必修4平面向量基本定理

思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
y
7 4
D
j | ______, 1 1 （1）| i | _____,|
5 | OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
3 i 4 j OD _________. 5 i 7 j OC ________,
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. 参考答案： A
D
M
C
e2
N
取基底 AB e1, AD e2 ,则有
1 DC e1 ; 2
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 2 e1 e2 2
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 A2 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
A
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。 那么i =（1 ， 0） j =( 0 ， 1 ) 0 =（ 0 ， 0）
y
a
y
A
j
O
i
x
x
a xi +y j
2
0 0 e1 0 e2
2 = 0
1.设 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底，则 下面四组向量中，不能作为基底的是（B ）
A e1 e2和e1 e2
B 3e1 2e2和4e2 6e1 C e1 2e2和e2 2e1 D e2和e1 e2
OA xi +y j
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解 1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y a 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y) 两者相同 a j 向量a
一一对应
坐标（x ，y）
O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
a e e
e
e
(3)由定理可将任一向量 的条件下进行分解；
a 在给出基底 e1 、e2
(4)基底 给定时，分解形式唯一. 1 , 2 是由 1 、 2 、 唯一确定的数量
e e
a
(5)特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 1 = 使得:
(6)特别的，若
使得:
a 与 e1共线，则有，λ 0 a 1e1 0 e2 1e1
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
两个向量的夹角
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、复习
向量共线定理：
向量
a(a 0) 与 b 共线的条件是，当且
仅当存在唯一的一个实数
, 使得 b a
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍;
当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
是同平面内的任一向量 有且只有一对实数
a 1e1 2e2
我们把不共线的向量
1、2 使得
a
e1 、e2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量基本定理: 1 1 2 2 探究： (1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一 2 1 平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
2、已知向量
e1 , e2
不共线，向量
a 2e1 e2 ,
b e1 me2
共线，求 m 的值。
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. A
D
M
C
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其他向 量用这组基底表示出来。
B
C
j o iA
x
3
5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
y
C
A
a
D
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
A1
d 2i 3 j (2,3)
2.3.3平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB 解：AB OB OA
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
二、新课 问题1、已知不共线向量
e1 , e2 , 作出向量
a 2e1 3e2，b e1 2e2
问题2、已知不共线向量 e1 , e2 , 对于平面内的 任一向量 a 是否都可以用形如1 e1 2 e2 的向量表示？ 问题3、已知共线向量
e1 , e2 , 对于平面内的
任一向量 a 是否都可以用形如 1 e1 2 e2 的向量表示？
F
2
F
三、重难点讲解
设 1 、 2 是同一平面内的两个不共线的 向量， 是这一平面内的任一向量， 我们研究 与 1 、 2 之间的关系。
a
e e
F
1
OM 1e1 ON 2e2
a
e e
a 1e1 2e2
1e1
M
a
N
A
e1
e1
e2
O
2e2
e2
平面向量基本定理: 如果
e1、 e2