四年级下册数学文化

四年级下册数学数学文化
用字母表示数的来历
由古希腊的字母代表是从古代开始的那时候古希腊的人研究科学的很多所以有了很多代表数的字母而且古希腊的字母很少和其他英语字母重复所以现在常用古希腊字母代表数字。

用英文字母代表数字也很常见，如用N代表自然数 N是英文“自然”的第一个字母，类似的还有用R代表实数 Q代表有理数Z代表整数。

还有一种字母代表数是未知数。

如x y z，他是由爱因斯坦创造来解决数学问题的现在在我们学习的数学中是一种解决问题的好方法。

还有一些数是固定的如圆周率这些是由国际规定的。

他们已经在我们的生活中根深蒂固。

实际上在我们人类历史中，表示数量的关系——开始用文字表示，谁是第一个用字母来表示数的呢?他就是法国数学家韦达。

16——17世纪，韦达想;如果把每个字母表示的特定意思都去掉的话，那不就是一个数和4相乘吗。

在此基础上，他把它们概括成了a×4.
韦达一生致力于对数学的研究，做出了很多重要贡献，他在西方，被称为代数学之父，自从韦达是用字母表示数后，引出大量数学发现，解决很多古代复杂问题。

自从那以后，现代数学获得飞速发展。

用字母表示数的发展
“用字母表示数”,这在今天学过代数的人看来乃是一件稀松平常的事情,当年,中国第一部符号代数教材《代数术》的翻译者李善兰(1811
~1882)和伟烈亚力(A.Wyie1805~1887)所创代数一词,正是取“用字母代替数”之义.但是,如果我们追溯代数学的历史就不能不感到惊讶:用字母表示数的历史竟是如此地漫长,美国数学家和数学史家M克莱因在批判“新数运动”时曾指出:“从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿之前,没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数”.本文对“用字母表示数”的历史作一考察,以供教学参考在代数学发展的早期,人们完全用文字来表达一个代数问题的解法,如莱因得纸草书(约公元前1650年)第31题“一个量,加上它的,它的1和它的,等于33求该量”{2其中的未知量直译出来是“一堆”,在象形文中用特殊的文字来表达有理由相信,当时已有“用字母表示未知数”的需求了。

古代两河流域的代数学也属于修辞代数大BM13901上载有七个一元二次方程问题其中第1题为:“将正方形面积与边长相加,和为,求边长.”解法如下“置系数1,半之,得;自乘,得.将与相加,得1:此为1的平方,从1中减去,得即为正
方形边长”第2题:“从正方形面积中减去边长,得870,求边长,”解法如下:“置系数1半之,得1;1自乘,得1.将1与870相加,得870;此为29的平方将295与相加得30即为正方形边长,”第7题为:“将正方形边长的7倍与面积的11倍相加,和为6,求边长”解法如下:“置7与1)将6乘以1,得82,取7的一半得号号自得12将12与相加得81;此为9的平方,从9中减去35,得55的倒数无法求出.那么,11必须乘以几方可得5?是,此即正方形边长”这里,我们用十进制数来代替原文中的60进制数由于不知道用字母表示数,数列“通项”概念在修辞代数里是根本不存在的,所有数列求和的结果都只能是针对具体的若干项、塞流斯时期(约公元前300年)泥版AO6484上载有1-10的平方和,结果是12+22+32+…+102 1x+10×2×55
古代希腊、阿拉伯、犹太数学文献中的数列求和公式都是如此在古希腊,毕达哥拉斯学派(公元前6世纪知研究了多边形数,该学派晚期数学家尼可麦丘约公元100年在(算术引论》中列出图
三角形数:13.61015212836455
正方形数1491625364941100
五边形数15127092117145
毕达哥拉斯学派的数学家能轻易说出一个具体的多边形数,却无法表达任一三角形数”“任一正方形数”、“任一五边形数”等的大小,更不能表达出“任意边形数”毕达哥拉斯学派将正整数分成奇数和偶数
又将偶数分为偶倍偶数、偶倍奇数和奇倍偶数三类尼可麦丘是这样定义三类偶数的3偶倍偶数:自身可二等分,而各部分也可二学教学等分,同样,所得各部分仍可二等分,直到不可再分的单位为止偶倍偶数依次为2,4,8,16,32偶倍奇数自身为偶数,可二等分,但各部分不可再等分,偶倍奇数依次为6,10,14,18,22二菲奇倍偶数:自身为偶数可二等分,而各部分也可二等分,有时,所得各部分仍可再等分,但不能分到单位.这些数包括:3×4,3×8,3×16,3×32,
5×4,5×8,5×16,5×32,
7×4,7×8,7×16,7×32,
若能用字母n表示正整数,则三类偶数分别为形如2”、2(2n+1)和
2(2n+1)(n≥2)的正整数目了然不会用字母表示数,尼可麦丘浪费了
多少笔墨啊《几何原本》中,欧几里得(公元前3世纪)用线段来表示数,线段的名称倒是用了两个字母,偶然也用一个字母,但他同样不会用字母来表达“任意多个”,不会用字母来表达奇数、偶数和其他数同卷命题21:“若将几个偶数相加,则其和为偶数,”其证明如下“设把几个偶数AB、BC、CD、DE相加则可证其和AE 为偶数因为,数AB、BC、CD、DE的每一个都是偶数,则他们都可被等分,这样,其
和AE也可二等分,但可以二等分的数为偶数,所以AE为偶数.”欧几里得只能用4个偶数来代替“几个偶数”;只能揪住偶数的原始定义反复使用,只能用
冗长的几何语言来表达简明的等式2k1+2k2+…+2kn=2(k1+k2+…+kn)
元3世纪,被誉为古希腊代数学鼻祖的丢番图( Diophantus)在其《算术》中首次用字母“”来表示未知数,这使得丢番图成为缩略代数最早的作者但丢番图并不知道用字母来表示任个数.《算术》第1卷第1题:“已知两数的和与差,求这两个数”丢番图的解法是:“假设和为100,差为40,较小数为x,则较大数为40+x,则2x+40=100,故得x=30.而较大数为70.”同卷第7题:“从同一个数中分别减去两个已知数,使两差数之比等于给定比”丢番图的解法是:“假设两个已知数分别为100和20,给定比为31,所求数为x,则2-20=3(x-100),故9-25得x=140.同卷第27题:“已知两数的和与积求这两个数”丢番图的解法是:“假设和为20积为96,2x为所求数之差,于是所求数为10+和10-x.故得100-x2=96,x=2,从而得所求两数分别为12和8.”这里,我们把丢番图的“改成了x.与古代巴比伦和埃及祭司、毕达哥拉斯、欧几里得、尼
可麦丘等相比,丢番图让代数学前进了一大步但由于不知道用字母来表示任意一个数,丢番图只能用特殊的数来代替题中的已知数,用特殊的比来代替题中的已知比。

字母表示任意数后,代数学告别了旧时代插上了新翅膀,在人类文明的天空自由地飞翔起来韦达之后,费马(P. de fermat,1601~1665)用字母来表示曲线的方程,大写元音字母表示变量,大写辅音字母表示常量;笛卡儿(R. Descantes,1596~1650)则采用了小写字母,并将字母表中靠前的字母(如a,b,c 等)表示已知数或常量,而靠后的字母(如x,3,2等)表示未知数或变量.正是站在韦达这位巨人的肩膀上,费马和笛卡儿成了解析几何的发明者。

为什么三角形最稳定？
1973年10月30日，举世闻名的连接
欧亚两洲的大桥——博斯普鲁斯海峡
大桥正式建成。

大桥长1560米，宽33米，桥面可以并
排行驶六辆汽车，正中有一道白线，白
线以东是亚洲，白线以西是欧洲。

大桥
没有桥墩，整个桥身就吊在两根钢索
上。

这么长的桥是怎么在承受巨大重
量的情况下，屹立在水面之上的呢？原来是三角形的功劳！
图形中就数三角形这个成员最稳定了，因此三角形的支撑结构被广泛运用于建金字塔埃菲尔铁塔
为什么三角形是最稳定的呢？它隐藏着怎样的奥秘呢？
三角形有以下一些简单的性质：
1.三个角之和等于180°；
2.任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.三个角都小于90°的三角形是锐角三角形，其中一个角是90°的是直角三角形，
其中一个角大于90°的是钝角三角形。

这三个性质能够帮助我们解决很多三角形的数学问题，大家要好好掌握。

结构稳定是基于几何图形的边长、内角来评定。

三角形三条边长一旦确定后，内角也确定了，是唯一的，是无法改变的。

通俗的说法是形状不能再改变了，因此称为稳定。

了解三角形的特性后，人们便将三角形广泛应用于生活中。

泰勒斯提出的bai三角形内角和定理du古希腊数学家欧几里德给予了证zhi明。

泰勒斯，古希腊时dao期的思想家、数学家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派——米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始人。

是史上第一位数学家。

希腊七贤之一，西方思想史上第一个有记载有名字留下来的思想家，被称为“科学和哲学之祖”。

泰勒斯是古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家。

泰勒斯的学生有阿那克西曼德、阿那克西美尼等。

欧几里得（希腊文：Ευκλειδης，公元前330年—公元前275年），古希腊数学家。

他活跃于托勒密一世（公元前364年－公元前283年）时期的亚历山大里亚，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的
基础，提出五大公式，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

三角形内角和的证明
三角形内角和十分悠久的历史古希腊七贤之一、哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）很可能已经知道这个定理公元3世纪初，古希腊哲学家的传记作者 DiogenesLaertius曾引用古希腊学者 Pamphile（公元1世纪）的话说：“他（泰勒斯）从埃及人那里学习几何知识，第一个作出圆内接直角三角形，并宰杀一头牛作为祭品。

”2由此可知，泰勒斯最早发现“半圆上的圆周角为
直角”这个定理。

但众所周知，该定理的证明需要用到三角形内角和定理：如图1，AB为半圆直径，C为圆上一点因∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，故
∠A+∠B+∠C=2∠ACB180°。

于是得∠ACB=90°那么，泰勒斯是如何知道三角形内角和的？公元6世纪，数学家欧多修斯（Eutocius）在关于阿波罗尼斯《论圆锥图1半圆上的周角为直角曲线》的评注中告诉我们，古希腊学者Geminus （公元前1世纪）如是说“古人针对各类三角形，对两直角定理作了研究，先是等边三角形，再是等腰三角形，最后是不等边三角形。

但后世几何学家证明了一般定理任意三角形三个内角和等于两直角。

”1-2这里的“古人”指的应
该就是泰勒斯和他的同代人，“两直角定理”就是三角形内角和定理英国数学史学家希思（T.L。

Heath，1861~1940年）曾作过这样的推测：如图2，泰勒斯作等边三角形或等腰三角形顶角的平分线，将正三角形或等腰三角形分成两个同样的直角三角形，将它们拼成矩形。

由于矩形的四个内角均为直角，故图2
直角三角形内角和等于相应矩形内角和之半个直角三角形的内角和等于两直角。

因此，原来的等边或等腰三角形的内角和等于四个直角减去两个直角，仍为两直角。

对于一般三角形，只要作底边上的高线，将三角形分成两个直角三角形，即得同样结论但上述方法中，不等边三角形的情形并不比等边三角形、等腰三角形情形难，泰勒斯似乎没有必要对每一种情形分别作出探究。

希思本人也觉得这种推测不太可能符合史实我们认为，泰勒斯是通过拼图方法发现三角形内角和定理的。

毕达哥拉斯学派已经知道，只有三种正多边形（正三角形、正方形和正六边形）能镶嵌整个平面。

可以推测，他们的前辈泰勒斯已经
利用正三角形拼图进行数学探究。

泰勒斯已经知道等腰三角形底角相等，因而知道等边三角形三个内角相等。

他先是发现将六个同样的正三角形顶点置于同一点，恰好填满该点周围区域因而六个内角之和等于四直角，三个内角之和等于二直角，将六个同样的等腰三角形的不同顶点置于同一点，其中的每一个顶点出现两次，结果也恰好填满该点周围区域，没有缝隙。

因而六个内角之和等于四直角，三个内角之和等于二直角。

最后，用三个同样的不等边三角形来拼图，发现同样的结论，美国数学史家和数学教育家史密斯（D.ESmith，
1860~1944年）认为，从等边三角形到等腰三角形，再到不等边三角形，这是三角形内角和定理的自然发现顺序。

美国数学史家和数学教育家M·克莱因（M。

Kline，1908~1992年）曾经指出：数学史是数学教学的指南。

上述历史顺序为我们今天的教学提供了重要借鉴Geminus所说的“后世几何学家”指的就是泰勒斯之后的毕达哥拉斯学派。

泰勒斯从拼图的实践中发现了三角形内角和，但这种发现完全是经验性的，实际上，他并未证明该定理，显然，毕达哥拉斯学派在泰勒斯的基础上发现了更多的几何定理，如：“两直线平行，内错角相等”及其逆定理。

知道了平行线的上述性质，再根据泰勒斯的拼图3~5，毕达哥拉斯证明内角和定理，已是水到渠成的事了。

过三角形ABC的顶点A作BC的平行线，利用两对内错角相等，即∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠1+∠2=180° 今天的教材即采用了这个方法。

帕斯卡与“三角形内角和”的故事
帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文
家。

1623年6月19日诞生于法国多姆山省克莱蒙费朗城。

帕斯卡没有受过正规的学校教育。

他4岁时母亲病故，由受过高等教育、担任政府官员的父亲和两个姐姐负责对他进行教育和培养。

他父亲是一位受人尊敬的数学家，但是他有个错误的认识，认为学习数学很伤身体，所以把家里所有的数学书都藏了起来，并且不允许他的朋友们在帕斯卡面前谈论数学。

他只让帕斯卡看很多古典文学书，希望他能好好学习文学。

父亲这一做法反而引起了帕斯卡对数学的兴趣。

他开始偷偷地研究数学。

有一天他问父亲，什么是几何，父亲很简单地回答说“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图”。

于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来。

画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180度，当他把这个发现告诉父亲时，父亲激动得泪如雨下，搬出了自己所有的数学书给帕斯卡看。

在其父精心地教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得几何，他自己独立地发现了欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正
确。

后来通过不断的自学探究，帕斯卡成了非常有成就的数学家、物理学家和哲学家。

当年12岁的帕斯卡好像自言自语，又好像是告诉父亲一件重大事情似地说：“三角形三个内角的总和是两个直角。

” 问题：帕斯卡怎么证明的呢？我们一起来看看：
长方形的四个角都是直角，长方形的四个角的和一定是定是360°。

把长方形沿对角线一分为二，就变成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360除以2等于180度。

任意一个直角三角形都可以看做是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180度
图形的密铺
密铺：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）；正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺
密铺的历史背景
1619年——数学家奇柏(J.Kepler)第一个利用正多边形铺嵌平面。

1891年——苏联物理学家弗德洛夫(E.S.Fedorov)发现了十七种不同的铺砌平面的对称图案。

1924年——数学家波利亚(Polya)和尼格利(Nigeli)重新发现这个事实。

最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C. Escher）与密铺。

M.C. Escher于1898年生于荷兰。

他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕伯拉宫（Alhambra）的建筑有很深刻的印象，这是一种十三世纪皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺上了种类繁多、美轮美奂的马赛克图案。

Escher 用数日复制了这些图案，并得到启发，创造了各种并不局限于几何图形的密铺图案，这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴，甚至是他凭空想像的物体。

他创造的艺术作品，结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人对数学产生另一种看法。

小数的产生
公元3世纪，也就是1600多年前，我国伟大的数学家刘徽就提出了小数。

最初，人们表示小数只是用文字，直到了13世纪，才有人用低一格，如8.23记做，左边的表示整数部分，右下方表示小数部分。

古代，还有人记小数是将小数部分的各个数字用圆圈圈起来，例如：1.5记做1⑤，这么一圈，就把整数部分和小数部分分开来了。

这种记法后来传到了中亚和欧洲。

公元1427年，中亚数学家阿尔．卡西又创造了新的小数记法，他是用将整数部分与小数部分分开的方法记小数，如3.14记做3 14。

到了16世纪，欧洲人才注意小数的作用。

在欧洲，当时有人这样记小数，如3.1415记做3⊙1①4④1①5⑤。

⊙可以看作整数部分的分界标志，圈里的数字表示的是数位的顺序，这种记法很有趣，但是很麻烦。

直到公元1592年，瑞士的数学家布尔基对小数的表示方法作了较大的改进，他用一个小圆圈将整数部分与小数部分分割开，例如：5。

24……数中的小圆圈实际起到了小数点的作用。

又过了一段时间，德国的数学家克拉维斯又用小黑点代替了小圆圈。

于是，小数的写法就成了我们现在的表示方法。

但是，用小数表示，在不同的国家也有不同的方法。

现在，小数点的写法有两种：一种是用“，”；一种是用小黑点“.”。

在德国、法国等国家常用“，”，写出的小数如3，42、7，51……,而英国和北欧的一些国家则和我国一样，用“.”表示小数点，如1.3、4.5……
小数点的由来
在很久以前，还没有出现小数点。

人们写小数的时候，如果是写小数部分，就将小数部分降一格写，略小于整数部分。

16世纪，德国数学家鲁道夫用一条竖线来隔开整数部分和小数部分。

17世纪，英国数学家耐普尔采用一个逗号“，”来作为整数部分和小数部分的分界点。

17世纪后期，印度数学家研究小数时，首先使用小圆点“.”来隔开整数部分和小数部分，直到这个时候，小数点才算真正诞生了。

祖冲之的小数计数单位
祖冲之（公元429年一公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。

南北朝时期人，汉族人，字文远。

生于未文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。

祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。

先世迁入江南，祖父掌管土木建筑，父亲学识渊博祖冲之从小接受家传的科学知识。

青年时进入华林学省，从事学术活动。

一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山县东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。

其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

在数学方面，他写了《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子益算学课本，可惜后来失传了。

《隋书·律历志》留下一小段关于圆周率（π）的记载，祖冲之算出π的真值在3.1415926（肭数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，成为当时世界上最先进的成就。

这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。

祖冲之还给出T的两个分数形
式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。

祖冲之还和儿子祖晅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。

在天文历法方面，租冲之创制了《大明历》，最早将岁差引进历法；采用了391年加144个闰月的新闰周；首次精密测出交点月日数（27.2123），回归年日数（365.2428）等数据，还发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法。

在机械学方面，他计制造过水碓磨、锏制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。

此外，他在音律、文学、考捂方面也有造诣，他精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》是历史上少有的博学多才的人物。

为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之小行星”
祖冲之通过艰苦的努力，他在世界数学史上第一次将圆周牽（冂）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间。

他提出约率22/7和密率355/113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它“祖牽”。

他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》，唐朝国学曾经将此书定为数学课本。

他编制的《大明历》，第一次将“岁差”引进历法。

提出在391年中设置144个闫月。

推算出一回归年的长度为
365.24281481日，误差只有50秒左右。

他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是位杰出的机械专家。

重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机誡多种。

此外，他对音乐也有研究。

著作有《释论语》、《释孝经》、《易义》、《老子义》、庄子义》及小说《述异记》等，均早已遗失。

平均数思想的产生背景
1.中国早期平均数“思想的产生背景早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想。

《周易》”谦“卦说”谦，君子以裒多益寡称物平施。

“王弼的注说”多者用谦以为裒，少者用谦以为益；随物而与，施不失平也。

“孔颍达的正义说”称此物之多少均平而施，物之先多者而得其施；物之先寡者而亦得其施也。

“宋代朱熹的注说”裒多益寡所以称物之宜而平其施损高增卑，以趣于平亦谦之意也。

“
概括《周易》谦卦以及王弼、孔颖达与朱熹等人的注解，可见”裒“指减少，”益“指增多。

”裒多益寡“就是指对研究对象的各个单位的数量减有余而补不足称物平施”就是指衡量事物要均等。

上述思想，为平均数的概念与作用奠定了基础
第一，平均数就是对研究对象的某数量标志的变量减有余而补不足所求得的一般水平；第二计算平均数的作用在于衡量事物要均等2.国外早期平均数“思想的产生背景从国外数学史来看，平均数的起源众说纷纭。

直到19世纪平均数才作为一种数据处理方法而出现和估算有密切关系
据说在古印度，有一个叫 Suparna的人需要估计一棵树上的果子数目。

他的做法是，先选择树根部的一条小枝，并对这条树枝上果子的数目进行估计，然后乘以树枝上所有枝丫的数目，最后他估计为2095个。

估计完后他经过一整夜的时间对树上的果子进行计数结果发现他估计的和真实数目很接近我们并不知道故事中的 Rtuparna是怎样选取小枝丫的但从最后结果看他显然选取一根“平均大小”的小枝。

这则例子直觉地使用算术平均数的抽样代表性、补偿性的特征。

尽管有的枝丫上的果子数多一点，有的枝丫上的果子数少一点但Rtuparna选取有不多不少果子的“平均枝”代表所有其他的枝丫，正好达到了估算的目的。