断裂力学_1绪论,GRIFFITH断裂准则
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断裂力学——1绪论
Alan Arnold Griffith
格氏1893年出生于伦敦，1911年毕业于曼岛的一所中学， 获得奖学金进入利物浦大学读机械工程，1914年以一等 成绩获得学士学位，并获得最高奖章。1915年，格氏到 皇家航空研究中心工作，并与G.I. Taylor一起发表了用 肥皂膜研究应力分布的开创性论文，该文获得机械工程 协会的金奖。同年，格氏获得利物浦大学工程硕士学位。 1921年，格氏以他的断裂力学成名作获得利物浦大学工 程博士学位。其后，格氏历任空军实验室首席科学家， 航空研究中心工程部主管等职，在航空发动机设计方面 做出了同样卓越的贡献，与他在断裂方面的名望相比， 这些成就就少为人知了。格氏于1939年加盟劳斯莱思公 司，1941年当选皇家学会院士，1960年退休，1963年 辞世，享年70岁
问题陈述-State the Problem
计划求解（数学化、模型化)-Plan the Solution 求解-Carry Out the Solution
结果判断、评价-Review the Solution
Course Objectives
1.) Develop basic fundamental understanding of the effects of crack-like defects on the performance of aerospace, civil, and mechanical engineering structures. 2.) Learn to select appropriate materials for engineering structures to insure damage tolerance. 3.) Learn to employ modern numerical methods to determine critical crack sizes and fatigue crack propagation rates in engineering structures. 4.) Gain an appreciation of the status of academic research in field of fracture mechanics.
《断裂力学绪论》PPT课件
从工程观点看，如何防止或减少断裂事故的 发生呢？首先提出以下5个问题
1.多小的裂纹或者缺陷是允许存在的，即此小裂纹 或者缺陷不会在预定的服役期间发展成断裂的大 裂纹？
2.多大的裂纹就可能发生断裂，即用什么判据来判 断断裂发生的时机？
3.从允许存在的小裂纹扩展到断裂时的大裂纹需要 多长时间，即机械结构的寿命如何估算？
亡最惨重的空难。
四十年代后期美国曾 建造大约2500艘“自由 号”万吨轮，在服役期间 有145艘断成两截，700 艘左右受到严重的损坏。
1949年，东俄亥俄煤气公司的 圆柱形液态天然气罐爆炸，使 周围街市变为废墟。
断裂破坏
美国航空公司一架波音737-800型 客机22日晚抵达牙买加首都金斯 敦诺曼曼利国际机场时冲出跑道， 致伤90多人 (2009-12-22)
断裂破坏
2011年2月13日，美国海军 “格拉维利”号驱逐舰（DDG 107）在佛罗里达南部海域航行 途中，桅杆上部发生断裂. 所幸 无人员伤亡
2009-11-08, 伊朗籍货轮在浙江舟山触 礁断裂
宜宾小南门桥(事故原因：吊杆断裂)
断裂力学的产生背景
传统的强度理论：
传统的强度设计是以材料力学为基础的。假设材料均质， 连续，各向同性，没有裂纹和缺陷，设计时只要满足传统 强度条件就安全。近些年，随着宇航和航空工业的飞速发 展，高强度合金使用量越来越大，而这些高强度合金制成 的机械机构比较脆，容易发生断裂；在腐蚀环境中，甚至 在在相对湿度较高的环境中，就有可能萌生出裂纹。这些 用传统的强度理论，例如屈服判据，是解释不了的。因此 需要寻求新的断裂判据。现代断裂力学就在这种背景下诞 生了。
1-2 脆性断裂和韧性断裂
韧度：是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力
断裂力学课程教学大纲
意见
力学
（系）
徐凯宇（签名）
2001年07月06日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
（九）COD设计曲线（了解）（2学时）
丁积分定义及其守恒性（理解）
丁积分的物理意义，HRR奇异性理论
缺陷评定简介（了解）
（十）第五章材料断裂参数的测定（4学时）
断裂物理过程，断裂机制（了解）
KIC、COD丁积分（理解）
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
力学
（教研组）
马杭（签名）
2000年10月25日
系
审核
《断裂力学》课程教学大纲
课程
编号
01826147
课程
名称
（中文）断裂力学
（英文）Fracture Mechanics
课
程
基
本
情
况
1.学分：4学时: 40 (课内学时: 30实验学时: 20 )
2.课程性质：专业选修课
3.适用专业：理学、工学
适用对象：本科生、研究生
4.先修课程：《材料力学》、《弹塑性力学》
（四）Griffith理论与近代断裂研究，局部断裂准则（了解）（2学时）
（五）第三章线弹性断裂力学的工程应用（2学时）
常见的应力强度因子（了解）
（六）裂尖塑区尺寸，小范围屈服K1修正（2学时）
抗断设计计算（理解）
（七）疲劳问题（理解）（4学时）
（八）第四章弹塑性断裂力学（2学时）
COD（掌握）
Dugdale条状屈服模型（理解）
5.首选教材：《断裂力学》李灏山东科学技术出版社1980
力学
（系）
徐凯宇（签名）
2001年07月06日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
（九）COD设计曲线（了解）（2学时）
丁积分定义及其守恒性（理解）
丁积分的物理意义，HRR奇异性理论
缺陷评定简介（了解）
（十）第五章材料断裂参数的测定（4学时）
断裂物理过程，断裂机制（了解）
KIC、COD丁积分（理解）
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
力学
（教研组）
马杭（签名）
2000年10月25日
系
审核
《断裂力学》课程教学大纲
课程
编号
01826147
课程
名称
（中文）断裂力学
（英文）Fracture Mechanics
课
程
基
本
情
况
1.学分：4学时: 40 (课内学时: 30实验学时: 20 )
2.课程性质：专业选修课
3.适用专业：理学、工学
适用对象：本科生、研究生
4.先修课程：《材料力学》、《弹塑性力学》
（四）Griffith理论与近代断裂研究，局部断裂准则（了解）（2学时）
（五）第三章线弹性断裂力学的工程应用（2学时）
常见的应力强度因子（了解）
（六）裂尖塑区尺寸，小范围屈服K1修正（2学时）
抗断设计计算（理解）
（七）疲劳问题（理解）（4学时）
（八）第四章弹塑性断裂力学（2学时）
COD（掌握）
Dugdale条状屈服模型（理解）
5.首选教材：《断裂力学》李灏山东科学技术出版社1980
断裂力学_第一章绪论20100915
σ 水压 =1.3σ =1.3
σs
=0.81σ s , 基体材料为D6AC
断裂力学可以解释工程构件发生脆断的原因，为防止脆断 提出一个定量的计算方法，裂纹尺寸、应力（应变）及材 料特性三者的定量关系 飞机设计---从疲劳寿命设计到破损安全设计和损伤容限设计
a, K IC → σ c → [σ ] (安全系数)
第一章
绪论
§1-1 断裂力学的概念、问题及方法
固体力学新分支 1950’s 构件 强度 研究分析计算领域 航空航天、机械 ← 核容器、压力容器、超高强 度材料
对象、方法及分类：
线弹性 静态断裂 弹塑性 动态断裂 宏观、微观结合 概率统计方法
σ t ≈ 4.4 ×105 kg / cm2 = 4.4 ×1010 N / m2 = 44GPa = 4.4 ×104 MPa
>> 实际断裂强度
Inglis(1913)指出：实际材料中存在缺陷，如微观裂纹、空穴、 切口、刻痕------产生应力集中，数倍于远离尖端的应力， 成为断裂的“裂源”
A.A. Griffith（格里菲斯）理论（1921）----脆性断裂理论
Orowan（欧罗万）
（ 2E Se +S p） （平面应力） πa 2 σc = （ 2E Se +S p） 1 （平面应变） πa 1 ν 2 1955年使用X射线衍射法测得S p大于Se几个数量级 2ES 2ES p ≈ （平面应力） 2 2 πσ πσ ac = 2ES p 2ES ≈ （平面应变） πσ 2 (1ν 2 ) πσ 2 (1 ν 2 )
原因：超高强度钢 3 2 （σ =140kg / mm KIC =200kg/mm 2） 在淬火后马上进行回火，出 现裂纹，裂纹源可能是焊 裂
断裂力学讲义
目录第一章绪论§断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。
因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。
断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。
因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。
或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。
它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。
第一章断裂力学概论-2009分解
第一章断裂力学概论第1节绪论1.断裂力学的起源与发展最早的断裂力学思想1921年英国科学家Griffith研究“为什么玻璃的实际强度比从它的分子结构所预期的强度低得多？”，推测“由于微小的裂纹所引起的应力集中而产生”，提出适合于判断脆性材料的与材料裂纹尺寸有关的断裂准则——能量准则。
断裂力学发展的背景蓬勃发展的近代先进科学技术，对传统的强度理论提出了挑战。
1) 高强度材料和超高强度材料的使用2) 构件的大型化3) 全焊接结构的使用灾难性事故焊接铁桥断裂破坏1938-1942年，世界上有40座焊接铁桥，按照传统观点未发现任何异常的情况下，突然断裂倒塌。
自由号轮船的断裂破坏上世纪40年代，美国“自由号”轮船焊接部位的25%被发现有裂纹，在4694艘轮船的焊接结构中，有1289处有裂纹，其中有233处引发了灾难性事故。
典型的T-2号油船上，由裂纹导致甲板在几秒钟内破坏成两半，调查发现，破断处的最大弯矩还不到许用设计弯矩的一半。
“彗星”号飞机破坏失事1954年1月10日，一架“彗星”号飞机飞行在纽约30000英尺高空突然解体坠入地中海，飞机破坏的主要原因是疲劳引起的增压舱破坏，增压座舱观察窗一角应力太高而引起疲劳破坏。
破坏时的应力只相当70%的材料的强度极限。
事故的规律1)断裂时，工作应力都较低2)尽管是典型的塑性材料，却表现出脆性断裂现象（低应力脆断）3)对断口进行分析，发现“低应力脆断”是从构件内部存在的微小裂纹源扩展引起的。
——构件中不可避免的存在裂纹或类似裂纹的缺陷是引起“低应力脆断”的根源——以裂纹体为研究对象的一门学科——断裂力学应运而生。
断裂力学的形成1957年，美国科学家G.R.Irwin提出应力强度因子的概念, 线弹性断裂理论的重大突破，应力强度因子理论作为断裂力学的最初分支——线弹性断裂力学建立起来。
断裂力学的发展现代断裂理论大约是在1948—1957年间形成，它是在当时生产实践问题的强烈推动下，在经典Griffith理论的基础上发展起来的，上世纪60年代是其大发展时期。
断裂力学总ppt
2
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
断裂力学讲解chGriffith理论
E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
断裂力学基础
断裂力学基础目 录第一章 绪论第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础第一章 绪 论ssss2a2bss2a?一、引例][s s ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a 21maxs s Inglis(1913)用分子论观点计算出绝大部分固体材料的强度103MPa ，而实际断裂强度100MPa ？——材料缺陷第一章 绪论第一章 绪论 二、工程中的断裂事故1．1860~1870英国铁路事故死200人/年；2．1938年3月14日比利时费廉尔大桥断成三节，1947~1950比利时又有14座大桥脆性破坏； 3．美国二次大战期间2500艘自由轮，700艘严重破坏，其中145艘断成两段，10艘在平静海面发生。
同时期大量的战机事故——广泛采用焊接工艺和高强度材料； 4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠落，同时期共三架坠落；二、工程中的断裂事故5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆炸； 6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁；8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等第一章 绪论二、工程中的断裂事故 第一章 绪论 二、工程中的断裂事故9．2007年11月2日美国F15 空中解体；第一章 绪论三、断裂力学发展简史1．1913年，C. E. Inglis(英格列斯)将裂纹(缺陷)简化为椭圆形切口，用线弹性方法研究了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸问题——按应力集中观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
2．1921 年，A. A. Griffith(格里非斯)用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则，成为线弹性断裂力学的核心之一—能量释放率准则。
第一章 绪论 三、断裂力学发展简史3．1955~1957年，G. R. Irwin(欧文)通过对裂尖附近应力场的研究，提出了新的断裂参量—应力强度因子，并建立断裂判据，成为线弹性断裂力学的另一核心—应力强度因子断裂准则。
断裂力学第一章
张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面, 裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂
纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种 裂纹.
滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制, 切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂 纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.
13
撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面
而与裂纹前沿线方向平行的剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.
柯西黎曼条件
Re Z Im Z Im Z y x
Im Z Re Z Re Z y x
17
有
即函数
Im Z 2 2 Re Z y
22 2 (2Re ZⅠ) 0
是平面问题的应力函数.
则应力分量:
Im ZⅠ Re ZⅠ 2 2 Im ZⅠ y ) x 2 2 (Re ZⅠ y Im ZⅠ) ( y y y y y
xy y Re ZⅠ
物理方程:
x
x y
E E
y
y x
E E
xy
xy
G
(平面应力)
19
1 x [(1 2 ) x (1 ) y ] E 1 y [(1 2 ) y (1 ) x ] E
第一章
线弹性断裂力学
1
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处 于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：
一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在 裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量，如Griffith理论； 一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是
xy
纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种 裂纹.
滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制, 切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂 纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.
13
撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面
而与裂纹前沿线方向平行的剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.
柯西黎曼条件
Re Z Im Z Im Z y x
Im Z Re Z Re Z y x
17
有
即函数
Im Z 2 2 Re Z y
22 2 (2Re ZⅠ) 0
是平面问题的应力函数.
则应力分量:
Im ZⅠ Re ZⅠ 2 2 Im ZⅠ y ) x 2 2 (Re ZⅠ y Im ZⅠ) ( y y y y y
xy y Re ZⅠ
物理方程:
x
x y
E E
y
y x
E E
xy
xy
G
(平面应力)
19
1 x [(1 2 ) x (1 ) y ] E 1 y [(1 2 ) y (1 ) x ] E
第一章
线弹性断裂力学
1
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处 于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：
一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在 裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量，如Griffith理论； 一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是
xy
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
断裂力学_课件
结论1
1
max
theory
E
a0
2
(1-7)
该式表明，完整晶体的理论断裂强度与材料的晶格常 数a0，弹性模量Ｅ及表面能密度γ有关。
２ 有缺陷材料的实际强度——弹力方法
具有裂纹的弹性体受 力以后，在裂纹尖端区域 将产生应力集中现象。但 是应力集中是局部性的， 离开裂纹尖端稍远处，应 力分布又趋于正常。在裂 纹尖端区域应力集中的程 度与裂纹尖端的曲率半径 有关。这种应力集中必然 导致材料的实际断裂强度 远低于该材料的理论断裂 强度。
尖端的尖锐度是有严格限制的。
必须注意，Griffith所研究的仅限于材料是理想脆性的情况
。实际上绝大多数金属材料在断裂前和断裂过程中裂纹尖端
都存在塑性区，裂尖也因塑性变形而钝化，此时Griffith理论
失效，这也就是Griffith理论长期得不到重视和发展的原因。
总结
1
c
2E a
2
其应变能密度为：
U
2 0
m
ax
s
in(2
x )dx
max
2
cos
2x
2 0
max
(1-4) (1-5)
该能量应等于两个新的断面的表面能，设γ为单位面 积的表面能，则有
max
2
2 max
(1-6)
将(1-6)带入(1-4)，得：
在裂纹(缺陷)。
结论2
c
E
4a
(1-11)
从式(1-11)可见，当应力达到σ c值时，裂纹开裂，而使裂 纹长度2a增加，这样又将使σ c值降低，则裂纹继续扩展 ，最后 导致整个固体材料断裂，所以它是裂纹失稳扩展的条件。
断裂力学导论
∇ 4ϕ = 0
4
满足双调和方程
∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ( 2 + 2 )×( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y
因为:
∇ 2ϕ = ∇ 2 Re ZⅠ + ∇ 2 ( y Im ZⅠ)
解析函数的性质: (1)解析函数的导数和积分仍为解析函数 (2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程
⇒
∇ 2 Re ZⅠ = 0
γ xy =
τ xy
G
}
∂u εy = ∂y
(平面应变)
几何方程:
∂u εx = ∂x
26
得
1 u = [(1 − µ ) Re ZⅠ − (1 + µ ) y Im ZⅠ] E
1 v = [2 Im ZⅠ − (1 + µ ) y Re ZⅠ] E
1+ µ [(1 − 2 µ ) Re ZⅠ − y Im ZⅠ] E
柯西黎曼条件
∂ Re Z ∂ Im Z = − Im Z ′ = − ∂y ∂x
∂ Im Z ∂ Re Z = Re Z ′ = − ∂y ∂x
23
有 即函数
2
∂ Im Z = 2 Re Z ∂y
∴∇ ∇ ϕ = ∇ (2 Re ZⅠ) = 0
2 2 2
ϕ 是平面问题的应力函数.
则应力分量:
∂ Im ZⅠ ∂ ∂ Re ZⅠ ∂ 2ϕ ∂ 2 + Im ZⅠ + y ) σ x = 2 = 2 (Re ZⅠ + y Im ZⅠ) = ( ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y
11
1）固定位移情况 在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所 需的功。
应变能减少量= 应变能减少量=
断裂力学(1)
该强度对应 临界正断强度σm
完全晶体的理论断裂强度
理论断裂强度的求解：
假设全部弹性功转化为晶体原子面的表面能γ
2
0
m sin(2x / 2)dx m / 2
①
推出： 理论断裂强度： m = 2 / 图示原子间作用力为： = m sin(2πx /λ ) 小位移时可以简化为： = m (2πx /λ ) ② 根据虎克定律： = E = Ex/d ① ② ③联立： 最后理论断裂强度为：m = ( E / d )1/2 ③
完全晶体的理论断裂强度
结论与分析：
m = ( E / d )1/2 由公式可知，完整晶体的理论断裂强度与晶体的晶格常 数d、弹性模量E以及该晶体学面的表面能有关。
根据上述推导获得的晶体的理论断裂强度的数量级约为 (0.1-0.2)E，但实际材料的断裂强度比该值低1-3个数量级。 只有晶须的强度接近理论强度。 为了解释上述实际断裂强度与理论断裂强度的巨大差异， 1920年Griffith提出了裂纹断裂理论。
临界应变能释放率Gc
由于Griffith模型的局限性，后人对其进行了一些修正： 对于延性材料，在断裂的过程中所释放的能量主要耗散在 裂纹尖端附近材料的塑性流动中，满足这些能量耗散的应 变能释放率称为临界应变能释放率。 应变能释放率
a
吸收的能量率
裂纹扩展至临界时： 于是有:
GC=GI
c 2E / c
Griffith裂纹断裂理论
断裂强度（临界应力）的计算
外力作功，单位体积内储存弹性应变 能： W=UE/AL=（1/2）PL/AL =（1/2）=2/2E 设平板的厚度为1个单位，长度为2c的 穿透型裂纹，则裂纹造成弹性能降低 为： UE = - W 裂纹的体积 = - W （c2×1） = - c22/2E 裂纹表面能为： U S = 4cγ
断裂力学第二章-Griffith断裂理论 ppt课件
g p
p df dx
L f x g p max px f x x px* f x*
where
* * d px f x 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 5 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（ PPT thermodynamic 课件 potential）之间作转换。
A 1
2a b
尖锐的裂纹
a A 1 2
b2 a
A 2
a
for a
C.E. Inglis, Stress in a plate due to the PPT presence of cracks and sharp corners, 1913. 7 课件
Griffith理论
Energy balance concept Difference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheet
UE
2 a 2 B
E
Plane strain
Homework（作业题）
Griffith的解
9
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为 E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
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• 能量平衡的思想：
裂纹扩展力＝裂纹的扩展阻力
势能的释放提供， 例如弹性能
形成新表面的表面能， （或者塑性耗散能 Orowan）
断裂力学经典问题
• 中心穿透裂纹， l a，板可视为无限大 • 位移加载，上下端相对位移为
l
2a
l
(b)
l
( a)
(c )
断裂力学经典问题
断裂力学
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学 2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
工程断裂问题与材料断裂韧性
断裂力学是在力学分析中引入了裂纹的概念。 认为： • 断裂的发生源于裂纹的扩展； • 裂纹的扩展由裂纹尖端开始； • 裂纹尖端应力应变场强度的大小决定裂纹 能否扩展——表征裂纹尖端应力应变场强 度参量的引入
断裂力学
断裂力学
意义与工程背景
Crack initiation and propagation
Nf = Ni + Np
断裂力学简介
Dominates at high-cycle fatigue
Stage II: Benchmark (clamshell)
Fatigue crack propagation: I and II Striations
• 改进后的Griffith理论的材料临界裂纹扩展
阻力为
G Gc 2 p
裂纹扩展单位长度时，在裂纹尖端塑 性区内消耗的塑性功
• 对于无限大板中的穿透直裂纹，临界裂纹
半长和临界断裂应力为
acr E(2 p ) ,
2
cr
E(2 p )
a
Griffith准则的意义
• Griffith和其它学者的实验证实了Griffith准则的正确性。
这一准则对于脆性金属也是适用的。
• Griffith理论虽然适用范围有限，但是它在科学史上首
•第一讲：
• 绪论，GRIFFITH 断裂准则
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题 • 材料的强度和韧性是两个概念。高强、低
韧材料引起的断裂。 • “好材料”的设计目标： 高强、高韧、、、 • 材料中缺陷的存在以及含缺陷材料和构件 的使用
断裂力学
常见工程断裂问题
意义与工程背景
• 飞机机身和船体开裂， • 天然气和其他压力管道的裂纹扩展， • 铁轨与车轴等构件的疲劳断裂， • 压力容器发生破裂
• 裂纹临界扩展条件下，外加应力与裂纹尺
寸的关系
2 2 a 4 e E
平面应力 E E 平面应变 E
E 1 2
裂纹临界扩展的Griffith准则
acr
2 E
2
2 E 或 cr a
裂纹半长 a 对应的 临界应力
给定应力 下的临 界裂纹半长
(
G W ) c A 2
Where A: Surface area of specimen Gc: Amount of energy required to tear through a unit area of the material Factor 2: Two newly formed surfaces
断裂力学
工程断裂实例
意义与工程背景
• 20世纪50年代连续发生的彗星号客机失事， • 20世纪70年代以来军用和民航飞机的多次坠毁， • 20世纪80年代天然气管道和压力容器的裂纹扩展， • 20世纪90年代的高速列车出轨事故
断裂力学
断裂实例
This ship with a welded steel hull failed by brittle propagation of a crack while moored in dock!
断裂力学简介
断裂力学
意义与工程背景
据美国和欧共体的权威专业机构统计：世界 上由于机件、构件及电子元件的断裂、疲劳、腐 蚀、磨损破坏造成的经济损失高达各国国民生产 总值的6～8%。 据我国劳动部统计，我国在20世纪80年代 发生的锅炉和压力容器的爆炸事故约五千起，人 员累计伤亡近万人，居国内劳动安全事故的第二 位。 断裂力学的研究意义在于防范上述的破坏 行为，降低由断裂和破坏造成的经济损失，减少 事故的发生。
断裂力学
均匀性假设 仍成立，但 且仅在缺陷 选 处不连续 材
K IC
σ
C
工 维 缺陷 艺 修 评定
a
应用
i ,C
Ji, JC JR TR
SU
K
阻力C
断裂力学
裂纹扩展准则
响应
奇异场 控制参量
i
C T
T TC N f f i , a,...
f i C
断裂力学
断裂力学问题的提出
结构方面 表观因素:缺陷、裂纹、工况
有应力集中部位 低温环境 经典强度条件满足 厚截面（平面应变、三轴） 突然、灾难性
研究内容
材料方面
内在因素：材料性能及其变化 抵抗裂纹扩展的能力 低温－－ 脆断 高强度钢－ 低应力脆断 裂尖 承载能力 厚度 承载能力
构件的缺陷和裂纹是导致 构件脆断的主要根源
构件自身抵抗裂纹扩展的能力制 约着构件裂纹扩展的难易程度
传统材料力学的强度问题
两大假设：均匀、连续
评 定 选 材 寿 命
SU
σ
C
应用
s b 1
强度指标
材料力学
强度分析
强度理论
f , k , NC f C
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题的分类：
线弹性断裂力学——脆性断裂 弹塑性断裂力学——延性断裂（韧性断裂）
脆性断裂 延性断裂
断裂力学的能量准则
• 断裂分析的能量方法：
A。A。Griffith，1921，英国
弹性能释放率＝裂纹扩展造成的新表面的表面能
• 经典问题：
单向拉伸的含中心裂纹的无限大板，裂纹临界扩展的 Griffith判据：
断裂力学
工程断裂实例
意义与工程背景
• 20世纪80年代末期，我国东北大型钢铁企业的
一座高炉煤气管道发生开裂事故
• 破坏原因
由于管道内部高压产生的环向应力和大跨度自 重作用引起的纵向应力使管道中部下面管壁处于 双向高拉应力区，加之常年的粉尘冲刷又使管壁 内部变薄，终于酿成管道开裂的煤气泄漏事故。 若不是及时发现并采取了补强措施，将会发生火 灾和人员伤亡的灾难性后果。
stressed • material only when, by doing so, it • brought about a reduction in elastically stored energy W more than sufficient to meet the free energy requirements of newly formed fracture surfaces
• Griffith理论揭示出脆断过程受控于应变能
释放率，这一物理参量被称之为能量释放 率
U e G A
1 U a 2 B a
Griffith准则的能量释放率表示
G Gc
裂纹起裂
• Griffith准则是裂纹启裂的必要条件，此时
裂纹处于临界状态。 G 不可能超出 Gc • 对于平衡态静止裂纹，
• 假设板无限大，根据Inglis椭圆孔线弹性解，
有
u2 ( x )
( 1) a 2 x 2 4
( x a)
3 +1 平面应力，＝3-4 平面应变, 8E 1
断裂力学经典问题
• 弹性应变能
1 2 2 U e a B 8
仅限于对理 想脆断过程 成立
裂纹扩展的稳定性条件
• 当裂纹处于临界状态时，需要利用稳定性
条件来判定该裂纹是失稳扩展还是扩展中 止
失稳扩展 G Gc 随遇平衡 a a 稳定裂纹
材料的断裂阻力，对理 想脆断为零，对其它断 裂过程，使用断裂阻力 曲线
由力学分 析决定
Griffith理论在非理想脆性材料中的推广
能量释放率G
• G的量纲：N/m • G 是一种广义能量力，与载荷、裂纹几何、
材料性能和应力状态有关。
• 对含半长为a中心裂纹的无穷大平板，可得
G
2
E
a
抵抗裂纹扩展的阻力
• 在理想脆断的情况下，抵抗裂纹扩展的阻
力由形成扩展裂纹的新表面所需要的表面 能提供，即
Gc 2 A
断裂力学
清华大学航天学院 2007-3-7
教材
• • •
• •
• 1,D.Gross,T.Seelig,Fracture Mechanics,
with an introduction to Micromechanics,Springer,2006. 2,范天佑 断裂理论基础，科学出版社，2003 3,黄克智 余寿文, 弹塑性断裂力学,清华大学出 版社,1987 4,杨卫，宏微观断裂力学，国防工业出版社， 1995 5,庄茁,蒋持平 断裂与损伤,机械工业出版 社,2003. 6,余寿文,冯西桥,损伤力学,清华大学出版 社,1997.
• a问题等于b问题和c问题的叠加 • 位移控制加载时，b的构形无变化，没
有能量变化，因而在a中裂纹发生微小 扩展 da 时，问题a中的能量变化等于c 中的能量变化
断裂力学经典问题
• 根据热力学第一定律，有
系统 内能
& &T & & Q & W U c
动能，在准 静态过程中 可忽略
裂纹扩展力＝裂纹的扩展阻力
势能的释放提供， 例如弹性能
形成新表面的表面能， （或者塑性耗散能 Orowan）
断裂力学经典问题
• 中心穿透裂纹， l a，板可视为无限大 • 位移加载，上下端相对位移为
l
2a
l
(b)
l
( a)
(c )
断裂力学经典问题
断裂力学
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学 2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
工程断裂问题与材料断裂韧性
断裂力学是在力学分析中引入了裂纹的概念。 认为： • 断裂的发生源于裂纹的扩展； • 裂纹的扩展由裂纹尖端开始； • 裂纹尖端应力应变场强度的大小决定裂纹 能否扩展——表征裂纹尖端应力应变场强 度参量的引入
断裂力学
断裂力学
意义与工程背景
Crack initiation and propagation
Nf = Ni + Np
断裂力学简介
Dominates at high-cycle fatigue
Stage II: Benchmark (clamshell)
Fatigue crack propagation: I and II Striations
• 改进后的Griffith理论的材料临界裂纹扩展
阻力为
G Gc 2 p
裂纹扩展单位长度时，在裂纹尖端塑 性区内消耗的塑性功
• 对于无限大板中的穿透直裂纹，临界裂纹
半长和临界断裂应力为
acr E(2 p ) ,
2
cr
E(2 p )
a
Griffith准则的意义
• Griffith和其它学者的实验证实了Griffith准则的正确性。
这一准则对于脆性金属也是适用的。
• Griffith理论虽然适用范围有限，但是它在科学史上首
•第一讲：
• 绪论，GRIFFITH 断裂准则
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题 • 材料的强度和韧性是两个概念。高强、低
韧材料引起的断裂。 • “好材料”的设计目标： 高强、高韧、、、 • 材料中缺陷的存在以及含缺陷材料和构件 的使用
断裂力学
常见工程断裂问题
意义与工程背景
• 飞机机身和船体开裂， • 天然气和其他压力管道的裂纹扩展， • 铁轨与车轴等构件的疲劳断裂， • 压力容器发生破裂
• 裂纹临界扩展条件下，外加应力与裂纹尺
寸的关系
2 2 a 4 e E
平面应力 E E 平面应变 E
E 1 2
裂纹临界扩展的Griffith准则
acr
2 E
2
2 E 或 cr a
裂纹半长 a 对应的 临界应力
给定应力 下的临 界裂纹半长
(
G W ) c A 2
Where A: Surface area of specimen Gc: Amount of energy required to tear through a unit area of the material Factor 2: Two newly formed surfaces
断裂力学
工程断裂实例
意义与工程背景
• 20世纪50年代连续发生的彗星号客机失事， • 20世纪70年代以来军用和民航飞机的多次坠毁， • 20世纪80年代天然气管道和压力容器的裂纹扩展， • 20世纪90年代的高速列车出轨事故
断裂力学
断裂实例
This ship with a welded steel hull failed by brittle propagation of a crack while moored in dock!
断裂力学简介
断裂力学
意义与工程背景
据美国和欧共体的权威专业机构统计：世界 上由于机件、构件及电子元件的断裂、疲劳、腐 蚀、磨损破坏造成的经济损失高达各国国民生产 总值的6～8%。 据我国劳动部统计，我国在20世纪80年代 发生的锅炉和压力容器的爆炸事故约五千起，人 员累计伤亡近万人，居国内劳动安全事故的第二 位。 断裂力学的研究意义在于防范上述的破坏 行为，降低由断裂和破坏造成的经济损失，减少 事故的发生。
断裂力学
均匀性假设 仍成立，但 且仅在缺陷 选 处不连续 材
K IC
σ
C
工 维 缺陷 艺 修 评定
a
应用
i ,C
Ji, JC JR TR
SU
K
阻力C
断裂力学
裂纹扩展准则
响应
奇异场 控制参量
i
C T
T TC N f f i , a,...
f i C
断裂力学
断裂力学问题的提出
结构方面 表观因素:缺陷、裂纹、工况
有应力集中部位 低温环境 经典强度条件满足 厚截面（平面应变、三轴） 突然、灾难性
研究内容
材料方面
内在因素：材料性能及其变化 抵抗裂纹扩展的能力 低温－－ 脆断 高强度钢－ 低应力脆断 裂尖 承载能力 厚度 承载能力
构件的缺陷和裂纹是导致 构件脆断的主要根源
构件自身抵抗裂纹扩展的能力制 约着构件裂纹扩展的难易程度
传统材料力学的强度问题
两大假设：均匀、连续
评 定 选 材 寿 命
SU
σ
C
应用
s b 1
强度指标
材料力学
强度分析
强度理论
f , k , NC f C
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题的分类：
线弹性断裂力学——脆性断裂 弹塑性断裂力学——延性断裂（韧性断裂）
脆性断裂 延性断裂
断裂力学的能量准则
• 断裂分析的能量方法：
A。A。Griffith，1921，英国
弹性能释放率＝裂纹扩展造成的新表面的表面能
• 经典问题：
单向拉伸的含中心裂纹的无限大板，裂纹临界扩展的 Griffith判据：
断裂力学
工程断裂实例
意义与工程背景
• 20世纪80年代末期，我国东北大型钢铁企业的
一座高炉煤气管道发生开裂事故
• 破坏原因
由于管道内部高压产生的环向应力和大跨度自 重作用引起的纵向应力使管道中部下面管壁处于 双向高拉应力区，加之常年的粉尘冲刷又使管壁 内部变薄，终于酿成管道开裂的煤气泄漏事故。 若不是及时发现并采取了补强措施，将会发生火 灾和人员伤亡的灾难性后果。
stressed • material only when, by doing so, it • brought about a reduction in elastically stored energy W more than sufficient to meet the free energy requirements of newly formed fracture surfaces
• Griffith理论揭示出脆断过程受控于应变能
释放率，这一物理参量被称之为能量释放 率
U e G A
1 U a 2 B a
Griffith准则的能量释放率表示
G Gc
裂纹起裂
• Griffith准则是裂纹启裂的必要条件，此时
裂纹处于临界状态。 G 不可能超出 Gc • 对于平衡态静止裂纹，
• 假设板无限大，根据Inglis椭圆孔线弹性解，
有
u2 ( x )
( 1) a 2 x 2 4
( x a)
3 +1 平面应力，＝3-4 平面应变, 8E 1
断裂力学经典问题
• 弹性应变能
1 2 2 U e a B 8
仅限于对理 想脆断过程 成立
裂纹扩展的稳定性条件
• 当裂纹处于临界状态时，需要利用稳定性
条件来判定该裂纹是失稳扩展还是扩展中 止
失稳扩展 G Gc 随遇平衡 a a 稳定裂纹
材料的断裂阻力，对理 想脆断为零，对其它断 裂过程，使用断裂阻力 曲线
由力学分 析决定
Griffith理论在非理想脆性材料中的推广
能量释放率G
• G的量纲：N/m • G 是一种广义能量力，与载荷、裂纹几何、
材料性能和应力状态有关。
• 对含半长为a中心裂纹的无穷大平板，可得
G
2
E
a
抵抗裂纹扩展的阻力
• 在理想脆断的情况下，抵抗裂纹扩展的阻
力由形成扩展裂纹的新表面所需要的表面 能提供，即
Gc 2 A
断裂力学
清华大学航天学院 2007-3-7
教材
• • •
• •
• 1,D.Gross,T.Seelig,Fracture Mechanics,
with an introduction to Micromechanics,Springer,2006. 2,范天佑 断裂理论基础，科学出版社，2003 3,黄克智 余寿文, 弹塑性断裂力学,清华大学出 版社,1987 4,杨卫，宏微观断裂力学，国防工业出版社， 1995 5,庄茁,蒋持平 断裂与损伤,机械工业出版 社,2003. 6,余寿文,冯西桥,损伤力学,清华大学出版 社,1997.
• a问题等于b问题和c问题的叠加 • 位移控制加载时，b的构形无变化，没
有能量变化，因而在a中裂纹发生微小 扩展 da 时，问题a中的能量变化等于c 中的能量变化
断裂力学经典问题
• 根据热力学第一定律，有
系统 内能
& &T & & Q & W U c
动能，在准 静态过程中 可忽略