巴蜀中学2020年新高一讲义

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重庆巴蜀中学2020-2021学年下期高一第一次月考数学试题和参考答案

2sin C 2sin C cos 2 C cos 2C sin C ，即 2 2cos2 C cos 2C=4cos2 C 1 ，
得到 cos C 3 即 C=30 ，进而 A 60 ， B 90 ，由 a 3 ，得到 c 2
由 SABC
1 (a 2
b
c)r
即
33 2
= 1（3+3 2
得到 3 ( AB BC)2 75 ， 4
即 ( AB BC)max 10 km （当且仅当 AB BC 时取得最值）……12 分
22、解析：（1） OA 0, 2 2e2 ， OB 2, 1 2e1 e2 ，其中 e1 、 e2 是成 60 夹角的两单位向量
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则
选项 B : 向量 a 、 b 、 c 都为非零向量时，平行具有传递性，选项 B 正确；
选项 C : 向量 a 与 b 模长相等，但是方向不一定相同或相反，可以为任意夹角，选项 C 错误；
选项 D :
由
|
a
b
||
a
b
|
得到
a
2
2a
b
2 b
a
2
2a
b
b
2
，即 a b 0 ，选项 D 正确。
故选 BD ．
10、解析：由正弦定理
a sin
A
b sin
B
知
sin
2 45
b sin
B
，得
sin
B
b 2
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选项 A : sin B 5 无解，选项 A 正确； 2
选项 B : sin B 1 ，恰有一解 B ，选项 B 正确； 2
选项 C : sin B 3 ，解得 B 或 B 2 ，有两解，选项 C 正确；

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（） A ．45-B ．35C ．35D ．452．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（）A 334-B 334+ C 343-343+3．（2022·江苏·高三专题练习）()2cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A 33．23D ．23+4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．3-C ．13D ．32．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．7210C ．210-D ．7210-3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．2．7210D ．726．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．37．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（）A ．B ．12-C ．12D 2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（） A．2C ．4D ．84．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan B A ·tan B ，则C 的值为（） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π[举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（）A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.52．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（）A ．2B ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（）A ．． 4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+=6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cos θθ＝_________. 9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______．10．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（） A ．2325B ．2325-C ．35D ．352．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A B4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（） A ．3-B ．139-C ．3D ．139[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．．2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（）倍. A ．1B ．23C ．52D ．723．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（）A ．2B ．12C ．3D ．134．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（） A ．sin 21312α=B．cos()αβ-C．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.12．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，25sin 5α=，()10sin 10αβ-=-. （1）求sin 2α的值；（2）求()tan αβ+的值第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】C 【解析】2cos 212sin tan sin 22sin cos ββββββ--==-，tan 2α∴=，tan 2β=-，(),0,αβπ∈，0,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25sin α∴=，5cos α=，25sin β=5cos β=， ()5525253cos cos cos sin sin 5αβαβαβ⎛∴-=++= ⎝⎭. 故选：C.2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（）ABC【答案】D 【解析】解：因为2απ<<π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，所以sin()sin cos cos sin 333αααπππ-=-＝314525⨯+=故选：D ．3．（2022·江苏·高三专题练习）()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A．2D．2+【答案】D【解析】()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，22cos cos sin )(cos )cos sin 44ππθθθθθ--=-，即(sin cos )(cos )(cos sin )(cos sin )θθθθθθθ--=-+，sin (cos sin )0θθθ-=， ∵sin 0θ≠，∴cos sin 0θθ-=，即tan 1θ=，∴tan tan16tan 261tan tan 6πθπθπθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-．故选：D ．4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】A【解析】2221sin 2(sin cos )cos sin 1tan 123cos2cos sin cos sin 1tan 12αααααααααααα+++++=====-----. 故选：A ．[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】B【解析】角θ的终边过点()2,4P ，tan 2θ∴=，tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫∴+===- ⎪-⎝⎭-. 故选：B.2．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AC．．【答案】B 【解析】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 455πααα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选:B.3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛ ⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（）A．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．12⎛-⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 【答案】B【解析】由三角函数定义知：1sin 2αα==，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，此时角变为3πα+，故点Q 的横坐标为1cos()cos cos sin sin 3332πππααα+=-=-，点Q的纵坐标为sin()sin cos cos sin 333πππααα+=+=，故点Q 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选： B.4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 【答案】A【解析】由两角差的正弦公式展开可得：13cos sin cos 22ααα-=，则3tan 3α=-，所以2232tan 3tan2321tan 3ααα-===--. 故选：A.5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．2．7210D ．72【答案】C【解析】如图所示，由图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，可得5DC EH =，因为sin CE DC α=，可得1cos sin 5DE DC EC EH DC DC αα==-=-，所以1sin cos 5αα-=，所以112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5αα+=，所以()272sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭. 故选：C.6．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】由题意得，()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβ-+=-+1tan tan 1231tan tan 12αβαβ++===---．故选:A7．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=【答案】AB【解析】因为4cos 25α=-，π0,02π2αα<<∴<<，所以23sin 21cos 25αα=-=，故A 正确；因为()5cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，所以()()225sin 1cos αβαβ+=-+=所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++ ⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭453252555，故B 正确；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②，由+①②得，2cos co s αβ=，解得cos cos αβ=C 不正确；由①-②得，2sin sin αβ=，解得sin sin αβ=sin sin tan tan 3cos c os αβαβαβ===，故D 不正确.故选：AB.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．【答案】 43- 1【解析】22tan 4tan 2,1tan 3ααα==--222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1sin cos tan 1ααααααααα+++===++故答案为：43-，1．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【解析】由tan 2α得sin 2cos αα=-，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为()0,απ∈，tan 2α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos αα==因为πππcos()cos cos sin sin 444ααα-=+，所以cos()4πα-=22=．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．【答案】35【解析】解：∵12cos cos ,sin sin 55αβαβ==，∴3cos()cos cos sin sin 5βααβαβ-=+=．故答案为：35.➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】原式=sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：D.2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒【答案】B【解析】因为()()sin361sin 22sin18cos181sin 2αα︒+=︒︒+所以()22cos 18cos22sin18cos181sin 2αα︒=︒︒+，整理得：cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒=︒+︒，cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒-︒=︒()cos 218sin18α+︒=︒因为090α︒≤<︒，所以18218198α︒≤+︒<︒，所以2189018α+︒=︒-︒，解得：27α=︒ 故选：B3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（） A．2C ．4D ．8 【答案】C【解析】解：∵tan20°+msin20°=∴msin20cos20sin20︒︒==︒=12sin2021sin402⎫︒-︒⎪⎝⎭=︒ ()2sin 60201sin402︒-︒==︒ 4 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan BA ·tanB ，则C 的值为（） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π【答案】C【解析】由已知可得tan A ＋tan BA ·tanB －1)， ∴ tan(A ＋B )＝tan tan1tan tan A BA B+-又0＜A ＋B ＜π，∴ A ＋B ＝23π，∴ C ＝3π.故选：C [举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（） A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.5 【答案】D【解析】()1cos15cos75sin15sin 75cos 1575cos(60)2︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=. 故选：D.2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（）A ．2B ．2【答案】D【解析】cos15sin1515)︒-︒=︒+︒=cos15sin1515)︒+︒=︒-︒=,即(2P ，则tan α= 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（）A ．．【答案】D【解析】由已知可得2sin18︒=，故sin18︒=则()sin100cos26cos100sin 26sin126sin 3690cos36︒︒+︒︒=︒=︒+︒=︒ 2212sin 1812=-︒=-⨯=⎝⎭. 故选:D.4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】tan1tan 44tan 4511tan1tan 44︒︒︒︒+==-.故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+= 【答案】CD【解析】因为sin21cos81sin69cos9sin21cos81cos 21sin81-=-︒︒()sin 2181=︒-︒= 故选项A 错误；因为221cos1501cos30cos 75cos 1522+︒+︒-=-=，故选项B 错误；因为()1cos10cos 3020sin 202︒=︒-︒︒+︒，所以()3cos 20sin 20sin202cos10sin203cos20cos20︒+︒--==故选项C 正确；因为()2sin 301011cos10︒+︒︒==︒，所以()2sin 402sin 40cos 401cos10s sin5013tan10s in80in50︒+=︒︒⨯==︒︒，故选项D 正确；故选：CD.6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 【答案】12-【解析】解：原式=1cos 40cos80sin 40sin80cos(4080)cos1202︒︒-︒︒=+==-.故答案为：12-7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 【解析】()2cos16cos29cos132cos16cos16cos13sin16sin13cos13︒︒-︒=︒︒︒-︒︒-︒cos32cos13sin32sin13cos 45=︒︒-︒︒=︒=8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθθ＝_________. 【答案】70︒（答案不唯一）．【解析】由题意sin 60sin 20sin 60cos 20cos60sin 204cos tan 20tan 60tan 20cos60cos 20cos60cos 20θ︒︒︒︒-︒︒=︒=︒-︒=-=︒︒︒︒sin 402sin 20cos 204sin 204cos701cos60cos 20cos 202︒︒︒===︒=︒︒︒︒，因此70θ=︒（实际上36070,k k Z θ=⋅︒±︒∈）．故答案为：70︒（答案不唯一）．9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______．【答案】1【解析】因为()tan10tan 351tan 45tan 10351tan10tan 35︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan35tan10tan10tan351︒+︒+︒︒=．故答案为：110．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.【答案】2【解析】因为()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++，又tan 25tan 20tan 4511tan 20tan 25︒︒︒︒︒+==-，所以tan 25tan 201tan 20tan 25︒︒︒︒+=-，所以()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 252︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++=.故答案为：2.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（） A ．2325B ．2325-C ．35D ．35【答案】B【解析】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1f f αβ==，所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 6πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11235525⨯=-=+，故选：B.2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】C【解析】,αβ均为锐角，即,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，()cos βα∴-=sin α= ()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα∴=-+=---⎡⎤⎣⎦⎛=-= ⎝⎭，又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.故选：C.3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A B 【答案】A【解析】1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2π2π,Z 2k k k πα<<+∈，得π22π2π,663k k k Z ππα+<+<+∈，则sin 0α>，sin()06πα+>，sin()6πα+=，sin sin ()sin()cos cos()sin 666666ππππππαααα⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦1152=⨯=故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（）A ．3-B ．139-C ．3D ．139【答案】B【解析】∵(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴()()ππcos cos =sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()tan π7β-=，∴tan 7β=-，又()0,πβ∈，∴,π2πβ⎛∈⎫⎪⎝⎭∵()0,πα∈，∴π,2αβπ⎛⎫ ⎪⎝-∈⎭-∵()sin 0αβ-=>，∴π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()cos αβ-=()()()sin 1tan cos 2αβαβαβ--==- ∴()()()()17tan tan 132tan tan 11tan tan 9172αββααββαββ--+=-+===---⨯-⨯-. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AB．．【答案】C【解析】因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则411,336παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又tan 203πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，故311,326παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故cos cos cos cos sin sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛=+= ⎝⎭故选：C.2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（）倍. A ．1B ．23C ．52D ．72【答案】A【解析】解：由题意可得tan 3α=，1tan()2αβ-=，所以[]13tan tan()2tan tan ()111tan tan()132ααββααβααβ---=--===+-+⨯，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A.3．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（）A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】C【解析】因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则444πππθ-<-<，故cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，sin sin sin cos 4444ππππθθθθ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故cos θ=sin tan 3cos θθθ==. 故选：C.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C 【答案】A【解析】解：由已知可得29cos 2cos 12132610παπα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45，,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0,32ππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3sin 35πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin 6363636πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（）A ．sin 21312α=B ．cos()αβ-C ．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=【答案】AC【解析】解：因为cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，所以：12sin 213α，故A 正确；因为sin()αβ+，所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++512()(1313=-⨯+B 错误；可得11cos cos [cos()cos()](22αβαβαβ=++-==C 正确；可得11sin sin [cos()cos()](22αβαβαβ=--+=-所以21tan tan 8αβ=，故D 错误．故选：AC ．6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 【答案】74-【解析】因为()3tan 2αβ-=，tan 2β=，所以()()()32tan tan 72tan tan 31tan tan 4122αββααββαββ+-+=-+===-⎡⎤⎣⎦--⋅-⨯，故答案为：74-7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______. 【答案】 332【解析】因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α==，所以sin 4tan cos 3ααα==，因为1tan()3αβ-=-，所以tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+- 41533335411933⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭所以sin()sin tan 33cos sin 1tan 1324βπββπββββ+---====---⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故答案为：3；32.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．【解析】因π(0,)2α∈，即3444πππα<+<，又cos()4πα+=sin()4πα+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444ππππππαααα=+-=+++==.9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．【解析】由(0,)x π∈，可得5(,)444x πππ+∈，因为1sin()sin 434x ππ+=<=，所以3(,)422x πππ+∈，所以cos()4x π+=又由sin sin[()]))4444x x x x ππππ=+-=++13==10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【解析】原式αα=()222sin cos cos sin αααα⎤--⎦2222222sin cos cos sin cos sin cos sin αααααααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦2222tan 1tan 1tan 1tan αααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦=.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.【答案】17【解析】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以cos α==，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯又故答案为：1712．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，sin α=，()sin αβ-=. （1）求sin 2α的值；（2）求()tan αβ+的值.【解】（1）因为α为锐角，sin α=所以cos α=，所以4sin 22sin cos 25ααα===；（2）因为α，β为锐角，所以π02α<<，π02β<<，所以π02β-<-<，所以ππ22αβ-<-<，因为()sin 0αβ-=<，所以π02αβ-<-<，所以()cos αβ-=，所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦10⎛= ⎝⎭=，所以cos 10β==所以tan 2cos sin ααα===，tan 7cos sin βββ===，所以()tan tan 279tan 1tan tan 12713αβαβαβ+++===---⨯。

第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义

第06讲分式方程目录一、考情分析二、知识建构考点一解分式方程题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法类型二分离分式法类型三列项相消法类型四消元法题型04 错看或错解分式方程问题题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题类型二工程问题类型三和差倍分问题类型四销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习[08]不及物动词解读

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习讲义[08]不及物动词术语解读什么是不及物动词？不及物动词是动词的一种；英文名称是intransitive verb，在字典上通常被缩写为vi.或V-I。

从搭配角度看，不及物动词属于实义动词中的一种，与之并列的概念是及物动词和连系动词。

在学习不及物动词的基本用法时，建议与及物动词进行对照比较，因为不及物动词与及物动词的用法正好相反：不及物动词后不能直接跟宾语。

也就是说，不及物动词后，可以没有宾语，也可以有宾语；而在有宾语的情况下，一般需要相应的介词作为媒介，像桥梁一样连接起不及物动词和其宾语。

另外，具体使用什么介词，还要依据表达意图以及习惯用法等综合考量。

关于不及物动词的基本用法，具体示例如下：（红色字体是各句的谓语动词）例1：Time flies.时光飞逝。

[动词分析]本句只有一个动词flies，在此表示“飞逝”。

1）时态角度：flies是动词fly的三单形式，表现一般现在时。

2）搭配角度：在本句中，flies是实义动词中的不及物动词，其后没有宾语。

例2：Let's think！让我们思考吧！[动词分析]本句有两个动词，一个是句首的let，另一个是句尾的think。

A. let：在此表示“让(某人做某事)”。

1）时态角度：let是动词原形，表现一般现在时。

2）搭配角度：在本句中，let是实义动词中的及物动词，其宾语是人称代词“我们”的宾格形式us。

B. think：在此表示“思考”。

1）时态角度：think是动词原形，在句中是省略了to的动词不定式，并未表现任何时态。

（由于本句的时态已经由动词let表现了，作为补语的动词think无需再表现时态。

）2）搭配角度：think是实义动词中的不及物动词，其后没有宾语。

例3：We thought about the problem.我们考虑了这个问题。

[动词分析]本句只有一个动词thought，此处可理解为“考虑，思考”。

重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

A． B． C． D．
4．设，，，则（）
A． B． C． D．
5．若幂函数没有零点，则满足（）
A．在定义域上单调递减B．在单调递增
C．关于y轴对称D．
6．函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
7．方程的根所在的大致区间是（）
A． B． C． D．
8．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数（且）恒过定点，则 ________________．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且，则 =______.
15．若关于x的方程（且）恰有两个解，则k的取值范围是______.
16．，若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是______.
【详解】
解：令，函数在定义域连续，
∵ ，，
由零点判定定理可得函数的零点的区间是，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题.
8．DБайду номын сангаас
【解析】
由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D．
9．D
【分析】
由代入计算，可求出结果.
【详解】
【详解】
解：根据题意，函数满足对任意都有，则函数在上为减函数，
又由，则有在上，，在上，，
又由函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，
若，则，
在区间上，，在上，，

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习讲义[37]句子组成成分解读(含总目录)

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习讲义[37]句子组成成分解读（总目录见文末）什么是句子的组成成分？从句法角度来看，英语句子可以看成是由若干个部分组合起来的。

在传统的语法教学中，这一个个的组成部分就被称为句子的组成成分。

在应用过程中，最基本也是最常见的句子组成成分有七个——“主、谓、宾、定、状、补、表”。

其中，主语和谓语共同构成的主谓结构是句子的核心。

如果把一个英语句子比喻成人体，那么主谓结构就像人体的大脑和心脏一样重要。

因此，无论是阅读理解，还是书面写作，明确句子的主谓结构都至关重要。

从本质来看，句子的组成成分与词性功能有着密切的对应关系。

以下为七种基本成分的简要介绍：1. 主语：名词功能；动作的发出方。

Romeo loves Juliet deeply.罗密欧深爱着朱丽叶。

(主语Romeo是名词。

)She is a brilliant writer.她是位才华横溢的作家。

(主语she是人称代词的主格形式。

)This morning, his drawing made me laugh out loud in class.今天上午，他的画使我在课堂上放声大笑。

(主语his drawing是名词词组。

)2. 谓语：动词或动词词组；配合主语的人称数量，准确表现时态。

Romeo loves Juliet deeply.罗密欧深爱着朱丽叶。

(主语Romeo是第三人称单数，谓语loves是动词love的三单形式，表现一般现在时。

)She is a brilliant writer.她是位才华横溢的作家。

(主语she是第三人称单数，谓语is是动词be的三单形式，表现一般现在时。

)This morning, his drawing made me laugh out loud in class.今天上午，他的画使我在课堂上放声大笑。

(主语his drawing是第三人称单数，谓语made是动词make的过去式，表现一般过去时。

2024年高考数学复习培优讲义专题2-指对同构(朗博同构)(含解析)

题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x ⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a xx e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+.2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.重点题型·归类精讲2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______湖南省2023届高三下3月考试·16 6．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭福建龙岩九校联考·16 9．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ .湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8 11．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e湖南郴州高二下期末·16 13．函数．若对任意，都有，则实数m 的取值范围为_________．2023湖南邵阳二模·8 14．若不等式()1e 1ln 10txt x x ⎛⎫−−−≥ ⎪⎝⎭对任意[)2e 1,x ∞∈++恒成立，则正实数t 的取值范围是（）A. ln2,2e 1∞⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭B. ln21,2e 1∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭C. ln210,2e 1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D. ln2ln21,2e 12e 1+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦15．已知函数ln 0x f xe a ax a a a ，若关于x 的不等式0f x恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．],0(eB ．],0(2eC ．],1[2eD ．),1(2e()()()e1ln R mxf x m x x m =+−−∈0x >()0f x ≥16．关于x 的不等式ln 1axx e xe a x x−≤−−恒成立，则a 的取值范围为．2022衡阳市八中高二期末·16 17．已知函数1()(0)a x f x x alnx x a e=++−<，若()0f x 在[2x ∈，)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为． 2023届郴州三模·1618．设实数0m >，若对任意的21x e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，不等式ln 1mx mx x e e m m mx−≥−恒成立，则实数m 的取值范围为．湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14 19．对于任意实数0x >，不等式22e ln ln 0x a x a −+≥恒成立，则a 取值范围是__________.2023·广东惠州·一模T22(2)20．已知函数()2ln f x x a x =−，若函数()(2)e x f x a x x ≥+−恒成立，求实数a 的取值范围．2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22 21．已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x x =. (1)若R a ∈，讨论()f x 的单调性；(2)若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax ⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.2023·广东汕头·一模T2222．已知函数()e ln(2)ln 2x f x a x a =−++−．(1)若函数()f x 在2023x =处取得极值，求a 的值及函数的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．的题型二二元同构2022届山东聊城一模·823．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（） A ．1122n B ．222ln ﹣ C ．1122n −D ．222ln +24．实数x ，y 满足ln ln xe y x y y =+，则2ln xe y x−的最小值为________2022届T8第一次联考·825．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1a ae b blnb ++<，则( ) A ．ab e >B ．1a b e +>C ．ab e <D ．1a b e +<2023茂名市高三一模·1226．(多选)e 是自然对数的底数，,m n ∈R ，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +>河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16 27．若正实数a ，b 满足()1ln ln e a a b a a b −−+≥，则1ab的最小值为．28．设11110e ,11ln1.111a b ==，则（）A ．1ab a <<B ．1ab b <<C ．1a ab <<D ．1b ab <<题型三局部同构华大新高考五月押题卷·1229．(多选)已知0λ＞，若关于x 的方程()1ln 0x e x x xλλλ−−+＝存在正零点，则实数λ的值可能为A ．1eB ．12C ．eD ．230．已知函数1ln )(−−=x ae x f x ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是．2023·广东·海珠区高三2月联考·22 31．已知函数()()1e 02x f x ax a =−≠． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)已知函数()()ln xg x f x x=−有两个零点，求实数a 的取值范围．2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2）部分同构+放缩 32．设()()e xxf x x =∈R ，若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1）部分同构33．已知函数()e ln xf x ax a x x =−−，若不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.题型四同构+切线放缩2023佛山一模T1134．(多选)若正实数x ，y 满足()1e 1ln x x y y −=+，则下列不等式中可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩35．已知函数22ln 1()e x x f x x a x+=−−，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,e 1⎤−∞−⎦B ．(],e −∞C ．(],2−∞D ．(],1−∞2023届湖南四大名校5月“一起考”T736．若当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式2e cos cos lncos 1x x x x x ax −++≥恒成立，则满足条件的a 的最小整数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 437．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数()()()()ln 2R ,e 1xf x x ax ag x x x a x =−−∈=−−+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.38．（2023·广东·统考一模）已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值； (2)当0x >时，()()1ln 2f x a x x ≥+++，求实数a 的取值范围.补充练习杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1．已知不等式()ln ln 10,1()xa a a x a a >−>≠对)1,(x ∀∈+∞恒成立，a 的取值范围是________.2023湖北高三九师联盟1月·82．已知a ＞b ＞1，若1a a b e be ae a ++=+，则 A ．ln(a ＋b )＞1B ．ln(a －b )＜0C ．333a b −+<D ．133a b −<湖北名校联合体高三下学期开学考·163．已知关于x 的不等式()1ln 2x e a a ax a −+>−(0)a >恒成立，则实数a 的取值范围为________.4．对0x ∀>，恒有()112ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为________.专题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】[)1+∞，［方法一］：【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+．令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−'=−=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减．所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法二］:换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x xa e −≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e −−−−−−−=='．当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法三］：通性通法1()ln ln x f x ae x a −=−+,11()x f x ae x−'∴=−，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x −'=+> ∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−''∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −'=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a −==−+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++−+≥−+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −=−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a ea−=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解答】易得()f x 在()0,+∞↑，(),0−∞↓；()g x 在()0,1↓，()1,+∞↑只有y b =过()f x 与()g x 交点时，恰有3个不同交点则有1223()()()()f x f x g x g x b ====，即12122233ln ln x xe x e x x x x x b −=−=−=−= ①∵111122ln ln xxxe x e e x x −==−− ，且1211,xe x <<，∴1212ln xe x x x =⇒= ② 又∵32ln 3332ln ln x x x x ex e x −=−=− ，且3200ln ,x x >>，∴2323ln x x x x e =⇒= ③由①②③可得：()()2132222ln 2xx x e x b x x b x +=+=++−=，证毕2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a x x e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【详解】（1）[方法一]：同构处理由()0f x ≥得：ln ln 0x x e x x a −++−−≥令ln ,1t x x t −=≥，则()0tf t e t a =+−≥即t a e t ≤+ 令()[),1,tg t e t t =+∈+∞，则()'10tg t e =+>故()tg t e t =+在区间[)1,+∞上是增函数故()()min 11g t g e ==+，即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ [方法二]：常规求导()f x 的定义域为(0,)+∞，则2111()1x f x e x x x ⎛⎫'=−−+ ⎪⎝⎭1111111x x x e e x x x x x ⎛⎫−⎛⎫⎛⎫=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)1f x f e a ≥=+−，若()0f x ≥,则10e a +−≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ （2）法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证11ln ln 0,(1,)x x e x x xe x x x x −+−−−>∈+∞同构，原不等式变形为：()1ln ln 1ln ln x x xxex x ex x+−++−>+ 令()xg x e x =+，则有1(ln )ln g x x g x x ⎛⎫−>+⎪⎝⎭即证：)1ln ln ,(1,x x x x x−>∈+∞+ 即证1()2ln 0(1,,)h x x x xx =+∈<+∞− ()()222121'()10,1x h x x x x x−−=−−=<>，即()h x 递减，故()(1)0h x h <=，证毕. [方法二]：对数平均不等式由题意得：()ln x xe ef x a x x=+−令1xe t x=>，则()ln f t t t a =+−，()1'10f t t =+>所以()ln g t t t a =+−在()1,+∞上单调递增，故()0g t =只有1个解又因为()ln x xe ef x a x x =+−有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x == 两边取对数得：1122ln ln x x x x −=−，即12121ln ln x x x x −=−()121212*ln ln x x x x x x −<−121x x <，即121x x <()121212*ln ln x x x x x x −<−121211212121222112ln ln ln ln ln x x xx xx x x x x x x x x x x −<⇔−⇔<−不妨设121x t x =>，则只需证12ln t t t <−构造()12ln ,1h t t t t t =−+>，则()22211'110h t t t t ⎛⎫=−−=−−< ⎪⎝⎭故()12ln h t t t t=−+在()1,+∞上单调递减故()()10h t h <=，即12ln t t t<−得证2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+. 解：即证：当a ＞0时，232ln 2xae a x a +−>+第一步，指数化，同构变形：()ln 2ln 2332ln ln ln 22a xa x ea x a e a x a a +++−>+⇒−+>−+ 第二步，换元：令ln t a x =+，t ∈R ，有23ln 2te t a a −>−+ 第三步，放缩：1t e t −≥（证明略），即证231ln 2a a >−+第四步，构造函数：令23()ln 2g a a a =−+，1'()2g a a a =−，故()g a 在202⎛⎫↑ ⎪ ⎪⎝⎭，，2,2⎫+∞↓⎪⎢⎪⎣⎭22132()ln ln 1122222g a g ⎛≤=−+=+< ⎝⎭2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅−，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x −∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，0fx，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，则有0020ln ln x x a a x a a −⋅=−⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ()2ln 2e x f x a a x '=⋅−=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==−，则()()2g 2ln 2x x a a e '=−，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x −∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫'=−=−> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11ea <<. [方法三]：同构+放缩（简证） ① 先得出01a << ② ()ln ln 2ln ln ln ln x a xx ae ea a ex ea ex x a a ⋅=⇒⋅=⇒=（ln 0x a >）③ 放缩：xxe e ex e x≥⇒≥()()221ln 11ln 01ln ee a a a ea >⇒<⇒−<<⇒<<题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1a e≥【简证】()2ln 0f x x x −−≥恒成立等价于()22ln 0xaxe x x −−≥恒成立，即()()ln 2ln 22ln 2ln 0x xx x aee x x ae x x +−+=−+≥，则有ln 22ln x xx xa e++≥令2ln t x x =+，t ∈R ，则有max1t t a e e ⎛⎫≥=⎪⎝⎭（构造函数求导得出最值，过程略）总结：同构+分参2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可知0a >，且ln e ln e xx a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立，设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分e 1x a ≥和0e 1x a <<两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.重点题型·归类精讲【详解】由题意可知0a >，ln e ln ln e x x a a x x +>，即ln e ln e x x a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立．设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，因为()21ln xg x x−'=，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x <；当()1,x ∈+∞时，()0g x >． ①在()0,1x ∈上，若e 1x a ≥恒成立，即1a ≥，()()e0xg a g x ≥>；②在()0,1x ∈上，若0e 1x a <<，则e x a x >恒成立，即1e xxa <<恒成立，令()e x x h x =，()0,1x ∈，则()10ex xh x −'=>，所以()h x 在()0,1上单调递增，所以()()11e h x h <=，所以11e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12()(1)42ln 4(1)4ax ax f x a e x x x x a e x x ⎛⎫≤+−⇒+−≤+− ⎪⎝⎭，整理，同乘x 得：()2212ln (1)1ln (1)ax axx x a e x x ax e x ⎛⎫+≤+⇒+≤+ ⎪⎝⎭，比较一下2种构造方式，方式1：令()x g x xe x =+，()'()11xg x x e =++，易错：由洛必达可知（选填时用）——这里用不了错了！()111lim 1lim 0x x x x x x x e e e −−→−∞→−∞+−∞+=====−+∞−−∞，故()'()110()xg x x e g x =++>⇒↑()11'()111x xx xx x e g x x e e e−−−+++=++=+=，令()1xh x e x =−+，易知()h x ≥2恒成立，故()11()0'()0()xx x e e x h x g x g x −−++=−−++=−>⇒>⇒↑由()2222ln 21ln (1)ln ln axx ax x x ax e x ex axe ax +≤+⇒+≤+，则有2(ln )()g x g ax ≤，由单调性可知22min ln 2ln x x ax a x e⎛⎫≤⇒≥= ⎪⎝⎭参考ln xy x=图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程. 方式2：()ln g x x x x =+总结：（1）求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“∪”（2）先同构再判断单调性. 江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,+∞（2）(,1]−∞（1）解：当时，，，又，单调递增， ··············································· 2分又，当时，当时，∴的单调递增区间为()1,+∞. ·························································· 4分 1a =()()1ln x f x e e x =−+()xe f x e x'=−()20xef x e x ''=+>()f x '∴()10f '=∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令，则，在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得， ····················································· 6分当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由恒成立，得，由得，， ······ 8分 ∴，∴，∴，设，则恒成立，故在上递增，而，∴，又且函数在上是增函数，故的取值范围为. ···································································· 12分法2：同法一得，由得，∴ ，，故的取值范围为. ················· 12分方法3：令，则，，则，令，则， ················································ 8分 ∵，∴在上单调递增，当时，显然成立；当时，恒成立，即恒成立，可证（过程略），，，即，，综上，的取值范围为(,1]−∞. ······························································ 12分 ()0f x ≥()ln 0x ae e a x −+≥()ln x a af x e e x e a =−−()a x a x e xe e f x e x x−'=−=()x ag x xe e =−()0x x g x e xe '=+>()x ag x xe e ∴=−()0,+∞()00ag e =−<x →+∞()g x →+∞0x 00x a x e e =0x x <()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x ()()000min ln x a a f x f x e e x e a ∴==−−()0f x ≥()min 0f x ≥00x a x e e =00ln x x a +=()()00000min (2ln )0x xf x f x e x e x x ∴==−+≥0001(2ln )0x x x −+≥000(2ln )10x x x +−≤00012ln 0x x x +−≤1()2ln h x x x x=+−221()10h x x x '=++>()h x (0,)+∞(1)0h =001x <≤00ln x x a +=ln y x x =+(0,1]a (,1]−∞()()000min ln x a af x f x e e x e a ==−−00x a x e e =00ln x x a +=()000min00011ln ln aa a a a a a e f x e x e a e x e a e x a e a x x x ⎛⎫⎛⎫=−−=−−=+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20a a e a e a ≥−−≥()220a e a ∴−≥a (,1]−∞a e t =ln a t =()()ln ln ln x e t t x t tx ≥+=()()()ln ln ln tx xxe tx tx tx e ≥=()(0)xg x xe x =>()()ln()g x g tx ≥()()10x g x x e '=+>()(0)xg x xe x =>()0,+∞()ln 0tx ≤()()ln()g x g tx ≥()ln 0tx >()ln ln ln x tx t x ≥=+ln ln t x x ≤−ln 1x x −≥∴ln 1t ≤∴t e ≤a e e ≤∴1a ≤a方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函数可得， ··········································· 7分反之，当时，，又可证（过程略），∴，∴恒成立，故的取值范围为. ···································································· 12分补充：同构和型+放缩ln (ln )0(ln )ln ln ln x a x a x a x a x e x x e a x e e a x e a x e x x a e −−−+≥⇒≥+⇒−≥+⇒+≥+=+令()x g x e x =+↑，则有()min ()(ln )ln ln 1g x a g x x a x a x x −≥⇒−≥⇒≤−=总结：（1）两次求导+取点（2）法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______ 【答案】2e[]ln ln (1)lnln (1)1ln ln(1)1ln ln(1)1x x x a x a a x e a e a a x e a x x x e a x e−−−≥⇒≥−−−+⇒≥+−⇒−+−≥−令()x g x e x =+↑，则有()2(ln )ln(1)ln ln(1)ln(1)ln 2ln g x a g x x a x x x a a e a −≥−⇒−≥−⇒−−≥⇒≥⇒≥可放缩补充：构造函数求导令ln(1)()g x x x −−＝，12()111x g x x x '−=−=−− 故g (x )在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此min ()(2)2g x g ==. 因为不等式(1)ln(0)xa x e a a e−≥>恒成立，所以Ina ≤2，即2.a e ≤ 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以()0f x ≥(1)0f ≥a e e a ≥()(0)xg x xe x =>1a ≤1a ≤11x a a x −+≥+−ln 1,1x a x x e x a −≤−≥−+ln x a e a x −≥+()ln x ae e a x ≥+a (,1]−∞湖南省2023届高三下3月考试·166．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．【答案】1e解析：由ln e ln e ln ln mx mx x m x mx x x e x ≥⇒≥=⋅．令()e x f x x =，则()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()ln f mx f x ≥，所以ln mx x ≥，即ln xm x≥对()0x ∀∈+∞，恒成立．令()ln xg x x =，则()21ln x g x x−'=，所以当()0e x ∈，时，()0g x '>；当()e x ∈+∞，时，()0g x '<，故()g x 在[)1+∞，上的最大值是1e ，所以1e m ≥，即实数m 的最小值是1e ．故答案为：1e．总结：同乘补全结构即可，入门型7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞【答案】A 【法一】：同构ln ln ln ln ln 0ln ln ln ln ln x a x a x x ae x a e e a x e a x x x e x +⇒+−+≥⇒≥+≥=+++构造函数()x g x e x =+，故ln ln ln ln (ln )(ln )a x x e a x e x g a x g x ++≥++≥+⇒ 而'()10x g x e =+>，则ln ln a x x +≥，即()max ln ln a x x ≥−令ln y x x =−，则1x y x '−=，故max 1y =−，则1ln 1a a e≥−⇒≥. 对于ln ln a x x +≥还可以直接分类参数：max1ln ln ln ln ln ln x xx xx a x x a x e a ee e ⎛⎫⎛⎫+≥⇒≥−=⇒≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 总结：需要同加x 才能补全结构【法二】：整体求导、取点设()x f x ae lnx lna =−+，则0x >，0a >，1()x f x ae x∴'=−，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，存在0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x f x ae x '=−=，即01x ae x =，两边取对数，可得00lna x lnx +=−，当00x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，000001()()2x min f x f x ae lnx lna x lna x ∴==−+=++，不等式0x ae lnx lna −+恒成立，∴00120x lna x ++恒成立， ∴12x lna x +−恒成立， 00001122x x x x +⋅=，当且仅当01x =时取等号， 22lna ∴−，即1ae ，故a 的取值范围是1[e，)+∞．湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭方法1：同构要使()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，只需ln ln l =n x x x k x x xe x x e e −−=−−−− 设ln x x t −=，求导可知(],1t ∈−∞−而t k t e =−，求导可知函数t k t e =−在(],1−∞−上单调递增，故1,1k e ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦方法2：分参求导ln xk x x xe −=−−，令()ln xg x x x xe −=−−，则()1'()1111x x x g x e x x x e x e −−⎪=⎛⎫+−=−−− ⎝⎭∵110xx e −> 故()ln x g x x x xe −=−−在(]0,1递增，()1,+∞递减，故max 1()(1)1g x g e==−−，故选B.注：由常见不等式1x e x ≥+得到，即1100xx e x x e−−>⇒>；或者令11()x x xe e h x e x x x −=−=，221'()x x x e h x e−=，因为0x >,故'()0h x > 方法3：直接求导（可以消掉k ）()()2111'()1xx x x x xxx x e x xe e x x f x x e e xe xe −−−−−=−+=++=，不难得出x x e −在()0,+∞上恒小于0，故()f x 在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上递减，故max 1()(1)1f x f k e ==−−−，当0x →时，()f x →−∞，故()f x 的值域为1,1k e ⎛⎤−∞−−− ⎥⎝⎦，则11101k k e e−−−≥⇒≤−−. 福建龙岩九校联考·169．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】(],1−∞x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立等价于ln(1)1x m x mx x e +−>+−第一步，错位同构：()ln(1)1xm x x mx e +−+>−，第二步，构造对应函数：令()xg x mx e =−，则有[]ln(1)()g x g x +>第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(1)x x <+<，故()g x 在()0,+∞上单调递减第四步，由单调性求出参数范围：()min'()001xx g x m e x m e=−≤>⇒≤=总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．【答案】11a e −<≤−解析：易得：()ln()ln()x xx a e a x a x a x e +≤−⇒+++≤+，1a >−即：ln()ln()x a x x a e x e +++≤+，构造函数()xg x x e =+，∴()()()ln g x a g x +≤．易知()g x 在[1,)x ∈+∞为增函数；∴()ln x x a ≥+，令()()ln h x x x a =−+，()111x a h x x a x a+−'=−=++，当0a ≥时，()0h x '≥，()h x 在[1,)x ∈+∞为增函数，()()10h x h ≥≥，∴01a e ≤≤−；当10a −<<时，11a −>；[1,1)x a ∈−，()0h x '<；()1x a ∈−+∞，时，()0h x '≥； ∴()()min 110h x h a a =−=−≥，∴11a −<≤，综上：11a e −<≤−．总结：最后不等式要注意x 取值范围补充：对于()ln x x a ≥+，也可以分参()()()minln ln ln 1x x x x x a e x a e x a a e x e ≥+⇒≥+⇒≥+⇒≤−=−浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测·811．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e【解答】解：令f （x ）＝e x ﹣aln （ax ），a ＞0，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞． ∴存在唯一x 0＞0，使得﹣＝0，即＝，x 0＝lna ﹣lnx 0，∴x ＝x 0时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）＝+ax 0﹣2alna ＞0，∴2﹣2lna ＞0，解得0＜a ＜e ．总结：补全结构即可。

高一复习2020.1 学生2020高中数学新教材配套讲义高一

20.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b 的关系（图象如下图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
2
22.（本小题共12分）()2()lg 101x f x kx =+-是偶函数，
(1) 求k 的值；
(2)当0a >时，设()()lg 102x g x a a =⋅-，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.。

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习讲义[54]三种现在时态解读(含总目录)

2021届巴蜀中学新高考英语语法基础复习讲义[54]三种现在时态解读（总目录见文末）什么是现在进行时？现在进行时是时态的一种，常用于表示正在发生的事情，且明确处于进行状态。

谓语动词表现现在进行时的基本结构是：am/is/are + doing(即动词的-ing形式)a.当主语是“I”时，用am。

b.当主语是we, you, they及其它复数时，用are。

c.当主语是第三人称单数时，用is。

具体示例如下：（黑色加粗字体是主语，红色字体是谓语动词；其中，红色加粗体字是实义动词，红色未加粗字体是辅助动词。

）I am listening to music.我正在听音乐。

Nick is washing his car.尼克正在洗车。

We are discussing the problem now.我们现在正在讨论这个问题。

His uncle is working there.他的叔叔正在那里工作。

I am talking to you.我正在和你说话。

The children are playing video games.孩子们正在玩电子游戏。

【现在进行时表将来】常表示意图、打算、安排等。

1) am/is/are going to do2) am/is/are + doingPeter is going.彼得要走了。

什么是现在完成时？现在完成时是时态的一种，常用于表示开始于过去的动作或状态，对现在产生影响或者和现在依然有联系。

谓语动词表现现在完成时的基本结构是：have/has + done(动词的过去分词形式)a.当主语是第三人称单数时，用has。

b.当主语是第一、第二人称以及第三人称复数时，用have。

当be动词作谓语时，表现现在完成时的形式为have/has + beena.当主语是“I”时，用have been。

b.当主语是we, you, they及其它复数时，用have been。

c.当主语是第三人称单数时，用has been。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷一、选择题1. 已知24a -≤≤，13b ≤≤，则2a b -的取值范围是（） A. [8-，2] B. [3,1]-C. [4,2]--D. [7,7]-【答案】A 【解析】【分析】由已知b 的范围，利用不等式的性质可得2b -的范围，再结合a 的范围，利用不等式的可加性得答案．【详解】13b ，622b ∴---，又24a -，822a b ∴--．故2a b -的取值范围是[8-，2]．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题． 2. 已知//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（） A. 平行 B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面【答案】D 【解析】【分析】由直线//a 平面α，直线b 在平面α内，知//a b ，或a 与b 异面．【详解】解：直线//a 平面α，直线b 在平面α内，//a b ∴，或a 与b 异面，故选：D ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答． 3. 在等差数列{}n a 中，若23a =，41a =，则6a =（） A. 1- B.13C. 5D. 9【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质可求得6a 的值.【详解】由等差中项的性质可得4262a a a =+，64222131a a a ∴=-=⨯-=-. 故选：A.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（）A. ,55⎛- ⎝⎭B. ,55⎛- ⎝⎭C. 55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 55⎛- ⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用向量的概念计算. 【详解】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB. 故选：B.【点睛】本题考查单位向量及坐标表示，属于基础题.5. 侧棱长为a 的正四棱锥，如果底面周长是4a ，则这个棱锥的侧面积是（）A.2B.2C.)21aD. 25a【答案】A 【解析】【分析】根据正四棱锥，底面周长是4a ，得到底面边长是a ，再根据侧棱长为a ，得到各侧面是正三角形求解.【详解】因为正四棱锥，底面周长是4a ，所以底面边长是a 又因为侧棱长为a ，所以各侧面是正三角形，所以这个棱锥的侧面积是2142S a a =⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查正四棱锥的几何特征以及侧面积的求法，属于基础题. 6. 若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7. 为了得到函数cos 2y x =的图象，只需把函数cos(2)6y x π=-的图象A. 向左平移12π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度【答案】A 【解析】【分析】将πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭转化πcos 212x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此判断出正确选项.【详解】由于ππcos 2cos 2612y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故需向左平移π12后得到cos 2y x =的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题. 8. 已知实数0a >，0b >，111112a b +=++，则2+a b 的最小值为（）A. B. 6+C. 3+D. 3+【答案】D 【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值．【详解】()()21213a b a b +=+++-()()213111211a b a b +++⎛⎫⎡⎤=+++- ⎪⎣⎦⎝⎭212111232234231111b b a a b a b a ，当且仅当12(1)11a b b a ++==++11a b =+=所以2+a b 的最小值为3. 故选：D.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值． 9. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质作交点、交线．根据平面的位置关系确定线线位置关系．【详解】如图，过AB 和1OO 中点M 作截面ABM ，1,D D 分别是11,AB A B 中点，111,O DC O DC ∈∈，直线DM 是截面ABM 与平面11DD C C 的交线，在平面11DD C C 中延长DM 与1CC 相交于点H ，由于13DO DC =，∴13OM CH =，而112OM CC =，因此H 在1CC 的延长线上，连接BH 交11B C 于E ，连接AH 交11AC 于F ，连接,,AF FE EB ，四边形ABEF 为截面．由正三棱柱的性质可得//EF AB ，AF BE =，四边形ABEF 是等腰梯形．故选：C ．【点睛】本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键．要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出．同样平行线也只能在同一平面内才能作出． 10. 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则(n = ) A. 119 B. 121C. 120D. 1222【答案】C 【解析】【分析】由已知推导出2n a n =12122n a n +=+=，由此能求出n ．【详解】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，∴{}2n a 是以21a =4为首项，以d=4为公差的等差数列，24n n a ∴=，2n a n ∴=又∵114n n n n a a a a ++-=+，则()11114n nn na a a a ++-=+， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，即()()213211112544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=， 12122n a n +∴=+=，解得1121n +=，120n ∴=．故选C ．【点睛】本题考查数列项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．11. 如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为A.1513B.9513C. 15D. 1513-【答案】B 【解析】【分析】先建系解得,D C 坐标，再设E 坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,),(2,),(0,0)D m n C m n m n +>>，因此22222221616{{,{(2,)(5,)0310023m m n m n m n m n m n m n =+=+=∴+⋅-=+--==，因此23:5),23(5)BC y x y x =-=--，设(,23(5)),45,E x x x --≤≤ 所以(,23(5))(2,23(5)23)AE DE x x x x ⋅=--⋅----2(,23(5))(2,23(5)23)13110240x x x x x x =--⋅----=-+当55[4,5]13x =∈时，AE DE ⋅最小值为95.13选B. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.12. 已知非等腰ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且444222222a b c a bc a b+++=+，若c 为最大边，则2a bc+的取值范围是（）A. 1,23⎛ ⎝⎭B. 12⎛ ⎝C. 1,23⎛ ⎝⎦D. 12⎛⎝ 【答案】A 【解析】【分析】先将444222222a b c a b c a b +++=+，转化为()222222a b c a b =+-，即2222124a b c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭+-，再根据c 为最大边，得到1cos 2C =-，然后由余弦定理得到222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，再利用基本不等式得到)c a b >+即可. 【详解】因为444222222a b c a b c a b+++=+，所以444222222()a b c a b c a b +++=+，即()222422222(2)a b c a b c a b =-+++，即()222422222()2a b c c a b a b -+++=即()222222a b c a b =+-，所以2222124a b c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭+-，因为c 为最大边，所以1cos 2C =-，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，()()()2222324b a a ab b a a b b +⎛⎫+++ -=⎪⎭>⎝=-，所以)c a b >+，即a b c +<又a b c +>，所以1a b c +<<，所以122a b c +<<. 故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.二、填空题13. 已知2a =，4b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角的度数为______. 【答案】3π【解析】【分析】设a 与b 的夹角为α，根据2a =，4b =，()a a b⊥-，由()22cos 0a a b a a b a a b α⋅-=-⋅=-⋅=求解.【详解】设a 与b 的夹角为α，因为2a =，4b =，()a ab ⊥-，所以()22cos 0a a b a a b a a b α⋅-=-⋅=-⋅=，解得1cos 2α=，因为[]0,απ∈，所以3πα=，故答案为：3π【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14. 设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________. 【答案】64 【解析】【分析】设公比为q ，由题意可得4q ×4q 2＝128，解得q ＝2，则a 6＝a 2q 4，问题得以解决.【详解】解：设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128， ∴4q ×4q 2＝128， ∴q 3＝8， ∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64，故答案为：64.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，关键是求出公比q ，属于基础题.15. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是_____.【答案】cm 【解析】【分析】分三种情形讨论：（1）重叠的是长、宽分别为5cm ，4cm 的面，（2）重叠的是长、高分别为5cm ，3cm 的面，（3）重叠的是宽、高分别为4cm ，3cm 的面．利用长方体的对角线公式即可求得．【详解】解：有以下三种情形：（1）重叠的是长、宽分别为5cm ，4cm 的面，（2）重叠的是长、高分别为5cm ，3cm 的面，（3）重叠的是宽、高分别为4cm ，3cm 的面，故在这些新长方体中，最长的对角线的长度是．故答案为：．【点睛】本题以长方体为载体，考查长方体的对角线的计算，考查分类讨论的数学思想．16. 在ABC ，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，2C A =，则cos 2C =______. 【答案】78- 【解析】【分析】根据条件得到3B A π=-，由正弦定理得到2sin sin 1sin sin 334sin a A A b B A A===-，求得sin A ，再结合倍角公式，即可求解.【详解】因为2C A =，所以3B A C A ππ=--=-，由直线定理，可得sin sin sin sin sin(3)sin 3a A A A b B A Aπ===-，因为sin3sin(2)sin cos 2cos sin 2A A A A A A A =+=+22sin (12sin )2cos sin A A A A =-+223sin (12sin )2(1sin )sin 3sin 4sin A A A A A A =-+-=-，所以32sin 123sin 4sin 34sin 3a Ab A A A ===--，因2(0,)C A π=∈，所以(0,)2A π∈，解得6sin 4A =，所以2261cos 212sin 12()44A A =-=-⨯=，则217cos 2cos 42cos 2121168C A A ==-=⨯-=-. 故答案：78-. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及二倍角公式，两角和的正弦公式的应用，着重考查推理与运算的能力，属于中档试题.三、解答题17. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1AB 、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面11BCC B ；（2）求直线EF 与直线1AA 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】【分析】（1）连接1CB ，利用中位线的性质证明出1//EF BC ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 //EF 平面11BCC B ；（2）设正方体的棱长为2，连接1111,AC B D 交于点 G ，取11AB 的中点H ，连接,,EH EG FG GH ，，则 1//FG AA ，所以EFG （或其补角）就是直线EF 与直线1AA 所成的角.然后计算出 EFG ∆的三边边长，可得答案．【详解】（1）如下图所示，连接1CB ，E 、F 分别为1AB 和 AC 的中点，1//EF BC ∴，EF ⊄平面11BB C C ， 1CB ⊂平面11BB C C ，//EF ∴平面 11BCC B ；（2）如下图所示，设正方体的棱长为2，连接1111,AC B D 交于点 G ，取11A B 的中点H ，连接,,EH EG FG GH ，，则 1//FG AA ，所以EFG （或其补角）就是直线EF 与直线1AA 所成的角. 在Rt EHG 中，1112EH AA ==， 11112GH A D ==，所以222EG EH HG =+=，又1122EF B C ==，12FG AA ==， 222EF FG FG ∴=+，所以4EFG π∠=，所以直线EF 与直线1AA 所成的角为4π.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了异面直线所成的角的计算，在计算异面直线所成的角时，要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题. 18. 已知函数()2sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【答案】（1）π；（2）1,312【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】（1）()sin 2coscos 2sin1cos 266f x x x x32cos 212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==, 即()f x 的最小正周期为π；（2）5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x，sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， 13sin 213123x，∴()f x 的值域为1,312. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.19. 已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1242n n nS n -+=+-【解析】【分析】（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12nn n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a nn n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列．（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a nb --==+，设12n n nC -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n nT -=+++++， ①123112322222n n nT =++++， ② ①－②得12311111111122112122222222212n n n n n n n n n T ---+⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⎝⎭- 所以1242n n n T -+=-，1242n n nS n -+=+-．【点睛】该题考查的是数列的有关内容，涉及到的知识点有等比数列的证明，数列的递推公式，数列的求和方法，注意对式子的正确变形以及相应的公式，才能正确得出结果.20. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c cos )sin a c B b C -=．（1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积4S a b =+=，求sin sin A B 及cos cos A B 的值．【答案】（1）60C =︒；（2）15sin sin ,cos cos 1212A B A B ==- 【解析】【详解】试题分析：（1）从已知条件出发，可用正弦定理把边角关系化为角的关系，由三角形内角和定理可化sin A 为()sin B C +，展开()sin B C +可得tan 3C =，从而有60C =︒；（2）结合（1）由面积公式in 12s S ab C =可得43ab =，4a b +=和余弦定理可求得23c =，当然可以求出边,a b 后再求得sin ,sin A B ，也可不直接求,a b ，利用正弦定理有221sin sin sin 12ab A B C c =⋅=，再由cos cos()C A B =-+可得cos cos A B ．试题解析：（1）[]3(cos )sin 3sin()sin cos sin sin a c B b C B C C B B C -=⇒+-= ∴3sin cos sin sin B C B C =，而在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴0tan 360C C =⇒=，（2）0314sin 60323S ab ab ==⇒=，由余弦定理有：222()22cos ()312c a b ab ab C a b ab =+--=+-=， ∴23c =，由正弦定理有：,c a b c a b 、、且、、 ∵1cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+=，所以5cos cos 12A B =-．考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式与余弦公式．21. 已知长方体PQRS ABCD -，底面ABCD 为正方形，过AB 的平面与平面PCD 的交线为EF ，且满足1:3:PEF CDEF S S =△四边形（PEF S △表示PEF 的面积）.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）当22PA AD ==时，求点F 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）13；【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于G ，连接EG 通过证明//EG PB ，证得//PB 平面ACE . （2）由等体积法，利用F ACE E ACF V V --=求得点F 到平面ACE 的距离.【详解】（1）由题知四边形ABCD 为正方形，∴AB //CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD .∴AB //平面PCD ，又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD =EF ，∴EF // AB ，又AB //CD ，∴EF //CD ，由1:3:PEF CDEF S S =△四边形得E 、F 分别为PC 、PD 的中点，连接BD 交AC 于G ，连接EG ，则G 为BD 中点，在PBD △中FG 为中位线，∴ EG //PB .∵ EG //PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴PB //平面ACE .（2）∵PA =2，AD =AB =1， ∴2AC =， 152AE PD ==∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，在Rt CDE △中，2232CE CD DE =+=， ACE 中由余弦定理知2225cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅ ∴25sin AEC ∠=∴13sin 24ACE S AE CE AEC =⋅⋅⋅∠=△，设点F 到平面ACE 的距离为h ，则131344F ACE V h h -=⨯⨯=，由DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC ∩PA =A ，得DG ⊥平面PAC ，且2DG =， ∵E 为PD 中点，∴E 到平面ACF 的距离为1224DG =又F 为PC 中点，∴122ACF ACP S S ==△△，∴1132412E ACF V -=⋅=，由F ACE E ACF V V --=得13h =，∴点F 到平面ACE 的距离为13. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查运用等体积法求点到面的距离，属于中档题.22. 数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()22121122m n m n a a a m n --+-+=+-.（1）设()*2121n n n b a a n +-=-∈N，证明：{}nb 是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足12c =，11n n c c a +=+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，求不等式1220201112nn b a c c c ⎡⎤++⋅⋅⋅+>-⎢⎥⎣⎦的解集. 【答案】（1）证明见解析，2n a n n =-；（2）{}1,2,3,4.【解析】【分析】（1）根据等差数列的证明方法，即证明1n n b b +-是常数即可；根据{}n b 是等差数列可求得{}n a 的通项公式．（2）通过构造数列的方法证明出111111n n n c c c +=---，进而求出122020120212*********1111c c c c c c +++=-=----，再由数列{}n c 的单调性求得()20191110,1c ∈--，将不等式转化为关于n 的不等式组，进而求得n 的值．【详解】（1）对任意m ，*n ∈N 都有()22121122m n m n a a a m n --+-+=+-，令2,1m n ==，可得321226a a a ，令2m n =+，可得23212128nn n a a a ，()()23212121123212128n n n n n n n n n a a a a a b b a a +++-+-++=---=-+∴=-，{}n b ∴是首项为1316b a a ，公差为8等差数列，61882nb n n ，即212182n n a a n +--=-，()()()2121212123311n n n n n a a a a a a a a ++---=-+-++-+2241453042n n n n ，令1m =，得1222112nna n n a n a ；（2）由已知得，211n n n c c c +=-+，()111n n n c c c +∴-=-，()11111111n n n n nc c c c c +∴==----，即111111n n n c c c +=---， 1220201202120211111111111c c c c c c ∴+++=-=----，又()2110n n n c c c +-=-≥，1n n c c +∴≥，202120202019232c c c c ∴≥≥≥≥=>，()2021110,11c ∴-∈-，1220201110c c c ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦，不等式1220201112n nb ac c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦等价于2510n n -+<，解得5212n ，52152，且*n N ∈，1n ∴=，2，3，4，故不等式1220201112n n b a c c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦的解集为{}1,2,3,4．【点睛】本题考查了等差数列的证明，通项公式求法，数列求和公式的综合应用，对分析问题、解决问题能力要求较高，属于难题．。

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一下学期半期(期中)考试数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一下学期半期（期中）考试数学试题一、单选题1．22cos 15sin 15︒-︒=（）A ．12B ．12-C D ．【答案】C【解析】利用余弦的二倍角公式即可. 【详解】22cos 15sin 15cos302︒︒-︒==故选：C. 【点睛】此题考余弦的二倍角公式，属于简单题.2．等差数列{} n a 的首项为1，523a a =+，则3a =（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】先利用题目条件解出数列{}n a 的公差，然后求解出3a . 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，由523a a =+得，5233d a a -==，则1d =，所以3123a a d =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及简单应用，属于简单题，只需按照公式直接计算即可. 3．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（） A ．若 a b >，则22ac bc >B ．若22ac bc >，则 a b >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若0a b <<，则b a a b< 【答案】B【解析】代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案. 【详解】解：当0c 时，22ac bc =，则A 不正确；由22ac bc >知，0c ≠，所以 a b >，B 正确；若2,1a b =-=-，则11112a b-=>=-，则C 不正确；若2,1b a ==，则122b a a b =>=，故选:B. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =， 0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．(],3-∞【答案】D【解析】由题可转化为min 11a x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+-，利用基本不等式求解11x x +-的最小值即可. 【详解】因为当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，又111121311x x x x +=-++≥+=--，当且仅当2x =时取等号，所以11`x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤则实数a 的取值范围为](3-∞，故选：D 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查了转化与化归的思想. 6．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解. 【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可. 7．在数列{} n a 中，13a =，且有133nn na a a +=+，则2020a =（）A ．12020B ．32020C ．20203D ．202012【答案】B【解析】先取倒数，再根据等差数列定义以及通项公式求得1na ，即得结果. 【详解】因为133n n n a a a +=+，所以11113n n a a +=+∴111111(1)(1)3333n nn n a a =+-=+-= 所以20202020120203=32020a a =∴ 故选：B 【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=（）A ．12-B ．12C． D【答案】C【解析】由三角函数平移变换原则可得到解析式sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据对称关系可求得ϕ，结合诱导公式可求得三角函数值. 【详解】()sin 2y x ϕ=+向左平移12π个单位可得：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点对称，()6k k Z πϕπ∴+=∈，解得：()6k k ϕπ=π-∈Z，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题考查根据三角函数对称性求解参数值、利用诱导公式化简求值的问题；关键是能够根据对称性，利用整体对应的方式构造方程求得ϕ.9．已知数列{} n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．若11a =，34a =，则57a =B ．若130a a +>，则240a a +> C ．若21 a a >，则32a a > D ．若210a a >>，则1322a a a +> 【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式逐一验证即可. 【详解】对于A ，若11a =，34a =，则2314a q a ==，25316a a q ==，故A 错误，对于B ，取11a =，2q =-，可得2428100a a +=--=-<，故B 错误，对于C ，取11a =-，2q =-，可得34a =-，2 2a =，故C 错误，对于D ，若210a a >>，则1q >，可得2213111(1)a a a a q a q +=+=+，212 2q a a =， 22132112(12)(1)0a a a a q q a q +-=+-=->，则1322a a a +>，故D 正确，故选：D. 【点睛】此题考等比数列的通项公式的应用，属于简单题.10．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（） A ．12-B ．12C ．-2D ．2【答案】A【解析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC OCOC⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-. 故选：A.本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（）海里．A ．56B ．106C ．102D ．202【答案】A【解析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力. 12．ABC中，若::3:2AC AB CM MB==，60AMB∠=°，则sin CAB∠=（）A．115B．3C ．53D ．53【答案】D【解析】根据正弦定理求得AM为角CAB∠平分线，再根据正弦定理求得tanθ，最后根据万能公式求结果.【详解】设CAMθ∠=,因为::AC AB CM MB=，所以sin sinsin sinAC AB AMC AMBCM MB BAMθ∠∠=∴=∠，sin(18060)sin60sin sinsin sinBAM BAMBAMθθθ-∴=∴∠=∴∠=∠,因此sin sin(60),sin sin(60),B Cθθ=+=-()()sin602sin sinsin603sin sinAM BMBMBAM CM CMCθθθθ⎫=⎪︒-⎪⇒==⎬︒+⎪=⎪⎭，31sin3tan2322tan3313tancos sinθθθθθθθ--⇒==⇒=++22tan3sin21tan14θθθ∴==+.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形、万能公式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题13．求111112233420192020++++=⨯⨯⨯⨯____________.【答案】20192020【解析】利用裂项相消法111(1)1n n n n =-++可得.【详解】111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯ 11111111201911223342019202020202020=-+-+-++-=-=，故答案为：20192020. 【点睛】此题考裂项相消法求数列的和，属于简单题.14．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________. 【答案】50【解析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值. 【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若c a b λμ=+.且22λμ+=，则c 的最小值为____________. 【答案】1【解析】根据,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，可以求得60AOB ∠=︒，由22c a b a b μλμλ=+=+⋅，根据22λμ+=，所以12μλ+=，得到,,A B C '三点共线，从而得到最值，求得结果. 【详解】12a b ⋅=60AOB =⇒∠︒，则22c a b a b μλμλ=+=+⋅，因为22λμ+=，所以12μλ+=，画出图形，如图所示：,,C A B '∴三点共线，min 1O l c d OA →∴===.故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，三点共线的条件，距离的意义，属于简单题目.16．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【解析】根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果. 【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b ++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=，当且仅当0a <，22020a ba b=时，等号成立.即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目.三、解答题17．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒. （1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值. 【答案】（1）8；（2）1.【解析】利用平面向量的数量积直接计算即可. 【详解】（1）()2424cos 608a a b a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯︒=，（2）()0a a kb ⋅-=，即2424cos 60440aka b k k -⋅=-⨯⨯⨯︒=-=，1k ∴=.【点晴】此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.18．已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】（1）π；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期；（2）根据正弦函数性质求值域.【详解】（1）()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1cos 22x -=+ 1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， T π∴=.（2）50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()30,2f x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知22cosA cosC c a cosB b--=． ()1求n sinC si A的值； ()2若14cosB =，ABC 的周长为5，求b 的长．【答案】（1）2（2）2 【解析】试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得sin 2sin C A =，即求解sin sin C A的值；（2）由（1）可知sin 2sin C A=，∴2c a =，再由余弦定理和三角形周长，即可求解,a b 的长. 试题解析：（1）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===知， cos 2cos 22sin 2sin cos 2sin A C R C R A B R B-⋅-=，（2分）即cos sin 2cos sin 2cos sin cos sin A B C B B C B A -=-，即sin()2sin()A B B C +=+，（4分）又由A B C π++=知，sin 2sin C A =，所以sin 2sin C A =. （6分）（2）由（1）可知sin 2sin C A=，∴2c a =，（8分）由余弦定理得2222(2)22cos 4b a a a a B a =+-⋅⋅=∴2b a =，（10分）∴225a a a ++=，∴1a =，∴2b =. （12分）【考点】正弦定理；余弦定理.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，113543n n n n S a a S --=-+（2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =；(2)12(1)2n n T n +=+-⋅.【解析】【详解】（1）由题意知113354n n n n S S a a ---=-（2n ≥）∴12n n a a -=，12n n a a -= 又∵12a =，∴{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴1222n n n a -=⋅=（2）由已知得22n n b =⋅，∴1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得()()11212212212n n n nT n n ++--=-⋅=-⋅-- ∴()1212n n T n +=+-⋅点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21．,,A B C 是ABC 的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin ,sin sin n B A C =--，且//m n .（1）求角C 的大小；（2）若向量()0,1s =-，2cos ,2cos 2B t A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试求s t +的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）522s t ≤+<. 【解析】（1）先根据向量平行得角的关系，再根据正弦定理化为边的关系，最后根据余弦定理求结果；（2）先根据向量模的定义化简，再根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，最后根据正弦函数性质求结果.【详解】（1）//m n ()()()() sin sin sin sin sin sin sin A C A C B A B ⇒+-=--， 222sin sin sin sin sin C A B A B =+-⇒，222cos 231c a b ab C C π⇒⇒=+-=⇒=. （2）2cos ,2cos 12B s t A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 2222cos 2cos 12B A s t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝∴⎭ 22cos cos A B =+222cos cos 3A A π⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-1cos 2214A A =+ 11sin 226A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 由27023666A A ππππ<<⇒-<-<， 1sin 2126A π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭， 21524s t∴≤+<5s t ⇒≤+<. st +的取值范围为)22【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理解三角形、向量平行坐标表示、向量模的定义、二倍角余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 22．数列{} n a 中，1a x =，()1412n n a a n n -+=-≥.（1）若2x =，求n a 及2n S . （2）对任意正整数n ，()()221228n n a a +-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，2243n Sn n =+；（2）72x -≤或72x +≥. 【解析】（1）先计算出25a =，由题意有12145,3412n n n n a a n n a a n n ---+=-≥⎧⎨+=-≥⎩，，则可得()243n n a a n -=≥-，所以数列{} n a 的所有奇数项成等差数列，所有偶数项成等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可；（2）针对项数n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，将1n a +和n a 代入()()221228n n a a +-+-≥，然后利用参变分离思想将问题转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】（1）由题意可知12145,3412n n n n a a n n a a n n ---+=-≥⎧⎨+=-≥⎩，，两式相减得()243n n a a n -=≥-. ①135,,,a a a 是等差数列，首项为12a =，公差为4；∴n 为奇数时，12422n n a n -=+⨯=. ②246 ,,,a a a 是等差数列，首项为275a x =-=，公差为4； ∴n 为偶数时，514212n n a n ⎛⎫=+-⨯=+ ⎪⎝⎭. 综上，2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数. ()()221124544322n n n n n S S S n n n n --=+=+⨯++⨯=+奇偶. （2）同（1）方法得：2223n n x n a n x n +-⎧=⎨+-⎩，为奇数，为偶数. ①n 为奇数时，()()221228n n a a +-+-≥即为 ()()222522228n x n x +--++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222141742x x n n -+≥--⇒对任意正整数n 恒成立，n 为奇数时，()2max 424n n ⎡⎤--=-⎣⎦，2214174x x ∴-+≥-72x ⇒≤或72x ≥. ②n 为偶数时，()()221228n n a a +-+-≥即为()()22222328n x n x +-++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2226342x x n n ⇒--≥--对任意正整数n 恒成立，n 为偶数时，()x 2ma 4224n n ⎡⎤--=-⎣⎦，222632426210x x x x x R ∴--≥-+≥⇒⇒-∈，综上：x ≤或x ≥【点睛】本题考查数列通项公式的求解，考查与数列结合的不等式恒成立问题，难度较大.解答时，利用分类讨论思想得出数列的通项公式是关键.。

2023年高考数学一轮复习讲义——对数与对数函数

§2.7 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ .答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝ . 答案 12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2log 5150－log 514＝ .答案 2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝ .答案 6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln 2 B ．e ＋ln 2 C ．2D ．4答案 C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案 D解析结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较指数式、对数式大小例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a log 62>log 122，即1a >1b >1c ，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1， c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg 3lg 2×lg 5lg 9＝lg 3lg 2×lg 52lg 3 ＝lg 52lg 2＝lg 5lg 4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min＝ .答案 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10 lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析由题意可得，0≤10·lg I I 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩ 解得a >1或－1<a <0.5. (多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案 BC解析由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ，则( )A ．f (ln 2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)＝ln(e 2ln 2＋1)－ln 2＝ln 52，故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－ln e x＝ln e 2x ＋1e x ＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x ＋e －x )在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln 2，故D 项正确．7．(2022·海口模拟)log 327＋lg 25＋lg 4＋27log 7＋138的值等于．答案 152 解析原式＝323log 3＋lg 52＋lg 22＋2＋1332⨯ ＝32＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝32＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为．答案－14 解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝⎛⎭⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0，log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则( )A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y 答案 D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83 B.809 C.154 D.25516答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |，∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83. 14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2)解析令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24，则u 有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1 解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a＝lg (a ＋1)lg a －lg a lg (a ＋1)＝lg 2(a ＋1)－lg 2a lg a lg (a ＋1)＝[lg (a ＋1)－lg a ][lg (a ＋1)＋lg a ]lg a lg (a ＋1)当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lg a ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>0，由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1，综上有a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1. 16．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )．(1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围．解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x －4)．由f (x )>2，得log 2(2x －4)>2，得2x －4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)，所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根．所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根．令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

【全国百强重庆巴蜀中学】高中数学《平面向量讲义》(教师版)

2.11..2..3.1123122001a b a b()12a b a b1AB CDA B C DABCDAB 0AB CD;1AC BC1()ABC DDA BCD2(1)________()a bab3AB DC A B C DABCDABa b a 0 a b b ca ca b b ca c .abAB DC A B C D ABCD|AB ||DC |AB DCAB DCa b |a ||b |a bb c|b ||c |bca ca cb 0aca c(2)ABCE F D AC AB BCEFEFEF E FAC ABEF BC 12BC DBC EFFE . EF FE BD DB DC CD . EFDB CD .(1)(2)2O ABCDEF(1)OA(2)OA(3)OA(1)OA (OB )23(2)BC AO EFOA AO OD FEBC44(3)(2)BC OA EFOD AD OA OA BC CB EF93A 100 km B50°200 kmC100 kmD(1)AB BC CD (2)|AD |.(1)AB BC CD(2)AB CD AB CD|AB ||CD |ABCDAB CDABCDABCD||||200 km.3a1.(1)B bb a (2)Ac|cc(1)b a() (2)c A).1..2...3.1(1)(2)5a bAAB a BC bACaba ba b AB BC ACa bOA a OB b O A BOA OBOACBOC a b(3) aa +00+a a2 1a b b a 2(a b )c a (bc )1(1)() (2)A B C DAB BC CDDA 0.()(3)a ba ba b()(4)AB BC CA 0A B C() (5)a b |a b ||a ||b |.() 2(1)(2)a b ca ba b c .(1)(2) (1)OOA a AB bOB a b .(2)OOA a AB b BC cOC a b c .6(1)(2)(1)(2)1OABCDEF(1)OA OC ________(2)BC FE ________(3)OA FE ________.(1)OB (2)AD (3)03(1)BC AB (2)DB CD BC(3)BC F A .(1)BC AB AB BC AC . (2)DB CD BC BC CD DB (BC CD )DB BD DB 0.(3)AB DF CDBC F A AB BC CD DF F A AC CD DF F AF A AF F A 0.(1)(2)A 1A 2A 2A 3A 3A 4A n 1A 1A 1A n .A nA 1A 1A 2A 2A 3A 3A 4A n 1A 10.2(AB PB )(BO BM )OP()A.BCB.ABC.ACD.AMD(AB PB )(BO BM )OP AB BO OP PB BM AM .420 m/min m/minABCDRt ACD|CD ||AB |||10 m/min|AD|||20 m/minCD60°120°120°1 1 h320 m/min20sin 60°103(m/min)1 h60032ABDC ADBD2.310 N W AB ACW150°BCW120°A B()CE CF A B10 N CGCE CF CG.ECG180°150°30°FCG180°120°60°.||||cos 30°53(N)||||cos 60°A5 3 N B 5 N.1..2..3.1.78a (a )0a bab a b 021a b a (b ).2a bba1a b ca b c . OOA a AB bOBabca b c .OOA a AB bOBa bCBcOCOC a b c .a b cOOA a OB bBA a b .CA cBC a b c .1OABCOA a OB b OC c .b c a .OB OCOBDCODAD OD OB OC b c AD ODOA b ca .CD OB bADAC OC OA c a AD AC CD ca b b c a .29(1)NQPQ NM MP (2)(AB CD )(AC BD )(1)0.(2)AB CD AC BD (AB AC )(DC DB )CB BC 0.2(1)()() (2)()()(1)(BA BC )(ED EC )CA CD DA .(2)(AC BO OA )(DC DO OB )AC BA DC (DO OB ) AC BA DC DB BC DC DB BC CD DB BC CB 0.3|AB |6|AD |9AB AD |||AB ||AD |||AB AD ||AB ||AD ||AD |9|AB |63|AB AD |15.AD AB |AB AD |3AD AB|AB AD |15.|AB AD |[3,15](1)ABCD AB a AD bAC a b DB a b . (2)||a ||b |||a b ||a ||b |a b|a ||b ||a ||b ||a b |ab|a b ||a ||b |. (3)||a ||b |||a b ||a ||b |ab |a ||b ||a ||b ||a b |a b|a b ||a ||b |. 3ABCD AB a AD b AC a b |a b ||a b |ABCD ()AB CDBAC a b ABCDDB a b |a b ||a b ||AC ||DB |.ABCD.11a a1)|a||||a|2)>0a a3<0a a21)(a)()a2)()a a a3)(a b)a b()a a(a)(a b)a b21a(a0)b b a2a b12 (1a±2b)1a±2b1(1)3(6a b)9a b________.9a 3(6a b)9a b18a3b9a3b9a.(2)3(x a)2(x2a)4(x a b)0x______.4b3a3x3a2x4a4x4a4b0x3a4b0x4b3a.(1)(2)101(a b)3(a b)8a.(a b)3(a b)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.2a b.(1)OA2a b OB3a b OC a3b A B C(2)8a k b k a2b k(3)OM m a ON n b OP a b m n m0n0M P N(1)AB OB OA(3a b)(2a b)a2b BC OC OB(a3b)(3a b)(2a4b) 2AB AB BC B A B C.(2)8a k b k a2b8a k b(k a2b)(8)a(k2)b0.a b20±2k2±4(3)M P N O x y OP x y1OP a b a b OP xm a yn ba b xm yn y11.(1)A B C AB AC(AB)(2)A B C O x y OA xOB yOC x y1 2a(b0)2e1e2AB e12e2BC5e16e2CD7e12e2________A B DAB e12e2BD BC CD5e16e27e12e22(e12e2)2ABAB BD B A B D3e1e2k e1e2e1k e2kk e1e2e1k e2k e1e2(e1k e2)(k)e1(1)e211e1e2k010k±1.b a(a0)b a3e1e2a2e13e2b2e13e2c2e19e2d a b cd(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2d c k d k c(22)e1(33)e22k e19k e2.e1e2222k339k2.d c2.4ABC DBD2DC AD()A.13AC B.53AB23AC C.23AC13AB D.23ACDAD AB BDAC AB(1)(2)4OADB OA a OB b13BC13CD a b OM ON MN.BM13BC16BA16(OA OB16(a b)OMOB BM16b16a. CN13CD16OD ON OC CN12OD23OD23(OA OB23(a b)MN ON OM 23(ab)16a56b12a16b.12135M N ABCAMAN ACABMABN ________AQ 13AC AM AP AQ MQ ABAQ2 35ABC A B CP P A PB PC AB ()A P ABCB PABCC PABD P ACP A PB PC PB P A PC2P APACD1..2..3.1e 1e 2a12a 1e 12e 2e1e 221OA a OB b AOB (0°180°)a b21)0°a b2)90°a b 3)180°a b141(1)OABCD ()AD AB DA CA OD OBABCDB(2)e 1e 2________()e 1e 2(R )aae 1e 2()1e 11e 22e 12e 21e 11e 2(2e 12e 2)e 1e 2001212(1)(2)abx 1a y 1b x 2a y 2bx 1x 2y 1y 2. 1e 1e 2e 1e 1e 2e 12e 2e 22e 1e 12e 24e 22e 1e 1e 2e 1e 2.______()4e 22e 12e 14e 22(e 12e 2)e 12e 24e 22e 12(1)OA a OB b C AO ADCBCa b________13OB 13OB4949a15(2)ABCD AC BD M AB a AD b a b MC MA MBAC AB AD a b BD AD AB b aMC12MA MC12a 12bMD 12b 12a MBMD1212b 3 2(2)E FCDBCACAEAFRa b 12a bAEAFa b a b2(1)(2)21D E FABCBC CA AB EB FC ()A.ADB.12ADC.12BCD.BCEB FC (EC BC )(FB BC )EC FB 12AC 12(AC AB )AD . A2AD12(AB AC )() A BD 2CD B BD CD C BD 3CD D CD 2BDAD12(AB AC )2AD AB ACAD AB AC ADBD DC|BD ||DC |BD CD B 3e 1e 2x y(2x 3y)e 1(3x 4y )e 26e 13e 2x ________y ________e1e22x3y63x4y3x15y12.15123|a||b|2a b60°a b a a b aOA a b AOB60°OA OB OACBOC a b BA OA OB a b BC OA a|a||b|2OABOAB60°ABC a b a60°|a||b|OACBOC AB COA90°60°30°a b a30°90°(1)(2)a b1a2b(12)12<0180°12>03a b c a b c0a b120°|b|2|a|a c ________OAB OAB60°|b|2|a|ABO30°OA OB a c90°90°4ABC C90°12AB AB BC()A30°B60°C120°D150°CAD BC BAD AB BC ABC C90°12ABABC60°BAD120°.161231.12x y i j3a x y a x i y j(x y) a4a(x y)5i(1,0)j(0,1)0(0,0)2.AB(x1xOy OA4AB3AOx45°OAB105°OA a AB b OABC17(1)a b(2)BA(3)B(1)AM x M OM OA·cos 45°4AM OA·sin 45°4A22) a22)AOC180°105°75°AOy45°COy30°.OC AB3ABOC(3)OB OA AB22)32323)2B1M(56)a(12)MN3a N( A )A(2,0) B(3,6) C(6,2) D(2,0)2(1)A(0,1)B(3,2)AC(43)BC( A )A(74) B(7,4) C(1,4) D(1,4)C(x y)AC(x y1)(43)x4y2C(42)BC(74)A(2)A B C(24)(0,6)(8,10)AB2BCAB(2,10)BC(8,4)AC(10,14)AB2BC(2,10)2(8,4)(18,18)(8,4)12(10,14)(8,4)(5,7)(33)2a(1,2)b(2,1)(1)2a3b(2)12a13b(1)2a3b(2,4)(6,3)(4,7)(2)12a13b121)(2313)7623)1813-1a(2,1)b(12)m a n b(98)(m n R)m n________ 3m a n b(2m m)(n2n)(2m n m2n)(98)2m n9 m2n8m2 n5m n323-2A(2,1)B(1,3)C(3,4)DD x,y ABCD AB(1,2)DC(3x,4y)AB DC D(2,2)ACDB AB(1,2)CD(x3y4)AB CD D(4,6)ACBD AC(5,3)DB(1x,3y)AC DB D(6,0) D(2,2)(4,6)(6,0)(1)(2)3A(2,4)B(4,6)BD CD________(1111 3)C(x1y1)D(x2y2)(x12y132(6,2)(9,3)x17y17(x24y243(62)(883)x24y 103CD(11113)121a(x1y1)b(x2y2)b02x1y2x2y10a b(b0)19201 (1)( )A e 1(0,0)e 2(12) B e 1(1,2)e 2(5,7) Ce 1(3,5)e 2(6,10) D e 1(23)e 2(1234) Ae 1e 1e 2Ce 12e 2e 1e 2D e 14e 2e 1e 2B (2)a (1,2)b (3,2)k k a b a 3bk a b k (1,2)(3,2)(k 3,2k 2)a 3b (1,2)3(3,2)(104)k a b a 3b(k 3)×(4)10(2k 2)013 k aa 3b )k a ba 3b12(1)ab (b 0)(2)1a cos )b (3sin )a b ________a cos )b (3sin )a b 3sin3cos2 (1)OA (k,2)OB (1,2k )OC (1k1)A B Ck ________AB OB OA (1k,2k 2)AC OC OA (12k 3)AB AC(3)×(1k )(2k 2)(12k )014k 1) (2)A (11)B (1,3)C (1,5)D (2,7)AB CDAB CDAB (2,4)CD (1,2)2×24×10AB CD AC (2,6)AB (2,4)2×4A B C AB CD AB CD(1)A (x 1y 1)B (x 2y 2)C (x 3y 3)A B C(x 2x 1)(y 3y 1)(x 3x 1)(y 2y 1)0(2)(x2x1)(y3y1)(x3x1)·(y2y1)0AB AC2A(12)B(4,8)C(5x)A B C xAB(5,10)AC(6x2)A B C AB AC5(x2)10×60 x10.3A(1,3)B(12)CC(x y)AC(x1y3)AB(25)x1y 14(25)(x1y3)1254)x 1 2y 541274C(1274)4A(0,5)D(232)M(x y)M AD x yAD(272)AM(x y5)MAD A D M AD AM2(y5)07x4y205ABC O(0,0)A(0,5)B(4,3)OC OD AD BC M M C(x C y C)O(0,0)A(0,5)B(4,3)OA(0,5)OB(4,3)OC(x C y C0C0D(232)M(x y)AM(x y5)AD2AM D AM AD2(y5)07x4y20CM xCB40C M BCM CB4y7x16y207x4y207x16y20127y2M2211a(x1y1)b(x2y2)(1)b a b(2)x1y2x2y10(3)x2y2x1xy1y2(1)(2).12311a b a b|a||b|cos a b()a b a·ba·b|a||b|cos2(1)b a|b|cos a b|a|cos(2)a·b a|a|b a|b|cos222a b(1)a b a·b0(2)a b a·b |a||b|a b|a||b|a b.(3)a·a|a|2|a(5)|a·b||a||b|31a·b b·a()2(a)·b(a·b)a·(b)()3(a b)·c a·c b·c()|a|2|b|3a b120°(1)a·b(2)(a b)·(a b)(3)(2a b)·(a3b)(2)ABC1D E AB BC DE F DE2EF AF·BC( )A 58B18C14D118(1)a·b|a||b|cos120°23(12) 3.(2)(a b)·(a b)a2a·b a·b b2a2b2|a|2|b|249 5.(3)(2a b)·(a3b)2a26a·b a·b3b22|a|25a·b3|b|224533934.(2)D E AB BC DE2EFAF·BC(AD DF)·BC·BC·BC·BC·BC BC54|BA|·|BC|cos 60|BC|54×1×1 B1ABCD AB2AD1BAD60°E CD AE·BD23AE·BD(AD·(AD AB)ADAD112×412×2×1×1232 ABC AB AC4BAC90°D BC(1)AB BD(2)BD AB[]AB BD[]AD AB AC4BAC90°ABC D BC AD BC ABD45°BD2 2.AB E AB BD DBE180°45°135°.(1)AB BD|AB|cos135°42 2.(2)BDAB|BD|cos135° 2.ABC AB AC2ABC30°D BC(1)BA CD(2)CD BA[]AD(1)D BC AB AC AD BCAB2ABC30°CD BD AB cos30BA CD ABC BA CD150°.BA CD|BA|cos150°2cos150(2)CDBA|CD|cos1503224253|a ||b |5ab|a b ||a b |a ·b |a ||b |cos 5×5×12252|a b ||ab|3|a |1|b |3|a b |2|a b ||a b |2(a b )2a 22a ·b b 2192a ·b 4a ·b 3|a b |2(a b )2a 22a ·b b 2192×316|a b |4|a b |2(a b )2a 22a ·b b 2|a b |2(a b )2a 22a ·b b 2|a b |2|a b |22a 22b 22×12×920 |a b |2 |a b |216 |a b | 4.1 4-1nm a 2mn b 2n 3m|n ||m |1mnm ·n |m||n ×1×1212|a ||2m n ||b||2n 3ma ·b(2m n )·(2n 3m )m ·n 6m 22n 12×12×72a b72[0a b2 4-2m n4|m |3|n |cos m n 13n (t m n )t ( )A 4B4 C 94D 94 cos m nm ·n |m ||n |m ·n 34|n |13m ·14||14n 2n ·(t m n )0t m ·nn 2n 2n 20t 4B4|a||b|2(a2b)·(a b)2a b(a2b)·(a b)|a|22|b|2a·b2|a||b|2a·b2a b[01.a(x1y1)b(x2y2).:,a·b x1x2y1y2:a b x1x2y1y202(1)a(x y)|a(2)A(x1y1)B(x2y2)|AB x12y1(3)a(x1y1)b(x2y2)ab cos3.:a b x1x2y1y20:a//b x1x2 - y1y204.(1)a·b|a||b|coscos(2)coscos <0180°cos>00°261 a=(1,2), b=(-3,4)1 b (2)cos< a,b > 3a b(4)(a+b)2 15(2)3 1 (4)401.a(31)b(12)a b________2.a(21)b(11)(a2b)·(a3b)(B)A10 B10C 3D 32 1.a(2,1)a·b10|a b||b|(C)A 5 B10 C 5 D25 21.a(1,2)b(24)|c(c b)·152a c_______2(3-2)(52)(-14).3,2OA 5,2OB1,4OC,OD x y AB DC AC DB AB CD.1AB DC OB OA OC OD5,23,21,4,x y2,41,4x y12x44y3,0x y.3,0D .2AC DB1,43,24,65,2x y54x26y9,4x y9,4D .3AB CD5,23,22,41,4x y2712x44y1,8x y1,8D.D3,09,41,8.3.ABCD AD BC ADC=90°AD=2BC=1P DC5DA DC x yA20B1a C0a D00P0b=2b=1a b=53a4b=53. x y R a(x,1)b(1y)c(24)a c b c|a b|()A 5 B10C2 5 D10a cbc 2x402y40x2y2a(2,1)b(12)a b(31)|a bB3 1.ba(12)180°|b|b()A(3,6) B(36) C(63) D(6,3)ba(2)(<0)|b||b223b(3,6) A2.A B C A(12)B (41)C(01)ABC28()A B C DAC(13)AB(31)AC·AB330AC AB.|AC|ABAC AB.ABCC4 a(1,2)b(1)(1)a b(2)a b(3)a ba ba·b(1,2)·(1)12(1)a b cos 0a·b012(2)a b cos <0cos 1a·b<0a ba·b<012<0<1 2a b2a b(3)a b cos >0cosa·b>0a ba·b>0>12a b22(24A B C ABC p(sin A,1)q(1cos B)p q ()A BC DABC ABA29y sin x(sin A)cos B p·q sin A cos B>0p q p qA2.51.().2.()11232123m4F s.1ABCD E F AB BC AF DE AD a AB b|a||b|a·b0302022AF·DEba 2·b a212a234a·bb2 212|a|2 12|b|2 0AF DE AF DEAF (2,1) DE (1 2)2 A(0,0) D(0,2) E(1,0) F(2,1)AF·DE (2,1)·(1 2) 2 2 0AF DE AF DE1 1. ABCA(4,1) B(7,5) C( 4,7) BCADA 25B5 25C 357 D 2535BCD 2 6 AD255 |AD| 2 5B1ABCD AB·BC 0 AB DCABCDABCD ( )AB DCABCDAB·BC 0B 90°() ABCDC2. P D)ABCDBDPFCEDCx DAyPA EF PA EF Oxy(3120221|OP|A(0,1)P2 22 2E12 2PA2 212 2EF2 212 2|PA|122 22 2122 2|EF| 2 2 1F2 20|PA| |EF| PA EFPA·EF2 22 2112 22 20PA EF. PA EF.3 ________A(1,1) M(x y)AMAMa (1,2)MAM·a (x 1 y 1)·(1,2) x 1 2y 2 x 2y 3 0. A Mx1x 2y 3 0(x 1)4.Rt ABC(1) DAB(2) E CDC 90° AC m BC n 1CD 2ABAEBC F AF( mn )(1)CA(0 m) B(n,0)CB CA D ABnm D(2 2 )xy|CD|1 2m2n2|AB|m2 n23220221 |CD| 2|AB|1 CD 2ABnmnm(2)F(x,0)D(2 2 )E(4 4 )AE (n4 34m) AF (x m) AE AFAF AE (x m) (n4 34m)n x43 m44 3n x3AF (n3 m) |AF|19n2m21 3n29m2AF1 3n29m22 (1)5 km h| 1| 52| | 10 | 2| | |cos 30° 5 3(km/h)53(2) BAB10 N (W ) F1 F2F1 F2CFWE CWECW 180° 150° 30°FCW 180° 120° 60°FCE 90°CFWE|CE| |CW|cos 30° 103 2 5 3(N)|CF||CW|cos 60°101 25(N)A5 3N B2 1.60°F6N W ________ JF33ABACW 150° BCW 120° A10 NFF1 F2 F. CCF F2 CE F1 CW F5N s100 m F s2022W F·s |F||s|cos F s6 100 cos 60° 300(J)300290°F1 F2A6F1 F2 F3(2 4 F3(B2) )C 25 F3C(F1 F2)D 27 |F3|2 (F1 F2)2 F21 F22 2F1·F2 4 16 20F1 F2 |F3| 2 5a (x1, y1),b (x2, y2 )a b (x1 x2, y1 y2 )a b (x1 x2 , y1 y2 )a ( x1, y2)A (x1, y1), B (x2, y2) AB (x2 x1, y2 y1)A (x1, y1), B (x2, y2 )( x1 x2 , y1 y2 )22a (x1, y1),b (x2, y2 )abx1 x2 y1 y234ab2022a (x1, y1),b (x2, y2) a / /bx1y2 x2 y1a b a b cos 0abb cosbaab abab cosa b cosa b x1x2 y1 y2a b 0 x1x2 y1 y2 a (x, y) | a | x2 y2 , a2 | a |2 x2 y2a (x1, y1),b (x2, y2 )cos a, b a b | a || b |x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22abA x1, y1 , B x2 , y2| AB | (x1 x2)2 ( y1 y2 )2| a | cos a, ba b x1x2 y1 y2|b|x22 y22|| a | | b || | a b | | a | | b | ABCA x1, y1 , B x2, y2 ,C x3, y3PG1 3(PAPBPC)GABCPA PB PB PC PC PA P ABC( AB AC )( 0)ABC| AB | | AC || AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABCP1P2M35G x1 x2 x3 , y1 y2 y333PA PB PC 0 PBACMP MP1 MP2 1ABC P P1P2MP MP1 MP2 2PA PB PC2022ABCPA PB PC1.AAAB BAC AB DC A B C D DB ababABCD OABCDOA a OB b OC cODCA a+b +c2B a +b -c1.abC a-b +cD a-b -cBA ab a b22C ab abB ab a b22D abab a ba b c a b c 0 a b ca ba1222abcAP 4 AB OA OB OP OP 31 OA 4 OB331 OA 4 OB331 OA 4 OB331 OA 4 OB3336202244OP OA AP OA AB OAOB OA3314OA OB3331P ABCAP 1 AB 2 AC 55ABP ABCC1A51B22C52D32ABCAB 3, AC 2 AD 1 AB 3 AC24ABCADABCDDa 1, 2 ,b 4, 2 c ma b c acbA2B1C1D2=12 =42=m + = m+4 2m+2===m=2DmD1a 1 , tan ,b cos ,1a / /b cos()B321A.31B.32C.322D.32OA a OB b ,ABab 1 ab 3OABDCD37202251a cos ,sin b 2 sin , cosa / /b(5 ,13 ) 44ab 3cos( ) 28cos cos sinsin =0={ | = +2k = +2k k Z}sin =1 sin == cos+sin sin cos| |===2=cos==cos0cos=2a cos x,sin x b 3 cos x, cos x b 0f (x) 2a b 1f (x)abtan x cos 2x f (x) 1f x =2=2 sinxcosx+2cos2x 1= sin2x+cos2x=2sin 2x+=2k2x+ 2k + k zkxk+[kk+kzsinx= cosx tanx=====3820225a sin A B , cos A B 3 2 b 5 sin A B , cos A B 3 22244224ab1 tanA tanB 12 tanC5cos A+B +4cos A B =0cosAcosB=9sinAsinBtanA tanB=2tanA tanB= 0 A B ABCtanA 0 tanB 0A, B ABC=0 =39。

重庆市巴蜀中学2019_2020学年高一物理上学期期中试题含解析

由此可知刹车后第3s内的路程等于汽车停止前0.5s的路程，根据位移时间公式：，可得汽车第3s内走过的路程为：
A．0.5m。故A符合题意。
B．12.5m。故B不符合题意。
C．10m。故C不符合题意。
D．2m。故D不符合题意。
6.如图所示，两个小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点，现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为，已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量最小值是( )
D．以物体a与斜劈组成的整体为研究的对象，整体受到重力、地面的支持力、绳子对a的拉力、两根绳子对滑轮1的向下的压力以及地面的摩擦力的作用，其中是水平方向上系统受到的摩擦力与a受到的绳子在水平方向的分力是相等的，即：f′=Tcosα。由于将c向右移动少许，细线对a的拉力T变大，所以地面对斜劈的摩擦力增大，结合以上可知。故D正确。
D. 两个接触面之间有摩擦力则一定有弹力,且摩擦力方向一定与弹力方向垂直
【答案】AD
【解析】
【详解】A．重力在物体上的作用点，叫做物体的重心，汽车所装货物的多少和装载位置不同，重力的作用点就不一样。故A符合题意。
B．放在水平桌面上的书与桌面相互挤压，由于桌面的形变，桌面对书产生向上的支持力。故B不符合题意。
10.一个从地面上竖直上抛的物体,它两次经过一个较低点A的时间间隔是5s,两次经过个较高点B的时间间隔是3s,不计空气阻力,g=10m/s2,以下说法正确的是
A. 下落过程中从B到A过程中物体速度增加了10m/s
B.A、B之间的距离20m
C 下落过程中从B到A过程中物体速度增加了20m/s
D.A、B之间的距离10m
D．自由落体运动初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，加速度与质量无关。故D不符合题意。