高等代数第六章自测题
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第六章 线性空间 自测题
一.填空题(20分)
1.若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基，则满足条件(1)n ααα,,,21 是 ； (2)对V 中任意向量β， .
2.数域P 上的线性空间V 的非空子集W 是V 的子空间的充要条件为 .
3.已知12,W W 为线性空间V 的子空间, 12W W +为直和的充要条件为 .
4.设V 和W 是数域P 上两个线性空间，V 到W 的一个同构映射f 满足如下三个条件： （1）f 是V 到W 的 ; （2）对V ∈∀βα,，有 ; （3）对,V k P α∀∈∈，有 .
5.向量空间V 的基12,n ααα，，到基11,,,n n ααα-,的过渡矩阵为_______ .
6.复数域作为实数域上的向量空间，则dim =_____,它的一个基为__ __. 复数域
作为复数域
上的向量空间，则dim
=__ __,它的一个基为__ _ _.
二.选择题(10分)
1.若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ） （A ）21211)(W W W W W =+； （B ）21211)(W W W W W +=+ ； （C ）1211)(W W W W =+ ； （D ）2211)(W W W W =+
2.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是：（ ） （A ）{}
1n n W A P A A ⨯'=∈=； （B ）{}2()0n n W A P tr A ⨯=∈=；
（C ）{
}
30n n
W A P
A ⨯=∈=； （D ）{}4n n W A P A A ⨯'=∈=-.
3.数域P 上线性空间V 的维数为V r n ∈ααα,,,,21 ，且任意V 中向量可由n ααα,,,21 线性表出，则下列结论成立的是：（ ）
（A ）n r =； （B ）n r ≤； （C ）n r <； （D ）n r >
4.设1324[],[]W P x W P x ==则=+)dim
(21W W （ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5
5.设线性空间{}
R a a a a W ∈=)3,2,(，则W 的基为：（ ）
（A ）)3,2,1(； （B ）),,(a a a ； （C ）)3,2,(a a a ；（D ）)3,0,0()0,2,0()0,0,1(
三.(10分) 在线性空间4P 中求由线性方程组：⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=-+-=+-+0
11135303330
45234321
43214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P 的
子空间W 的基和维数.
四.(15分)设
3
中的两个基分别为()1101α=,()2010α=，()312
2α=,
()()()123100,110,111βββ===.
（1）求由基321321,,,,βββααα到基的过渡矩阵.
（2）已知向量α在基321,,ααα下的坐标为()130，求α在基321,,βββ下的坐标. 五.(15分) 设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),
αα==-1(2,1,0,1),β=-
2(1,1,3,7)β=,),(),,(212211ββααL W L W ==，求)dim (21W W +及)dim (21W W .
六.(15分) 设n n
A P
⨯∈:
1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成n n P ⨯的一子空间，记作()C A ; 2）当A =E 时，求()C A ;
3）当1
0000
2000
A n ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
时，求()C A 的维数与一组基.
七.(15分)已知n n
P
⨯的两个子空间{}1n n V A P A A ⨯'=∈=，{}2n n V A P A A ⨯'=∈=-，
证明：12n n P V V ⨯=⊕．
答案:
一.1.线性无关，β可以由n ααα,,,21 线性表示 2. 对V 的加法和数乘封闭
3. 12{}W W o ⋂=或12dim()0W W ⋂=
4. 线性映射，()()()f f f αβαβ+=+，
()()f k kf αα= 5. 111⎡
⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
6. dim =2,它的一个基为1,i ; dim =2,它的一个基为1.
二．C C B C A
三. 解:由32543254325
4313303870187335131103870000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12534101920183701837300000000--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，W 的维数为2，
一组基为()()'
'
1218310,29
701ξξ=-=-.
四. 解：(1)由()()()12312
3123101=012=A 102αααεεεεεε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,
()()()12312
3123111=011=001B βββεεεεεε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,
()()1123123=A B βββααα-∴,
过渡矩阵1
1
101111201111221=012011212011231102001101001110A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. (2) ()11231
2
311=(,,)3=300B A ααααβββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭