解读“互逆命题与互逆定理”

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解读“互逆命题与互逆定理”

一、弄清互逆命题的概念

观察下面两个命题：（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同位角相等.不难看出，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题的结论又是第一个命题的题设，我们把这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

由互逆命题的定义可知，凡是命题，都可以写出它的逆命题，也就是说每个命题都有逆命题.同时我们也发现一个真命题的逆命题不一定是真命题.如原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”却是假命题.

同样，原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.如“对应角相等的三角形是全等三角形”是假命题，它的逆命题“全等三角形的对应角相等”却是真命题.

互逆命题是说明两个命题之间的关系，两个命题的题设和结论可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了.

二、弄搞清互逆定理的概念

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.如“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”等，都是互逆定理.

所有定理不一定都有逆定理，因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题，如“对顶角相等”这个定理就没有逆定理.

三、准确叙述一个命题的逆命题

（1）对于一些简单的命题可直接交换它们的题设和结论，如“两直线平行，同位角相等”，直接交换它们的题设和结论就得到这个命题的逆命题.

（2）为了准确叙述，可把命题改写成“如果……，那么……”的形式，然后再把原命题的题设和结论互换，如“面积相等的两个三角形全等”，把它改写成“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，然后再写出它的逆命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”.特别注意，在交换一个命题的题设和结论时，语言表述要准确，防止用词不当而造成错误.

例如：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题写成“互余的两个锐角是直角三角形的两个锐角”就不恰当，而应写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.

又如：“如果两个有理数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题写成“如果它们的绝对值相等，那么这两个有理数相等”也不准确，应把“它们”改成“两个有理数”.

总之，在写一个命题的逆命题时，一定要理解其含义，防止出现类似上面的错误.