最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线

*()x t ：

02(1)f

t t J x dt =+⎰&

解：由题可知，始端和终端均固定，

被积函数2

1L x =+&，

0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂&&， 2d L

x dt x

∂⋅=∂&&& 代入欧拉方程0L d L

x dt x

∂∂-⋅=∂∂&，可得20x =&&，即0x =&

& 故1x

c =& 其通解为：12x c t c =+ 代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+

2-6 已知状态的初值和终值为

(1)4x =，()4f x t =

式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线

*()x t ：

2

1

1[2()()]2

f

t J x t x t dt =+

⎰& 解：由题可知，2

122

L x x =+

&，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L

x dt x

∂∂-

=∂∂& 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0f

T

t L L x x ψ

∂⎛⎫

+-= ⎪∂⎝

⎭

&&&

易得到

2dx

dt

=& 故12x

t c =+& 其通解为：()212x t t c t c =++

根据横截条件可得：()()()122

121114424

f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪

⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩&

解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪

⎨⎧===121

2

1c c t f (舍去，

不符合题意f t >1)

将f t ，1c ，2c 代入J 可得3

140

)3(4)212(5025

0.

2

*=

-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+

2-7 设性能泛函为

1

2

0(1)J x dt =+⎰&

求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

解：由题可知，21L x =+&，()00x =，()1x 自由

欧拉方程：

L 0d L x dt x

∂∂-=∂∂&

横截条件：()00t x =x ，

L 0f t x ∂=∂&，0f

T t L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭

&&

易得到()x t a =&

其通解为：()x t at b =+

代入边界条件()f x t a =&，()00x =，1f t =，求出0a =，0b =

将f t ，a ，b 代入J 可得()1

*

2

11J x dt =+=⎰& 极值轨线为()*0x t = 2－8 设泛函

dt t x x x x L J tf

t ),,,,(2.

.120

1⎰=

端点),,(02010t x x A 固定，端点)),(),((21t t x t x B f f 可沿空间曲线

)()(),()(21f f f f t t c t t c ψϕ== 移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为

0)()([.2.2...1.=⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡∂∂-+∂∂-+tf

x L x x L x L ψϕ

证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P

)(..

.=⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∂∂--tf

T x L x c L 可得，

（1）

由 []T

ψϕ,,T x x x ),(2.

1.

.

=

),()(.

2..1..

.x x x c T

--=-ψϕ,

T x L

x L

x

L ),

(

.

.

1.

2

∂∂∂∂=∂∂

∴

.

2

2.

.1

.

1.

..

.

.)

()

()

(x L x x L x x

T x c T

∂∂-+∂∂-=∂∂-ψϕ

（2）

将（2）代入（1）式，得：

0)()(..

.22.1.1=⎥⎥

⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂-+∂∂--tf

x L x x L x L ψϕ,得证。

2-13 设系统状态方程

12()()x t x t =&，1(0)2x = 2()()x t u t =&，2(0)1x =

性能指标如下：

2

01()2

f t J u t dt =

⎰