向量与矩阵的范数

|| A ||2 ( A A) ( A )
T 2
(A ) (A )
2
ATA=A2
计算方法三⑤
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矩阵序列的收敛性
定义 设Rn×n中有矩阵序列{A(k)|A(k)=(aij(k))}， 若
lim aij
k
(k )
aij
i 1,2,...,n; j 1,2,...,n,
n
|| X || max | xi | =4
1 i n
n
k 1
x
i 1
n
2
i
21
|| X || p
p
| x |
i 1 i
p
1 4 2
p
p
p
注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中
|| X || lim || X ||p
p
计算方法三⑤
向量范数的连续性:
计算方法三⑤
几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T
（1）向量的1—范数：
n
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|| X ||1 | xi | | x1 | | x2 | ... | xn |
i 1
（2）向量的2—范数：
|| X ||2
x
i 1
n
2
i
x1 x2 ... xn
为矩阵A的从属于该向量范数的范数，或称 为矩阵A的算子，记为||A||。
计算方法三⑤
几种常用的矩阵范数
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常用的矩阵范数有A的1—范数、 A的2—范数、 A的 ∞—范数，可以证明下列定理: 列元素绝对值之
定理3.6
设A∈Rn×n，X∈Rn，则
和的最大值
TA的特 (λ 为 A || AX ||2 T (2) || A ||2 max max ( A A） ; 征值中绝对 n X R || X ||2 值最大者) || X || 0
k
X || 0
定理3.5 在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量 X的充要条件是对X的任意范数||· ||，有：
lim || X ( k ) X || 0
k
计算方法三⑤
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定理3.5 在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向 量X的充要条件是对X的任意范数||· ||，有：
n || AX || (3) || A || max max | aij | n 1i n X R || X || j 1 || X || 0
n || AX ||1 (1) || A ||1 max max | aij | n 1 j n X R || X || i 1 1 || X || 0
lim X
k
0 1
计算方法三⑤
பைடு நூலகம்
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注：显然有：
|| X || max | xi |
1 i n
lim X
k
(k )
X
lim X
k
(k )

(k )
X 0

由无穷范数的定义知： lim X
k (k )
X lim || X
计算方法三⑤
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•矩阵范数的性质：
（1）对任意A∈Rn×n,有||A||≥0，当且仅当A=0时， ||A||=0. （2）||λA||=|λ|||A||（λ为任意实数） （3）对于任意A、B ∈Rn×n ，恒有 ||A+B||||A||+||B||. （4）对于矩阵A ∈Rn×n，X ∈Rn ，恒有： ||AX|| ||A|| ||X||. （5）对于任意A、B ∈Rn×n 恒有 ||AB|| ||A|| ||B||
C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q
注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意 两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量 范数的等价性。 计算方法三⑤
向量序列的收敛问题
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定义：假定给定了Rn空间中的向量序列 X(1),X(2),...,X(k),...，简记为{X(k)}，其中 X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分 量xi(k)都存在极限xi，即
(又称为A的 列范数)
行元素绝 对值之和 的最大值
计算方法三⑤
(又称为A的行范数)
例：设A= 解：
11/35 1 2 3 4 求A的各种范数
||A||1=6，||A||∞=7
|| A ||2 15 221 5.46
10 14 A' A 14 20
lim xi xi (i 1,2,...,n)
k
(k )
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 {X(k)}的极限，或者说向量序列{X(k)}收敛 于向量X，记为
lim X
k
(k )
X 或 X
(k )
X (k )
计算方法三⑤
计算方法三⑤
x1 k k x2 X ………… x k n x1k x1 k x2 k x2 X x k x n n
lim || X
k
(k )
X || 0
二、矩阵范数：设A是nn 阶矩阵，A∈Rn×n X∈Rn， ||X||为Rn中的某范数，称
|| AX || max n || AX || ||A||= max n X R || X || 1 , X R || X || || X || 0
a12 a1n A 1 max ai j 列范数 1j n i1 n a22 a2n A max aij 行范数 1i n j1 T an2 ann A 2 λm a x( A A) AF

计算方法三⑤
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定义 设A∈Rn×n中，称||A-B||为A与B之间的 距离,其中||A||为Rn×n上的某种范数。 关于矩阵序列收敛的性质：
定理3.10 设A(0) ，A(1) ，...，A(k)，...为Rn×n上 的一个矩阵序列，矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A 的充要条件是存在A的某种范数||A||，使得：
k
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x1 x2 (k→∞)
xn
X
(k→∞)
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例：设
X
(k )
1 (k ) x k 1 k x (k ) 2 k 1
x2
(k )
解: 显然，当k→∞时，
x1
(k )
1 0 k
(k )
k 1 k 1
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 ,
计算方法三⑤
故有:
|λ | ≤|| A ||
所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||
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定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意 矩阵范数||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: ||A||2= ρ(A)
k k
k
k
a11
a21
a12
a22
A
k
a11 a12 a11 a12 a k a k a 22 21 21 a22
(k )
lim A
k
A lim A
k

(k )
A 0
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
计算方法三⑤
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例6. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
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3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一 确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 n (3)(三角不等式)对任意向量YR ，||X+Y||||X||+||Y|| 则称该实数||X||为向量X的范数
计算方法三⑤
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•谱半径：
( A ) [ ( A)]
m
1 i n
m
设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3……n),
则称 ρ(A)=MAX | i| 为矩阵A的谱半径.
谱半径=A的特征值中绝对值的最大者
6 0 4 A 3 5 0 例5.求矩阵 的谱半径 3 6 1
k (k )
lim || A
(k )
A || 0
(k )
即
lim A
k
A lim || A
k
m
A || 0
定理3.11
任意A∈Rn×n，有
lim Am 0 ( A) 1
计算方法三⑤
(证明略)
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三、方程组的性态和条件数
2
2
2
（3）向量的∞—范数： （4）向量的p—范数： ||
计算方法三⑤(1≤p≤∞)
|| X || max | xi |
1 i n
n
X || p
p
| x |
i 1 i
p
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例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数
X 1 xk =7 || X ||2
解: E A ( 1) ( 2)
2
(A) 2
计算方法三⑤
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矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ(A) ||A|| 定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范 数||A||，有： ρ(A)≤||A||
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX= λ X 两边取范数,得: || A X || = ||λ X || =|λ | || X ||
注： |λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
2 ——弗罗贝尼乌斯
A
F

a
j 1 i 1
n
n
ij
(Frobenius)范数 简称F范数
计算方法三⑤
|| A ||F 30 5.477
几种常用的矩阵范数：
n
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a11 a21 设 A a n1
则称矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A=(aij)，记为 (k ) lim A A
如
k
A
k
a11 a12 a k a k 22 21
k
k
a11 a21
a12 a22
计算方法三⑤
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A
则有
k
a11 a12 a k a k 22 21
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定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数,则f(X) 为X的分量x1,x2,…,xn的连续函数.
向量范数的等价性
定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则 存在C1，C2>0，使得对任意X∈Rn，都有： C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p （证明略） 注：同样有下列结论：存在C3,C4>0 使得：
a
j1 i1
n
n
2 ij
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数 计算方法三⑤
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Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)： (1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数.