆心最远的点称为圆的半径（r），圆心到任意一点的距离称为该点的弧长（s），其中的中心角（θ）满足θ = s/r。
圆的直径（d）是任意经过圆心的两点之间的距离，直径等于半径的两倍，即d = 2r。
圆的性质：1) 圆上的点到圆心的距离都相等；2) 半径相等的两个圆互为同心圆，同心圆必定在同一平面上；3) 圆的任意直径都是一条直线；4) 圆的弧与其对应的圆心角相等；5) 相等弧所对的圆心角相等；6) 同样的弧所对的圆心角相等；7) 两条弧所对应的圆心角互补，其和为360°。
2. 题目：圆的周长和面积计算题目描述：已知圆的半径为6cm，求解其周长和面积。
解答：已知圆的半径 r = 6cm，可以利用以下公式计算周长和面积：1) 周长（C）= 2πr，其中π 取近似值3.14；2) 面积（A）= πr²。
根据给定的半径，代入公式计算得出：1) 周长C = 2πr = 2 × 3.14 ×6 ≈ 37.68cm；2) 面积A = πr² = 3.14 × 6² ≈ 113.04cm²。
所以，该圆的周长约为37.68cm，面积约为113.04cm²。
3. 题目：判断圆的位置关系题目描述：已知两个圆，圆A的半径为8cm，圆心坐标为(2, 3)，圆B的半径为6cm，圆心坐标为(5, 7)，判断圆A和圆B的位置关系。
解答：根据题目给出的信息，我们可以计算出圆心A与圆心B之间的距离。
使用勾股定理，计算两个圆心之间的距离d：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]，其中(x1, y1)表示圆A的圆心坐标，(x2, y2)表示圆B的圆心坐标。
《圆》知识点及练习题Word版
《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
《圆》知识点及练习题
《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
高中圆的练习题及答案
高中圆的练习题及答案高中圆的练习题及答案在高中数学中，圆是一个重要的几何概念。
它具有独特的性质和特点，是许多数学问题和应用的基础。
在本文中，我们将探讨高中圆的练习题及其答案，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
1. 题目：已知圆的半径为5cm，求其周长和面积。
解答：圆的周长公式为C=2πr，面积公式为A=πr²。
代入半径r=5cm，即可得到周长C=2π×5=10π cm，面积A=π×5²=25π cm²。
2. 题目：已知圆的直径为8cm，求其周长和面积。
解答：圆的直径等于半径的两倍，所以半径r=8/2=4cm。
根据前面的公式，周长C=2πr=2π×4=8π cm，面积A=πr²=π×4²=16π cm²。
3. 题目：已知圆的周长为12π cm，求其半径和面积。
解答：根据周长公式C=2πr，可以得到r=C/2π=12π/2π=6cm。
然后，根据面积公式A=πr²，可以得到面积A=π×6²=36π cm²。
4. 题目：已知圆的周长为30cm，求其半径和面积。
解答：同样利用周长公式C=2πr，可以得到r=C/2π=30/2π=15/π cm。
然后，利用面积公式A=πr²，可以得到面积A=π×(15/π)²=225/π cm²。
5. 题目：已知圆的面积为16π cm²，求其半径和周长。
解答：根据面积公式A=πr²，可以得到r=√(A/π)=√(16π/π)=√16=4cm。
然后，利用周长公式C=2πr，可以得到周长C=2π×4=8π cm。
通过以上练习题，我们可以看到圆的周长和面积与其半径之间的关系。
当我们已知半径时，可以利用周长和面积的公式求解；反之，当我们已知周长或面积时，可以反推出半径的值。
这种关系在解决实际问题和进行几何推理时非常有用。
高中数学圆的基本知识与分类练习
高一数学期中复习之一——圆一．基本知识之关于圆的方程1. 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地， 当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.2. 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，其中0422>-+F E D .圆心为点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r =3. 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+AF E D .4. 圆C ：222()()x a y b r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ为参数). 特殊地，222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数).5. 圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ),当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 二．基本知识之关于直线与圆的位置关系1. 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系满足以下关系：2. 直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦AB==；②利用垂径定理和勾股定理：AB =其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离). 3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：三．分类例题练习1. 关于圆的方程：例1：求满足下列各条件圆的方程：(1)以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆； (2)与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；(3)求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程；(4)求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.解：（1）221012510x y x y +--+=（2）22(13)(13)169x y -+-=或22(5)(5)25x y -+-= （3）22(2)(1)10x y -+-= （4）22(3)(6)20x y ++-= 2. 关于点和圆的位置例2：(1)已知点) 12 , 15 (a a P +在圆169)1(22=+-y x 的内部,求a 的取值范围.(2)直线220x y k --=与直线230x y k --=的交点在圆2225x y +=上，求k 的值. (3)已知直线01=--by ax 与圆:O 221x y +=相交，问点),(b a 的圆O 位置关系如何？ 解：(1)11a -<<； (2)1k =±； (3)圆外3. 圆上的点的用法例3：(1)已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.分别求y x ，y x -，及22x y +的最大值和最小值. (2)平面上两点()1,0A -、()1,0B ，在圆C ：()()22344x y -+-=上取一点P ，求使22AP BP +取得最小值时点P 的坐标.(3)圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个. (4)求圆012222=+--+y x y x 上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值.4. 关于直线和圆的位置例4：(1)求圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程.(2)求过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程.(3)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围. (4)已知直线l ：y x b =+与曲线C ：y =b 的取值范围.(5)已知直线l ：2830mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；①m R ∈时，证明l 与C 总相交； ②m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.(5) ①直线l ：2830mx y m ---=恒过的点(4,3)-在圆C 之内，故对m R ∈有l 与C 总相交；；5. 关于圆与圆的位置例5：(1)判断两圆0124622=++-+y x y x 和⎩⎨⎧+=+-=θθsin 62cos 61y x (θ为参数)的位置关系.(2) 已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22210240x y x y +-+-=相交于,A B 两点，①求公共弦AB 所在的直线方程；②求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程； ③求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程.解：（1）相交(2) ①公共弦AB 所在的直线方程为：240x y -+=；②圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程为：22(3)(3)10x y ++-=； ③经过,A B 两点且面积最小的圆的方程为：22(2)(1)5x y ++-=.6. 关于对称问题例6：(1)求圆5)2(22=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程.(2)求圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.(3)点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，反射光线与圆22:4470C x y x y +--+= 相切，求光线l 所在直线方程. (4)直线x my 2=与圆0422=-+++ny mx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，求弦MN 的长.解：（1）22(2)5x y -+=； （2）22(7)(1)1x y +++=（3）3430x y +-=和4330x y ++=；（4）2,2,4m n ==-弦长为 7.关于轨迹例7：(1)已知O 为原点，定点(4,0)Q ，点P 是圆224x y +=上一动点.①求线段PQ 中点的轨迹方程；②设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程. (2)过圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为l 上任意一点，再过M 作圆的另一切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程.(3)已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. (4)过圆224x y +=内一点)1,1(A 作一弦交圆于C B 、两点,过点C B 、分别作圆的切线PC PB 、，两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.（4）40x y +-=详细答案图片版：注意解法不唯一。
圆知识梳理+题型归纳附答案-(详细知识点归纳+中考真题)
圆【知识点梳理】一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，rd d CBAO即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
高中有关圆的练习题及讲解
高中有关圆的练习题及讲解### 高中数学：圆的练习题及讲解#### 练习题一：圆的方程题目：已知圆心在(2,3)，半径为5，求这个圆的标准方程。
解答：圆的标准方程为 \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \)，其中 \( (h,k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。
将已知的圆心坐标(2,3)和半径5代入公式，得到：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2 \]\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \]#### 练习题二：圆与直线的位置关系题目：已知直线 \( y = x + 1 \) 与圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 \)，求直线与圆的位置关系。
解答：首先，确定圆心和半径。
圆心为(1,2)，半径为3。
接着，计算圆心到直线的距离 \( d \)：\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]对于直线 \( y = x + 1 \)，即 \( Ax + By + C = 0 \)，我们有\( A = 1, B = -1, C = -1 \)，圆心坐标 \( (x_0, y_0) = (1, 2) \)。
代入公式计算得：\[ d = \frac{|1\cdot1 - 1\cdot2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]因为 \( d < r \)（\( \sqrt{2} < 3 \)），所以直线与圆相交。
#### 练习题三：圆的切线题目：在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上求一点P，使得过P的切线与直线 \( y = x \) 平行。
解答：圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 的圆心在原点(0,0)，半径为5。
过P的切线与直线 \( y = x \) 平行，意味着切线的斜率为1。
圆的基本性质知识点及典型例题
圆的基本性质一、知识点梳理★知识点一：圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
★知识点二：平面内点与圆的位置关系：r 表示圆的半径， d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。
例 1、如图，在Rt△ ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC ，AC的中点，以点 A 为圆心，AB的长为半径画圆，则点 E 在圆 A 的 _________ ，点F在圆 A 的 _________．例2、在直角坐标平面内，圆O的半径为，圆心O的坐标为 (1， 4) ．试判断5点 P(3， 1) 与圆 O 的位置关系．例 3、下列说法中，正确的是。
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（ 4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。
例 4、有下列四个命题：（ 1）直径相等的两个圆是等圆；（ 2）长度相等的两条弧是等弧；（ 3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。
★知识点三：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题例 1：下列语句中正确的是。
（ 1）相等的圆心角所对的弧相等；（ 2）相等的弧所对的弦相等；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）弦的垂直平分线必过圆心。
例 2、过⊙内一点 M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么 OM的长为（）（ A） 3cm（ B） 6cm（ C）cm（ D） 9cm例 3、如图所示 , 以为圆心的两个同心圆中 , 小圆的弦AB 的延长线交大圆于, 若AD BCO C =6,=1, 则与圆环的面积是OAB BC例 4、在半径为 5 厘米的圆内有两条互相平行的弦, 一条弦长为8 厘米 , 另一条弦长为 6 厘米 , 则两弦之间的距离为 _______.7 厘米或 1 厘米例 5、如图，矩形 ABCD与与圆心在 AB上的⊙ O交于点 G、 B、 F、 E， GB=8cm， AG=1cm，DE=2cm，则 EF=cm .例 6、如图所示，是一个直径为 650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽 AB=600mm，求油面的最大深度。
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高一数学期中复习之一——圆
一．基本知识之关于圆的方程
1. 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地， 当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.
2. 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，其中0422>-+F E D .
圆心为点,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，半径r =
3. 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：
①2
x 项2
y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+AF E D .
4. 圆C ：222
()()x a y b r -+-=的参数方程为⎩
⎨
⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ为参数). 特殊地，222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin cos r y r x (θ
为参数).
5. 圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ),
当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 二．基本知识之关于直线与圆的位置关系
1. 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
2. 直线截圆所得弦长的计算方法：
①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦
AB
=
=；
②利用垂径定理和勾股定理：AB =其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离). 3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：
三．分类例题练习
1. 关于圆的方程：
例1：求满足下列各条件圆的方程：
(1)以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆； (2)与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；
(3)求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程；
(4)求与圆52
2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.
解：（1）22
1012510x y x y +--+=
（2）2
2
(13)(13)169x y -+-=或2
2
(5)(5)25x y -+-= （3）2
2
(2)(1)10x y -+-= （4）2
2
(3)(6)20x y ++-= 2. 关于点和圆的位置
例2：(1)已知点) 12 , 15 (a a P +在圆169)1(2
2=+-y x 的内部,求a 的取值范围.
(2)直线220x y k --=与直线230x y k --=的交点在圆2
2
25x y +=上，求k 的值. (3)已知直线01=--by ax 与圆:O 2
2
1x y +=相交，问点),(b a 的圆O 位置关系如何？ 解：(1)11a -<<； (2)1k =±； (3)圆外
3. 圆上的点的用法
例3：(1)已知实数x 、y 满足方程2
2
410x y x +-+=.分别求
y x ，y x -，及22
x y +的最大值和最小值. (2)平面上两点()1,0A -、()1,0B ，在圆C ：()()22
344x y -+-=上取一点P ，
求使22
AP BP +取得最小值时点P 的坐标.
(3)圆2
2
2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=
的点共有 个. (4)求圆01222
2
=+--+y x y x 上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值.
4. 关于直线和圆的位置
例4：(1)求圆042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程.
(2)求过点()2,3P 的圆2
2
4x y +=的切线方程.
(3)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 22
2=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围. (4)已知直线l ：y x b =+与曲线C ：y =b 的取值范围.
(5)已知直线l ：2830mx y m ---=和圆22
:612200C x y x y +-++=；
①m R ∈时，证明l 与C 总相交； ②m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.
(5) ①直线l ：2830mx y m ---=恒过的点(4,3)-在圆C 之内，故对m R ∈有l 与C 总相交；；
5. 关于圆与圆的位置
例5：(1)判断两圆012462
2
=++-+y x y x 和⎩
⎨⎧+=+-=θθ
sin 62cos 61y x (θ为参数)的位置关系.
(2) 已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22
210240x y x y +-+-=相交于,A B 两点，
①求公共弦AB 所在的直线方程；②求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程； ③求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程.
解：（1）相交
(2) ①公共弦AB 所在的直线方程为：240x y -+=；
②圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程为：2
2
(3)(3)10x y ++-=； ③经过,A B 两点且面积最小的圆的方程为：2
2
(2)(1)5x y ++-=.
6. 关于对称问题
例6：(1)求圆5)2(2
2
=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程.
(2)求圆22
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.
(3)点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，反射光线与圆2
2
:4470C x y x y +--+= 相切，求光线l 所在直线方程. (4)直线x m
y 2
=
与圆0422=-+++ny mx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，求弦MN 的长.
解：（1）2
2
(2)5x y -+=； （2）2
2
(7)(1)1x y +++=
（3）3430x y +-=和4330x y ++=；（4）2,2,4m n ==-弦长为 7.关于轨迹
例7：(1)已知O 为原点，定点(4,0)Q ，点P 是圆2
2
4x y +=上一动点.
①求线段PQ 中点的轨迹方程；②设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程. (2)过圆2
2
:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为l 上任意一点，再过M 作圆的
另一切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程.
(3)已知圆22
:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，
求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. (4)过圆2
2
4x y +=内一点)1,1(A 作一弦交圆于C B 、两点,过点C B 、分别作圆的切线PC PB 、，
两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.
（4）40x y +-=
详细答案图片版：注意解法不唯一。