杭州绿城育华学校数学三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

杭州绿城育华学校数学三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）

∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO ＝60°，

∴∠BAO ＝30°，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，

∴∠ABE ＝

12∠ABO ＝30°，∠BAE ＝12

∠BAO ＝15°， ∴∠AEB ＝180°﹣∠ABE ﹣∠BAE ＝135°．

②∠AEB 的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB ＝180°﹣∠ABE ﹣∠BAE ＝180°﹣12∠ABO ﹣12∠BAO ＝180°﹣

12（∠ABO+∠BAO ）＝180°﹣12

×90°＝135°． （2）∠ABO 的度数为60°．理由如下：如图2， ∵∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，

∴∠OAE+∠OAF ＝

12

（∠BAO+∠GAO ）＝90°，即∠EAF ＝90°， 又∵∠BOA ＝90°，

∴∠GAO ＞90°，

①∵∠E ＝13

∠EAF ＝30°， ∠EOQ ＝45°，∠OAE+∠E ＝∠EOQ ＝45°，

∴∠OAE ＝15°，

∠OAE ＝12∠BAO ＝12（90﹣∠ABO ） ∴∠ABO ＝60°．

②∵∠F ＝3∠E ，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO ＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．

（1）如图l ，若AC

BD ，求证：AD BC ∥； （2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加

以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．

【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；

（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由

BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；

（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解．

【详解】

（1）∵AC BD ，

∴∠C+∠CBD=180°，

∵C D ∠=∠，

∴∠D+∠CBD=180°，

∴AD BC ∥；

（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下：

设CE 与BD 交点为G ，

∵∠CGB 是∆ADG 的外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE ，

∵BD BC ⊥，

∴∠CBD=90°，

∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵C D ∠=∠，

∴DAE ∠+2C ∠=90°；

（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，

∴∠AFD=180°-8x ，

∵DF BC ∥，

∴∠C=∠AFD=180°-8x ，

又∵DAE ∠+2C ∠=90°，

∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，

∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ，

又∵∠BAD=∠BAC ，

∴∠ABC=∠ABD=

12

∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．

3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠

（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；

（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？

（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.

【答案】（1）∠EAD=

12（∠C-∠B ），理由见解析； （2）∠EFD=

12（∠C-∠B ），理由见解析； （3）∠AFD=

12

（∠C-∠B ）成立，理由见解析. 【解析】

【分析】 （1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC ，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC 和∠DAC ；

（2）作AG BC ⊥于G 转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；