正弦定理和余弦定理PPT讲稿

=
10 sin 105 sin 30
19
变式训练：
（1）在△ABC中，已知b= 3，A=45 ，B=60 ，求a。
解：∵
ab sin A sin B
∴
a
b sin A sin B
=
3 sin 45 = sin 60
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A=75 ，B=60 ，求b。
解：∵ C 1800 ( A B)= 180 (75 60) 45
正
abc
弦的比相等，即 sin A sin B sin C
能否用向量法来证明正弦定理？
c A
→
B 我们选择单位向量 j → 并让 j 与AC 垂直.
a
→
j
与 AB
AC
CB 的夹角分别为
90 A 90 90 C
b
C 即:
→
→
j · AB = j ·(AC+ CB)
ABcos(90 A ) AC cos90 CB cos(90 C)
即 abc
sin A sin B sin C
（四）定理的应用 已知两角和任意边，
求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。
解： ∵ b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b
=
c sin B sin C
（1）A为锐角
C
C
b
a
ba a
A
B
a=bsin A(一解） C
b
A bBs2inA<a B1 <b(两解）
a
A
B
a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解）
b
a
A
B
a>b(一解）
（五）总结提炼
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
ABcos(90 A ) AC cos90 CB cos(90 C)
B c · sinA =
a · sinC
c
a 同理:
a · sinB =
即 ac sin A sinC
即
a sin A
b sin B
b · sinA
A
b
C
→
abc sin A sin B sin C
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
又 csin B bsin C asin C csin A
∴
1
1
1
SABC 2 absin C 2 bcsin A 2 acsin B
例3、在△ABC中，已知 a=28，b=20， A=120º，求B（精确到1º）和c（保留 两个有效数字）。
C a
b 120
Aº
B
小结：2、已知两边和其中一边的对角 解三角形，有两解或一解。如图
∴ S= 1 AB AC sin A 3 2
余弦定理
千岛湖
C A
B
千岛湖
C
A
?
B
用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？
这是一个已知三角形两边a和 b,和两边的夹角C，求出第三边c
的问题.
角边角 角角边 边边角 边角边 边边边
正弦定理
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
c
C
a
已知三角形两边分别为a和b,
这两边的夹角为C，角C满足什么 条件时较易求出第三边c？
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。
1.1.1 正弦定理
基础练习题
(1)在ABC中，已知A 450, a 2,b 2,求B
B=300
(2)在ABC中，已知A 600, a 4,b 10 3 ,求B 3
又∵
bc sin B sinC
∴ b c sin B s in C
3 sin 60 3 2
sin 45
2
例2 用正弦定理证明三角形面积
A
c
SABC
1 2
absin C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
b
证明：∵
SABC
1 2
aha
B Da
C
而 ha AD C sin B
1
∴ SABC 2 ac sin B
解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程
二、外接三角形中
B
BAB' 90, C B'
sin C sin B' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a
O
C
b
B/
a b c 2R sin A sin B sin C
1、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
E
a
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A 得到 a b
sin A sin B
B
D
A
c
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
无解
（3）在△ABC中，B=30°，AB=2 3 ，AC=2，则
△ABC的面积是
解： 根据正弦定理，有
A
AB AC sinC sin B
BC
所以 sinC AB sin B 3
AC
2
C 则C有两解：
1)当C为锐角时，C=60°A=90°
∴ S= 1 AB AC sin A 2 3 2
2)当C为钝角时，C=120°A=30°
正弦定理和余弦定理课件
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量
角设备,不过河你可以测出它们之间的距离
吗?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
正正弦弦定定理理
1.1.1 正弦定理
2.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系? c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？
Ba
C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立
C
b a
D
Bc
A
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sinC
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角