第六章 第三节 基本不等式

第六章 第三节 基本不等式

题组一

利用基本不等式求最值

1.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋3

2＋y ＝1，则xy 的最小值为 ( )

A ．4

B ．43

C ．9

D ．16 解析：由32＋x ＋3

2＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .

∵x ，y 均为正实数，

∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，

可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D

2．(2009·天津高考)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1

b 的最小值为( )

A ．8

B ．4

C ．1 D.1

4

解析：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b . 即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.

此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．

答案：B

3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a

y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2 解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y

x ＋a

≥a ＋1＋2

a ·x y ·y

x

＝a ＋2 a ＋1， 当且仅当a ·x y ＝y

x 等号成立，

所以(a )2＋2a ＋1≥9，

即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C

4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋

1＋1(a >0且a ≠1)的图像恒过同一个定 点，则当1a ＋1

b 取最小值时，函数f (x )的解析式是__________________________．

解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图像恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋

b

a ＋a 2

b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入1

2a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：f (x )＝(22－2)x ＋

1＋1

5.)

A ．ab ≤12

B ．ab ≥12

C ．a 2＋b 2≥2

D ．a 2＋b 2≤3 解析：法一：由a ＋b 2≥ab 得ab ≤(a ＋b

2)2＝1，

又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.

法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A. 答案：C

6．设a 、b 是正实数， 以下不等式

①ab >2ab

a ＋b

；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；

④ab ＋2

ab >2恒成立的序号为 ( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab

a ＋

b .当且仅当a ＝b 时取

等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a

－2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2

ab ≥2 ab ·2

ab

＝2 2>2恒成立． 答案：D

7．已知a 、b 、c ∈R ＋

且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1

c

－1)≥8.

证明：∵a 、b 、c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1

c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc ＝

(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab

abc

＝8.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时取等号．

题组三

基本不等式的实际应用

8.1运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

解析：设仓库建在离车站d 千米处， 由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20

d ，

y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝4

5d ，

∴y 1＋y 2＝20d ＋4d

5

≥2

20d ·4d

5

＝8， 当且仅当20d ＝4d

5，即d ＝5时，费用之和最小．

答案：5

9．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水 处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为

400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有 墙的厚度忽略不计．

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；