平行线地判定及性质

要点诠释：

（1）“同位角相等、错角相等”、“同旁角互补”都是平行线的性质的一部分容，切不可忽视前提“两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．

要点诠释：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”

（3）真命题与假命题：

真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移

1. 定义：在平面，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2. 性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线

例1．下列说确的是()

A．不相交的两条线段是平行线.

B．不相交的两条直线是平行线.

C．不相交的两条射线是平行线.

D．在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线.

【答案】D

例2．在同一平面，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3).

【变式1】下列说确的个数是()

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个 B .2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、两直线平行的判定

例3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；

（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有（）.

A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）（4）

【答案】C

【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

解法1：如图所示，在∠BCD的部作∠BCM＝25°，

在∠CDE的部作∠EDN＝10°．

∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，

∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．

∴AB∥CM，EF∥DN(错角相等，两直线平行)．

又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，

∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．

∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．

∴CM∥DN(错角相等，两直线平行)．

∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，

∴AB∥EF(平行线的传递性)．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．

∵∠B＝25°，

∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的角和等于180°)．

又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．

又∵∠E＝10°，

∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的角和等于180°)．

∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．

所以AB∥EF(错角相等，两直线平行)．

【变式3】已知，如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

解：AB∥CD，理由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠CDB＝180°．

∴AB∥CD(同旁角互补，两直线平行)．

【变式4】已知，如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∠1+∠2=180°，求证：CD//EF．

【答案】

证明：∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴AB∥CD．

又∵∠1+∠2=180°，

∴AB∥EF．

∴CD//EF．