第六章 第三节 基本不等式
基本不等式 课件
提示：可以．基本不等式强调a，b为正数，所以任意
值为正的数、字母、代数式都可作为公式中的a，b.如
1a＋1b 2
≥ 1a·1b，就是用1a代替a，1b代替b.
典例导悟
类型一 基本不等式成立的条件 [例1] 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)若x>0，则x＋1x≥2； (2)若x<0，则x＋1x≤－2； (3)若ab＝3，则a＋b≥2 3.
3．已知a，b∈R＋，则a＋1a≥2，ab＋ba≥2.
思考感悟
1．基本不等式“ “a>0，b>0”？
ab
≤
a＋b 2
”中为什么要限定
提示：(1)若a，b异号，显然 ab 无意义，故不等式不
成立．
(2)若a<0，b<0，显然
ab
>0，而
a＋b 2
<0，故不等式也
不成立．
(3)若a，b之一为零，则
ab
[证明] ∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－a a＝b＋a c＝ba＋ac≥2
bc a.
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
[点评] 比较式子的大小的方法： (1)作差法．(2)利用基本不等式．(3)利用函数的单调 性．(4)利用中间值．(5)赋值法．
类型三 利用基本不等式证明不等式 [例3] 设a，b，c均为实数． 求证：21a＋21b＋21c≥b＋1 c＋c＋1 a＋a＋1 b. [分析] 要证明的不等式的两边都是三项的和式，很 难直接合并，可以多次利用基本不等式将每两个数进行合 并，然后求和．
第三节 基本不等式
（ 2 ）若 x＜ 0 , 贝 U x +
l -x
< － - 2 （当且仅当x= — 1时取"=")
（3 )
0 若 ab > ，
贝 u b-a +
b -a
＞－
2
（当且仅当a= b时取"=")
(4)若a, bER , 则 ab �(a+) b 2 � 矿+ b2
2
2
✓z (5)若a, bER *,
则l —I —I
）
6
A. 3+✓22 4
B. 3+✓24 4
C. 3+✓22 6
【答案】A
【解答】解：因为 a>O, b> 满l足 a+= b,5
判、
—+ 2 1 =( —+ 2 1 )[a+ (—1)b ]
1 X — ,
a — bI a —1 b
4
✓ = 1— [3+-2( 1)b +a 修 — I( 3+2)2 ,
X
2y 4
X 16y
【答案】－ —1 4
变式1.
2
x
+y
2
+-1 +-1 =
2—7
求 — 15 - — 3 的最小值
Xy 4
X 4y
【答案】6
6.构造一元二次不等式
例1. 若正实数X, y满足2x+y+6=xy , 则 xy的最小值是＿．
【答案】18
y 【解答】解： 由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6?2J云 +6'
第六章 第三节 基本不等式
第六章
第三节
回顾教材·夯实基础
基本不等式
真题感悟·体验考场 课时规范练
典例剖析·突破考点
2.[考点二](2014· 高考福建卷)要制作一个容积为 4 m3， 高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元， 侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( C ) A．80 元 C．160 元 B．120 元 D．240 元
答案：(1)D (2)0
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考点一
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回顾教材·夯实基础 考点二
基本不等式
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典例剖析·突破考点
[模型解法] 破解此类题的关键点： (1)拼凑，以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代 数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变 形，注意做到等价变形． (2)找定值，根据变形后的等式找出定值，检验是否符合利用基 本不等式的条件，对于函数的最值问题，拆项、添项时应注意 函数定义域． (3)求最值，利用基本不等式求最值．
2 2(x－1)，即 x＝1＋ 时等号成立．所以 f(x)的最小值为 2 2＋ 2 2.故选 D.
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x2－1＋1 1 1 (2)因为 y＝ ＝x－1＋ ＝x＋1＋ －2，因为 x> x＋ 1 x＋1 x＋ 1 －1，所以 x＋1>0， 所以 y≥2 1－2＝0， 当且仅当 x＝0 时，等号成立．
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基本不等式
第三节 基本不等式
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一 基本不等式 ≤
+
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0
(2)等号成立的条件:当且仅当ຫໍສະໝຸດ a=b..
二 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥
(2) + ≥
(3)ab≤
(4)
2ab
2
(a,b∈R);
通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S(单位:m2).
(1)求 S 关于 x 的函数关系式;
(2)求 S 的最大值.
解析
【解析】(1)由题设,得 S=(x-8)
900
7200
-2 =-2x-
+916,x∈(8,450).
(2)因为 8<x<450,
时,等号成立.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
利用基本不等式求最值
1
1
【例 1】(1)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8 的最小值为 4
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+
-2
的值为
4
.
(x>2)的最小值为 6,则正数 m
.
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b 2 + 4的最
大值为
5
.
第六章第3讲基本不等式(教师)
第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a>0且b>0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。
基本不等式ppt课件
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
第六章 第三节 基本不等式
⑤不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．
A．0
B．1
C．2
D．3
8
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
解析：①当 x＜0 时，y≤－2，故①错误；②cos x 不可能为 2，所以等号 不可能成立，故②错误；③当 x＜0 且 y＜0 时，不等式xy＋yx≥2 也成立， 故③错误；④2 a不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab 对于 a，b∈R 都 成立，而a＋2 b≥ ab只有当 a≥0，b≥0 才成立，故⑤错误．
3
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
2．利用基本不等式求最值 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当___x_＝__y___时，x＋y 有最____小_____ 值是___2__p____(简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当__x_＝__y____时，xy 有最____大_____ 值是s42(简记：和定积最大)．
14
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
(2)y＝xx2－＋12＝（x2－2x＋1）x－＋1（2x－2）＋3
＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋3
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
3．(2021·济宁调研)若正数 x，y 满足1y＋3x＝1，则 x＋3y 的最小值为( C )
A．24
B．18
C．12
D．6
解析：由1y＋3x＝1 得 x＋3y＝(x＋3y)1y＋3x＝xy＋9xy＋6≥2 xy·9xy＋6＝12，
基本不等式课件
均值不等式的证明
均值不等式的证明可以通过数学归纳法、柯西不等式等方法 进行。
其中，利用柯西不等式进行证明的方法较为简洁明了，可以 通过构造向量并应用柯西不等式得出结论。
均值不等式的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明不等式 、求最值、解决方程等问题中都可以发挥作用。
在实际应用中，均值不等式也可以用于解决一些实际问题 ，例如在经济学中的收入分配、物理学中的能量均分等问 题中都可以应用均值不等式进行分析和求解。
一元二次不等式的解集
满足不等式的 $x$ 的取值范围。
3
一元二次不等式的图像
一元二次函数的图像在 $x$ 轴上方的部分或下方 的部分。
一元二次不等式的解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 4ac$，判断一元二次方程的根的 情况，从而确定不等式的解集。
配方法
通过配方将一元二次不等式转化为 完全平方的形式，然后利用平方根 的性质求解。
THANKS
感谢观看
05
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式的定义
对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有
$left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right) geq left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2$
基本不等式的重要性
01
02
03
数学基础
基本不等式是数学中的重 要内容，是后续学习不等 式解法、函数性质等的基 础。
实际应用
在实际问题中，经常需要 比较大小、求解最值等问 题，基本不等式是解决这 些问题的有效工具。
基本不等式
eg2.已知：ab 0,求证 b a 2，并指明等号 ab
成立条件
扩：1)去除条件ab>0
2)ab
0,求
b a
a b
的取值范围
可运用基本不等式求代数式的取值范围
Eg3.运用基本不等式证明：周长相等的矩 形中，正方形的面积最大
二.基本不等式的应用
1.证明不等式 eg1.求证：对于a, b, c R,有a2 b2 c2 ab
三等：利用基本不等式求最值要注意等号 取到的x的取值是否在定义域内
正数是前提，定值是基础，相等是保证， 三者缺一不可
eg2.求下列各式的最值
1）x>0,求x+ 1 的最小值 2x
2）x<0,求3x+
1 x
的最大值
3)a,b R,a b=1,求a+b的取值范围
4）x>4,求x+ 1 的最小值 x-4
eg3.1）x
R,求
x2
3x 2x
2
的取值范围
2）x
R,求
x x2
的取值范围 1
2）当x 3,求 2x2 的最小值 x3
练习：1）x ，1 ,求 x2 4x 1的最大值
x1 2）x 0,求 2x2 x 1的最小值
2x 1 3) x2 2 的最小值
x2 1
eg4.已知a,b R+ ,a b 1 1)求a b的最大值 2）求 1 1的最小值
eg2.修一个一边靠墙的矩形花园，栅栏长为12米 要使得场地面积最大，求矩形的边长
eg3.两个旅客从同一地点出发，沿同一方向走 到同一个目的地，旅客甲先用一半时间以速度 a行走，再用一半时间以速度b行走；旅客乙有 一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走 （a b)问哪个旅客先到达目的地？
基本不等式ppt课件
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
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设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
返回
考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
返回
(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
返回
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
第三节 基本不等式及其应用
第三节 基本不等式及其应用考试要求1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识排查·微点淘金]知识点1 基本不等式 不等式 成立的条件 等号成立的条件两个不等式的关系 重要不等式a 2＋b 2≥2ab a ，b ∈Ra ＝b在不等式a 2＋b 2≥2ab 中，若a ＞0，b ＞0，分别以a ，b 代替a ，b 可得a ＋b ≥2ab ，即ab ≤a ＋b2基本不等式ab ≤a ＋b2a ＞0，b ＞0a ＝b设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点2 利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 的和是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24(简记：和定积最大)．[微思考]1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示：不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x＋1x无最小值． 常用结论1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．几个重要的结论(1)a 2＋b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×)(2)(a ＋b )2≥4ab .(√)(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.(×) 2．(链接教材必修5 P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．(链接教材必修5 P 100A 组T 2)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：254．(忽视变量的范围)函数f (x )＝2x ＋3x ＋1(x <0)的最大值为 ．解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋3（－x ）＋1≤－26＋1.当且仅当－2x ＝3－x且x <0，即x ＝－62时等号成立．答案：1－2 65．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x ≥2时，x ＋4x ＋2的最小值为 ．解析：设x ＋2＝t ，则x ＋4x ＋2＝t ＋4t －2.又由x ≥2得t ≥4，而函数y ＝t ＋4t －2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t ＝4时，t ＋4t －2即x ＋4x ＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.答案：3一、综合探究点——利用基本不等式求最值(多向思维)[典例剖析]思维点1 通过配凑法求最值[例1] (1)若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：∵0<x <12，∴y ＝x 1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2， 即x ＝24时取等号， 则y ＝x1－4x 2的最大值为14.答案：C(2)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4解析：f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2＋1－1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 答案：A(3)已知x >54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为 ．解析：∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．答案：5通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．思维点2 常数代换法求最值[例2] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：4常数代换法求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 思维点3 消元法求最值[例3] [一题多解]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为 ． 解析：解法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 解法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时取等号．即x ＋3y 的最小值为6. 答案：6消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．[学会用活]1．(2021·泉州检测)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13B ．12C ．34D ．23解析：选B 因为0<x <1，所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．2．若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3＋2 2解析：选D 因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2m n ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D ．3．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233解析：选A 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号． 故x ＋2y 的最小值为223.二、应用探究点——基本不等式的实际应用(思维拓展)[典例剖析][例4] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ·10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0)．因为x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．答案：160 [拓展变式]1．[变条件]若本例中容器底面长不小于2.5 m ，则该容器的最低总造价是 元． 解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(x ≥2.5)，因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＞0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在[2，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝2.5 m 时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫2.5＋42.5＋80＝162(元)． 答案：1622．[变条件]若本例中容器底面长不大于1.5 m ，则该容器的最低总造价是 元(精确到十分位)．解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(0＜x ≤1.5)， 因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＜0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在(0，2]上单调递减，所以当x ＝1.5时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫1.5＋41.5＋80≈163.3(元)．答案：163.3有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[学会用活]4.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 解：如图，连接OC ．设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S . 则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值900 cm 2.所以，取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.三、综合探究点——基本不等式的创新交汇问题(思维创新)[典例剖析][例5] (1)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．2 2解析：由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0， 则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3. 答案：C(2)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．76B ．712C ．712＋33D ．76＋33解析：∵CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， ∴CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，∵P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， ∴x 3＋y4＝1(x >0，y >0)， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·⎝⎛⎭⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y4x时，等号成立，∴1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C ． 答案：C1．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后合理变形利用基本不等式求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．[学会用活]5．(2021·河南名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n的最小值为( )A ．4B ．9C ．23D ．32解析：选D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7， 即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号．限时规范训练基础夯实练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选B f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4.故选B ．2．(2021·钦州期末测试)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5D ．3解析：选C 因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.3．(2021·烟台期中测试)已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：选B ∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4， ∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8.当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋14y 的最小值为8.4．(2021·山东师大附中月考)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．100B ．81C ．36D ．9解析：选C 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以1x ＋9y≥21x ·9y，即1≥29xy，故xy ≥36，当且仅当⎩⎨⎧1x ＝9y，1x ＋9y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝18时等号成立，所以xy 的最小值为36.故选C ．5．对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2ab≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b 的上确界为－92.故选A ．6．已知a >0，b >0，且ab ＋2a ＋b ＝4，则a ＋b 的最小值是 ． 解析：∵ab ＋2a ＋b ＝4，a >0，b >0， ∴b ＝4－2a a ＋1＝6a ＋1－2，∴a ＋b ＝a ＋6a ＋1－2＝a ＋1＋6a ＋1－3≥26－3，当且仅当a ＝6－1时取得最小值， ∴a ＋b 的最小值是26－3. 答案：26－37．(2021·江西五市九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b＋3，因为a >0，b >0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立，即b 3a ＋3b的最小值为5.答案：58．设x ，y 为正数，若x ＋y 2＝1，则1x ＋2y 的最小值是 ，此时x ＝ ．解析：因为x ＋y 2＝1，x >0，y >0，所以1x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝2＋y 2x ＋2xy≥2＋2y 2x ·2xy＝4，当且仅当y 2x ＝2x y ，即x ＝12，y ＝1时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为4，此时x ＝12.答案：4 129．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 10．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1. (2)由(a －b )2≥4(ab )3得a 2＋b 2－2ab ≥4a 3b 3，不等式两边同除以a 2b 2，得1b 2＋1a 2－2ab ≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2，又ab ＋1ab≥2. 所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1.综合提升练11．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b，当且仅当a ＝b 时取等号， 则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件，故选A ．12．(2021·江西重点中学联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( )A ．14B ．12C ．22D ．1解析：选A 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14.13．(2021·安徽合肥二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推断正确的是( )①由图1和图2面积相等可得d ＝aba ＋b； ②由AE ≥AF 可得 a 2＋b 22≥a ＋b2； ③由AD ≥AE 可得a 2＋b 22≥21a ＋1b； ④由AD ≥AF 可得a 2＋b 2≥2ab . A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④D ．①③解析：选A 由题图1和题图2面积相等得ab ＝(a ＋b )d ，可得d ＝aba ＋b，①正确；由题意知题图3的面积为12ab ＝12a 2＋b 2·AF ，则AF ＝ab a 2＋b2，AD ＝12BC ＝12a 2＋b 2，设题图3中正方形的边长为x ，由三角形相似，得a －x x ＝x b －x ，解得x ＝aba ＋b ，则AE ＝2aba ＋b，可以化简判断②③④都正确，故选A ． 14．已知a >b >0，则a 2＋1b （a －b ）的最小值为 ．解析：由a >b >0，得a －b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24.∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：415．(2021·湖南岳阳模拟改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b的最小值为 ． 解析：∵a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，∴a ＋2b ＝4， ∴ab ＝12a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立， ∴ab 的最大值为2.∵1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14·⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝94， 当且仅当a ＝b ＝43时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为94. 答案：2 9416．(2021·吉林六校联考)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1.所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.创新应用练17.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：设隔墙的长度为x m ，总造价的函数为y 元，则隔墙造价为2x ·248＝496x ， 池底造价为200×80＝16 000， 四周围墙造价为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ·400＝800·⎝⎛⎭⎫x ＋200x .因此，总造价为y ＝496x ＋800⎝⎛⎭⎫x ＋200x ＋16 000(0<x <50)＝1296x ＋160 000x ＋ 16 000≥21296x ·160 000x＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.当1296x ＝160 000x ，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m ，宽为1009 m 时，总造价最低，最低为44 800元．。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
第六章 第三节 基本不等式
第三节 基本不等式
考点一 考点二
[基础梳理] 1．重要不等式 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件是 a>0，b>0 . (2)等号成立的条件是：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中a＋2 b称为正数a，b的算术平均数， ab称为正数a，b的几何平均数．
挖掘3 利用常值代换/ 互动探究
[例3] (1)(2020·西安模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x＋31y的最小值
是( )
A．2 B．2 2
C．4
D．2 3
解析：由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，lg 2x＋3y＝lg 2，
∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y)＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时等号成立.故选
C. 答案：C
(2)(2020·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且 A→C ＝4 A→D ，P为BD上一
点，向量A→P＝λA→B＋μA→C(λ＞0，μ＞0)，则4λ＋μ1的最小值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：由题意可知， A→P ＝λ A→B ＋4μ A→D ，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条
答案：D
3．(基础点：构造不等式的定值)已知x>1，则x＋x－4 1的最小值为________． 答案：5 4．(易错点：“1”的代换)若1a＋1b＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为__________． 答案：4
考点一 考点二
考点一 利用基本不等式求最值 教材剖析，必修5P100A组T1 (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ [解答] (1)两个数都是6，和最小为12. (2)两个数都是9，积最大为81.
基本不等式ppt课件
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
基本不等式 课件
1．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋
b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，
∴a(b2＋c2)≥2abc.
①
同理b(c2＋a2)≥2abc，
②
c(a2＋b2)≥2abc.
③
因为a、b、c不全相等，所以①②③式中至少有一个式
子不能取“＝”．
7.围建一个面积为360 m2的矩形场 地，要求矩形场地的一面利用 旧墙(利用旧墙需维修)，其他三 面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元 /m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．
≥
ab 成
立．两个不等式中等号成立的充要条件都是 a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤(a＋2 b)2； (4)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
[例 1] 已知 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝36x0 所以y＝225x＋36x02－360(x＞0)． (2)∵x>0， ∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440， 当且仅当225 x＝36x02时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费 用是10 440元．
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第六章 第三节 基本不等式题组一利用基本不等式求最值1.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为 ( )A ．4B ．43C ．9D ．16 解析：由32＋x ＋32＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D2．(2009·天津高考)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b . 即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．答案：B3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋yx ＋a≥a ＋1＋2a ·x y ·yx＝a ＋2 a ＋1， 当且仅当a ·x y ＝yx 等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图像恒过同一个定 点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是__________________________．解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图像恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋ba ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：f (x )＝(22－2)x ＋1＋15.)A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 解析：法一：由a ＋b 2≥ab 得ab ≤(a ＋b2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A. 答案：C6．设a 、b 是正实数， 以下不等式①ab >2aba ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2aba ＋b .当且仅当a ＝b 时取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a－2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab ≥2 ab ·2ab＝2 2>2恒成立． 答案：D7．已知a 、b 、c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.证明：∵a 、b 、c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．题组三基本不等式的实际应用8.1运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处， 由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．答案：59．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水 处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有 墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x (x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x≤16，∴818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)，由函数性质易知g (x )在[818，16]上是增函数，∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为818米时，总造价最低，为38 882元．(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，∴2010年的利润y ＝x ·[1.5×8＋16xx ]－(8＋16x )－m＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(元)(m ≥0)．(2)∵m ≥0，∴16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤29－8＝21， 当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3， y max ＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．10.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab|a |＋|b |的最大值为 ( )A.2 B ．1 C.24 D.22解析：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2＝2－b 2⇒a 2＋b 2＝2.根据基本不等式知 2ab |a |＋|b |≤ 2|a |·|b ||a |＋|b |≤ a 2＋b 22＝1. 即2ab|a |＋|b |的最大值为1. 答案：B11．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝by 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为( )A ．1 B.15 C ．2 D.13解析：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25.答案：B12．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：32。