解读“互逆命题与互逆定理”
互逆命题与互逆定理++知识考点梳理(课件)2024-2025学年华东师大版数学八年级上册
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重 解题通法 把一个定理的条件与结论互换就得到了它的
难 题
逆命题，只有证明定理的逆命题为真命题且是定理，才能
型 突
说明两个命题是互逆定理.
破
互逆 定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理
判断 方法
判断两个命题是互逆定理要满足：①原命题是 定理；②定理的逆命题为真，即逆定理存在
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考 归纳总结
点 清
（1）互逆定理都是真命题；（2）一个定理一定有一个
单 解
逆命题，但不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真
读 命题时，该定理才有逆定理；（3）一对互逆定理是一对互
逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理.
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考
对点典例剖析
点 典例1 写出下列命题的逆命题，并指出其逆命题的真假
清
单 性.
解
读 （1）两个平角相等；
例 定理：直角三角形的两个锐角互余．
型 突
（1）写出这个定理的逆命题；
破 （2）判断这两个命题是不是互逆定理.
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重 ［解析］写出逆命题，根据直角三角形的定义判断逆命
难 题
题是否成立.
型
突 破
［答案］ （1）两个锐角互余的三角形是直角三角形；
（2）逆命题为真且是定理，故这两个命题是互逆定理.
13.5.1 互逆命题与互逆定理
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
13.5.1互逆定理
点 1. 互逆命题
13.5.1互逆命题与互逆定理 教案 2022-2023学年华东师大版数学八年级上册
13.5.1 互逆命题与互逆定理教案2022-2023学年华东师大版数学八年级上册1. 教学目标•理解互逆命题的概念•掌握判断互逆命题的方法•学会运用互逆定理解决问题2. 教学重难点•掌握繁琐推理过程的简化方法•理解互逆命题和互逆定理3. 教学准备•教材《数学八年级上册》•教学投影仪•课堂练习题4. 教学过程4.1 引入•导入互逆命题的概念：在数学中，当一个命题的真假与另一个命题的真假完全相反时，我们称这两个命题为互逆命题。
•引导学生举例：例如，命题A：“今天是晴天”，命题B：“今天不是晴天”。
这两个命题互为逆命题。
4.2 回顾逆命题•复习逆命题的概念：逆命题是将原命题的否定词逆转得到的命题。
•提示学生如何得到逆命题的方法：将原命题的否定词逆转，即将原命题中的“是”变为“不是”，“不是”变为“是”。
4.3 互逆命题的判断•提醒学生回顾逆命题的相关知识，然后介绍判断互逆命题的方法：–方法1：通过思考两个命题的意义是否完全相反来判断是否为互逆命题。
–方法2：通过判断两个命题的实质连接词是否相同来判断是否为互逆命题。
•通过几个例子的讨论，帮助学生掌握判断互逆命题的方法。
4.4 互逆定理•介绍互逆定理的概念：互逆定理是指，两个互逆命题中，有一个命题为真，则另一个命题为假。
•提供例子，通过解析例子来说明互逆定理的原理。
•强调互逆定理的重要性，以及在数学证明中的应用。
4.5 练习与讨论•以课堂练习题为基础，组织学生进行练习和讨论。
•收集学生的答案和思路，引导他们合理表达解题过程。
4.6 总结与拓展•结合教学内容，对互逆命题和互逆定理进行总结，并强调学生掌握的关键点。
•提供拓展讨论，引导学生思考互逆命题的更多应用场景。
5. 课后作业•布置课后作业：完成教材上的相关练习题，并思考实际应用中的互逆命题。
6. 总结本节课主要介绍了互逆命题与互逆定理的概念，帮助学生掌握判断互逆命题的方法，并引导他们运用互逆定理解决问题。
华师大版八年级数学上册《互逆命题与互逆定理》课件
13.5.1 互逆命题与互逆定理
新知梳理
► 知识点一 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的_条_ 件__是第二个命题
的_结_ 论__，而第一个命题的_ 结论___是第二个命题的_条_ 件__， 那么这两个命题叫做互_ 逆_命__题．如果把其中一个命题叫做原命 题，那么另一个命题就叫做它的逆__命_ 题_．
13.5.1 互逆命题与互逆定理
活动2 教材导学
1．互逆命题
命题“等边对等角”是_真_ __命题，把它改写为“如果……，
那么……”的形式，结果是如果一__个三角形的两边相__等，那么
___这两边所对的角相等 _．它的条件是_一_个三角形的两边_相_，等
结论是_这两边所对的角相等___；把这个命题的结论作条件，同
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
[归纳总结] 写一个命题的逆命题的步骤：(1)分清原命题的 条件和结论；(2)调换原命题的条件和结论；(3)运用正确的数学 语言和通顺的语句表达出来．
注意：(1)要特别注意写一个命题的逆命题的步骤中的第三 步，如“等腰三角形两底角相等”，它的逆命题为“两内角相等 的三角形是等腰三角形”，而不是“两底角相等的三角形是等腰 三角形”．
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
13.5.1.互逆命题与互逆定理课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
(3)内错角相等. 【自主解答】(3)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角,逆命题是假命题,原 命题是假命题; (4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角. 【自主解答】(4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角的逆命题是若 两个角互为邻补角,则两个角相加等于180°,逆命题是真命题,原命题是假命题.
本课结束
【技法点拨】 互逆命题、互逆定理的区别与联系
命题 定理
是否有逆命题/逆定理
一定有逆命题
不一定有逆定理(定理的逆 命题是真命题且该逆命题 作为定理使用)
原命题 逆命题 原定理
逆定理
真假判断 真或假 真或假 真命题
真命题
素养 当堂测评
1.(4分·推理能力)下列命题的逆命题是假命题的是( D ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.两直线平行,内错角相等 C.三边对应相等的三角形是全等三角形 D.若x=y,则x2=y2 2.(4分·推理能力)下列三个定理中,存在逆定理的有______个. ( C ) ①有两个角相等的三角形是等腰三角形;②全等三角形的周长相等;③同位角相 等,两直线平行.
【举一反三】 1.(2024·怀化期中)下列说法错误的是( B ) A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定是真命题 D.定理的逆定理一定是真命题
2.下列定理中,哪些有逆定理?如果有逆定理,写出它的逆定理. (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 【解析】(1)逆命题是:边、角分别对应相等的两个三角形全等,是真命题, 故原定理有逆定理:边、角分别对应相等的两个三角形全等. (2)三角形的两边之和大于第三边. 【解析】(2)逆命题为:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段 的长度,那么这三条线段能围成三角形,是真命题, 故原定理有逆定理:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段的 长度,那么这三条线段能围成三角形.
13.5.1互逆命题与互逆定理
13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理一、知识回顾：1、命题的概念：2、命题都有两部分：3、命题分为和两种．（1）、平行四边形的对边互相平行（2）、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（3）、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边二、新知导入：说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。
例1：指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行. 讨论交流：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。
其中的一个定理叫做另一个定理的。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．(2)如果a＞0，那么a2＞0．(3)等角的补角相等．（4）、若|a|＝|b|，则a＝b；（5）、若a＝b，则33a b=；（6）、若x＝a，则2()0x a b x ab-++=；这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念。
②能写出一个命题的逆命题。
③在证明假命题时会用举反例说明逆命题与逆定理 测试题一、基础题1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假． （1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．3．已知：如图，在五边形ABCDE 中，∠B=∠E=90°，BC=ED ，∠ACD=∠ADC ．求证：AB=AE ．二、学科内综合题4．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，则腰AC 的长为（ ） A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm 5．下 列 这 些 真 命 题 中，其 逆 命 题 也 真 的 是 ( ) A ．全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 B ．两 个 图 形 关 于 轴 对 称，则 这 两 个 图 形 是 全 等 形 C ．等 边 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 D ．直 角 三 角 形 中，如 果 一个 锐 角 等 于 30°，那 么 它 所 对 的 直 角边 等 于斜 边 的 一半 6．如上图中所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°, 直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别 交AB 、AC 于点E 、F ．给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形； ③S四边形AEPF=21S △ABC ；④EF=AP.当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．如右图右所示，△ABC 中，AB=AC ，要使AD=AE ，需要添加的一个条件是 .8．若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 .9．如右图，AM 是△ABC 的角平分线，N 为BM 的中点，NE ∥AM ，交AB 于D ，交CA 的延长线于E ，下列结论正确的是（ ） A ．BM=MC B ．AE=BD C ．AM=DE D ．DN=BN 10．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ） A ．30° B ．75° C ．30°或60° D ．75°或15° 三、应用题11.如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数．四.探究题12.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件： ①∠EBO=DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC.（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△ABC 是等腰三角形的方法用 种. （2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.。
华东师大版 八年级上册 13.5.1 互逆命题与互逆定理(共33张PPT)
（1）逆命题：如果这个整数能被5整 除，那么这个整数的个位数字是5；举例： 10、20、30等.
练习
2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5，那么 这个整数能被5整除；
（2）如果两个角都是直角，那么这两个 角相等.
（2）逆命题：如果这两个角相等，那 么这两个是直角；举例：30°与30°、 45°与45°等.
（2）逆命题：有理数必为自然数. 原命题为真命题，逆命题为假命题.
例题 （三）应用实例
写出下列命题的逆命题，并判断原、 逆命题的真假.
（3）若 a = b ，则a = b； （4）若a = b，则a3 = b3； （5）若x = a，则x2 （- a b）x ab = 0.
（3）逆命题：若a=b，则|a|=|b|. 原命题为假命题，逆命题为真命题.
B.如果直角三角形两直角边的长分别为a和b， 那么∠A=90°
C.若三角形三边长的比为1∶2∶3，则这个三角 形是直角三角形
D.如果直角三角形的两直角边的长分别为a和b，
斜边为c，那么斜边上的高h的长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ab c
作业 2.备选习题：
（3）命题“若a>b，则a²>b²”的逆命题
是
.
（4）写出命题“三角形两边之和大于第三
（1）全等三角形的对应角相等； （2）自然数必为有理数；
（3）若 a = b ，则a = b； （4）若a = b，则a3 = b3； （5）若x = a，则x2 （- a b）x ab = 0.
例题 （三）应用实例
写出下列命题的逆命题，并判断原、 逆命题的真假.
（1）全等三角形的对应角相等； （2）自然数必为有理数； （1）逆命题：对应角相等的三角形是全 等三角形. 原命题为真命题，逆命题为假命题.
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
13.5.1互逆命题与互逆定理
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13.5.1互逆命题与互逆定理课件华东师大版数学八年级上册
2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角 是直角. 例如60°＝ 60°，但这两个角不是直角.
3. 在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆 命题都正确的例子？试举出几对. “两直线平行﹐同位角相等” “同位角相等，两直线平行” “内错角相等，两直线平行” “两直线平行，内错角相等”
6.下列定理中，有逆定理的有①__③____．(填序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等．
7.按要求完成下列各题． (1)请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角； 解：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
②如果a＋b＞0，那么ab＞0.
如果ab＞0，那么a＋b＞0.
“内错角相等，两直线平行”
1. 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题 并判断其真假.
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
条件
结论
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.
真命题
（简单说成：两锐角互余的三角形是直角三角形.）
（2）等边三角形的每个角都等于60°； 写出一个命题的逆
13.5.1 互逆命题与互逆定理
什么叫做命题？
表示判断的语气叫做命题. 例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
观察这两个命题的条件和结 论，你发现什么？
两个命题的条件和结论恰好互换了位置
例如“两直线平行，内错角相等” “内错角相等，两件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
(2)判断(1)中①的原命题与逆命题是不是互为逆定理． 解：∵(1)中①的原命题与逆命题都是假命题， ∴①的原命题与逆命题不是互为逆定理．
互逆命题与互逆定理
。
作业：
课本P84 练习：第2题 习题18.2 ：第2题
互逆命题与 互逆定理
一、命题与逆命题
命题：
判断一件事情的语句叫做命题。
命题的组成：
条件+结论
形式：“如果……那么……” “若……则……”
二、互逆命题
互逆的两个命题：
把一个命题的题设与结论对调所 得的命题叫做这个命题的逆命 题，这两个命题称为互逆命题
形式：若A则B（原命题）
若B则A（逆命题）
三、互逆定理
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角 三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角 形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则 △ABC是直角三角形。
3．叙述下列命题的逆命题，并判断逆 命题是否正确。
课堂练习
• 1．判断题。
⑴勾股定理的逆定理是：如果两条直角 边的平方和等于斜边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。
⑵命题：“角平分线上的点，到这个角 的两边的距离相等”的逆命题是真命 题。
⑶△ABC的三边之比是1：1： 2 ，则
△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
互逆的两个命题：
如果一个定理的逆命题经过证明 是正确的，它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理 形式：若A则B（原定理）
若B则A（逆定理）
ห้องสมุดไป่ตู้
例题分析
例1：写出命题“对顶角相 等”的逆命题，并判断其 真假。
例（补充）说出下列命题的逆命题， 这些命题的逆命题成立吗？
13.4.1 互逆命题与互逆定理
课题
互逆命题与互逆定理
教学目标
1、理解互逆命题与互逆定理；
2、正确应用互逆命题与互逆定理。
教学重点
区分互逆命题与互逆定理
教学难点
区分互逆命题与互逆定理
教学方法
问题与探究
教学用具
圆规、直尺、小黑板
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备注
一、复习与引入
1、命题：判断正确或错误的句子。
命题可以分为题设与结论两部分
⑴真命题：正确的命题。
⑵假命题：错误的命题。
２、本节课，我们将探究什么是一个命题的逆命题，什么是一个定理的逆定理。
二、探究新知
1、命题与逆命题
⑴讲解：例如“两直线平行，内错角相等”这个命题，题设为“如果两条平行线被第三条直线所截”，结论为“那么内错角相等”。如果把这个命题的题设和结论互换一下位置，新句子也是一个命题，这时题设变为“如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，结论变为“那么这两条直线平行”。这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题；前一个命题也是后一个命题的逆命题。这两个命题互为逆命题。
⑵如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也就成了定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
3、应用实例
写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
⑴全等三角形的对应角相等；
⑵自然数必为有Biblioteka 数；⑶若|a|＝|b|，则a＝b；
⑷若a＝b，则 ；
⑸若x＝a，则 ；
三、课时练习：
1、第19.4.4节课本练习第1、2、3题.。
四、课时小结：
1、互逆命题：如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设。
互逆命题与互逆定理
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列 车。
相信自己行，你就行！
作业:课后练习
a＝b a2＝b2
a2＝b2
真
a＝b
假
互逆命题
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵ 有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结
论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题 叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
练习1：指出下列命题的条件和结论，并说出它 们的逆命题。 1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
倍 速 课 时 学 练
做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。√ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。×
说出下列命题的逆命题： ⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 ⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两个锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
倍
速 课
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
时 学
那么这个三角形是直角三角形.
练
2、等边三角形的每个角都等于60° 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60° 那么这个三角形是等边三角形.
1.什么叫命题?
2.命题由几部分组成?
3.命题通常可写成“如果…,那么…” 的形式,把“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”改写成“如果…, 那么…”的形式.
互逆命题与互逆定理PPT教学课件
【标准解答】选A、C、D.根据题意可知，开始A、B两偏振 片的透光方向相同，当被测样品置于A、B之间时，光线旋转 一个角度θ，因此到达O处光的强度会明显减弱；为了使得O 处的光线强度最大，则必须将其中一个偏振片旋转角度θ，使 光线穿过偏振片时，光的偏振方向与偏振片的透光方向一致.
【典例】如图所示，电灯S发出的光先后经过偏振片A和B，人 眼在P处迎着入射光方向看不到光亮，则( )
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
4、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数
的个位数字是5. 假
ห้องสมุดไป่ตู้论交流：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是 真命题？试举出几个例子说明。
归纳
2
归纳：如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理。
A.图中a光为偏振光 B.图中b光为偏振光 C.以SP为轴将B转过180°后，在P处将看到光亮 D.以SP为轴将B转过90°后，在P处将看到光亮
【标准解答】选B、D.自然光沿各个方向是均匀分布的，通过 偏振片后，透射光是沿着某一特定方向振动的光.从电灯发出 的光是自然光，则选项A错误；它通过A后，变成偏振光，则 选项B正确；在P处看不到光亮，则A、B的透振方向垂直， 若将B转过180°后，两偏振片透振方向仍垂直，仍看不到光 亮.若将B转过90°后，两偏振片透振方向一致，能看到光亮， 故选项C错误，选项D正确.
三、自然光和偏振光的比较
自然光和偏振光的比较见表
(1)偏振现象在生活中非常普遍，并不是只有自然光 通过偏振片后才变为偏振光，生活中除光源直接发出的光外， 我们看到的绝大部分光都是偏振光，如自然光射到水面时的 反射和折射光线，尤其是二者互相垂直时，都是典型的偏振 光，并且是完全偏振光，振动方向相互垂直.(2)只有横波才能 发生偏振现象，光是横波.
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解读“互逆命题与互逆定理”
一、弄清互逆命题的概念
观察下面两个命题：（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同位角相等.不难看出，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题的结论又是第一个命题的题设，我们把这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
由互逆命题的定义可知，凡是命题，都可以写出它的逆命题，也就是说每个命题都有逆命题.同时我们也发现一个真命题的逆命题不一定是真命题.如原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”却是假命题.
同样，原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.如“对应角相等的三角形是全等三角形”是假命题，它的逆命题“全等三角形的对应角相等”却是真命题.
互逆命题是说明两个命题之间的关系，两个命题的题设和结论可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了.
二、弄搞清互逆定理的概念
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.如“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”等，都是互逆定理.
所有定理不一定都有逆定理，因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题，如“对顶角相等”这个定理就没有逆定理.
三、准确叙述一个命题的逆命题
（1）对于一些简单的命题可直接交换它们的题设和结论，如“两直线平行，同位角相等”，直接交换它们的题设和结论就得到这个命题的逆命题.
（2）为了准确叙述，可把命题改写成“如果……，那么……”的形式，然后再把原命题的题设和结论互换，如“面积相等的两个三角形全等”，把它改写成“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，然后再写出它的逆命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”.特别注意，在交换一个命题的题设和结论时，语言表述要准确，防止用词不当而造成错误.
例如：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题写成“互余的两个锐角是直角三角形的两个锐角”就不恰当，而应写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
又如：“如果两个有理数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题写成“如果它们的绝对值相等，那么这两个有理数相等”也不准确，应把“它们”改成“两个有理数”.
总之，在写一个命题的逆命题时，一定要理解其含义，防止出现类似上面的错误.。