数学分析第五章习题课

x(sin x)cos x ( 1 sin x lnsin x cos2 x ) .
x
sin x
例7 设 y x(sin x)cos x , 求 y .
另解 y (eln( x(sin x)cosx ) )
(eln( x(sin x)cosx ) ) (ln(x (sinx)cos x )) (eln( x(sin x)cosx ) ) (ln x cos x lnsin x) x (sinx)cos x ( 1 ( sin x) lnsin x
微分——关于自变量增量的线性函数.
2）几何意义：
导数——切线的斜率； 微分——切线纵坐标的增量。
2、 可导、可微、连续之间的关系：
可导可微 连续 有极限
f ( x) df ( x) , dx
df ( x) f ( x)dx .
3、 导数与微分的计算方法：
1）直接由定义计算； 2）导数与单侧导数的关系（求分段函数的导数）； 3）基本函数的导数（微分）公式、运算法则（四则运算法则、
复合函数的求导法则（一阶微分形式不变性） 、反函数的 求导法则）； 4）利用导数与微分的关系； 5）隐函数的求导法； 6）对数求导法； 7）参数方程的求导法； 8）乘积的高阶导数公式（莱布尼茨公式）。
4、 高阶导数与高阶微分：
y(n) [ f (n1)( x)] f (n)( x), d n y f (n)( x)dxn — — x是自变量。 一阶微分具有形式不变性：
例2 设 f (x) x(x 1)( x 2) (x 100) , 求 f (0) .
分析 因子太多，不宜用导数的乘法法则。
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim( x 1)( x 2) ( x 100) 100! x0
例3 设 y f (sin x) , 其中 f ( x) 二阶可导 , 求 d2 y .
解 y (ex2 ) f ( xe2 ) ex2 ( f ( xe2 )) [ex2 2x] f ( xe2 ) ex2 [ f ( xe2 ) e2 xe2 1]
2x ex2 f ( xe2 ) xe2 1 ex2 2 f ( xe2 ) . dy [2 x ex2 f ( xe2 ) xe21 ex22 f ( xe2 ) ]dx.
d y f ( x )d x . ——无论x为自变量还是中间
变量，此式都成立。
高阶微分不具有形式不变性。
d 2 y f ( x)dx2 f ( x)d 2 x — — x可以是自变量，也可以是中间变量。
d 2 y f ( x)dx2 — —仅当x是自变量时成立。
例1 设 y e x2 f ( xe2 ) , 其中 f ( x) 可导，求 dy .
x 0
bx
(a b) f ( x) .
例5
设
x 2t t
y
5t 2
4t
t
,
求
dy dx
t0 .
分析: 当 t 0时, t 的导数不存在,
当 t 0时 , dx 不存在(dy 不存在?) , 不能用公式求导.
dt
dt
解 x x(t)、y y(t) 在 t 0 连续，x(0) y(0) 0 ,
且 lim f ( x) ( lim f ( x))存在，
x x0
x x0
则f在x0有左(右)导数，且
f( x0 )
lim
x x0
f ( x).
f( x0 )
lim
x x0
f ( x).
推论3可用于求分段函数在分段点的导数。
例6 设 f ( x) x x( x 2) , 求 f ( x) .
例7 设 y x(sin x)cos x , 求 y .
解 ln y ln x (cos x)lnsin x ,
1 y 1 [sin x lnsin x cos x 1 cos x]
yx
sin x
y y( 1 sin x lnsin x cos2 x )
x
sin x
f(0)
lim
x0
f ( x)
lim (3x2
x0
4x)
0,
f(2)
lim
x2
f ( x)
lim (3x2
x2
4x)
4,
f(2)
lim
x2
f ( x)
lim (3x2
x2
4x)
4,
f ( x)在 x 2 处不可导.
3x2 4x , f ( x) 0 ,
3 x2 4 x ,
x 2或 x 0; x 0; 0 x2.
x 0
x
解 lim f ( x ax) f ( x bx)
x 0
x
lim [ f ( x ax) f ( x)] [ f ( x bx) f ( x)]
x 0
x
a lim f ( x ax) f ( x)
x 0
ax
b lim f ( x (bx)) f ( x)
解 dy f (sin x)cos xdx d 2 y [ f (sin x)cos x]dx2 [ f (sin x)cos2 x f (sin x)( sin x)]dx2 [ f (sin x)cos2 x f (sin x)sin x]dx2
例4 设 f ( x) 存在 , 求 lim f ( x ax) f ( x bx) .
第五章 习题课
一、主要内容
1、导数与微分的概念
1) 数学定义：
f ( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
当y A x o(x),则dy A x Adx.
导数——函数增量与自变量增量之比的极限；
dy dx
t 0
(
dy dx
x0 )
lim y x0 x
x 0 t 0
(5(t )2 4t t ) 0
lim
t 0 (2t t ) 0
|t | t sgn
t
lim
t[5
4 s gn(t
)]
o(1)O(1)
0.
t 0 2 sgn(t )
P122.推论3 （导数极限定理）
设f在x0的某个邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导，
解 先去掉绝对值 x2( x 2) ,
x 0;
f (x)
x2(x
2)
,
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0 x2;
x
2
(
x
2)
,
x 2,
显然f(x)处处连续。
3x2-4x ,
f ( x)
3
x
2
4x
,
3
x
2
-4
x
,
x 0; 0 x2;
x 2,
f(0)
lim
x0
f ( x)
lim (3x2
x0
4x)
0,
f (0) 0 ;