第21章-期权定价
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15
例：两期二项式模型
24.2 22
20
19.8
18 16.2
p erT d e0.120.25 0.9 0.6523
每一期时间为 3月
u d 1.1 0.9
执行价格=21, r=12%
16
D 24.2
22
3.2
B
A 20 1.2823
2.0257 18
19.8
E
0.0
C
0.0
16.2
点B的价值
F 0.0
= e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257
点C的价值为零
点 A 的价值 = e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0)
= 1.2823
17
三、布莱克-斯科尔斯期权定价
（一）看涨期权定价公式
第二十一章 期权定价
一、期权价值与决定因素
（一）内在价值与时间价值 内在价值- 立即执行期权所带来的收益。
看涨期权: 股票价格- 执行价格 看跌期权: 执行期权- 股票价格 时间价值- 期权实际价格与内在价值的差。
2
（二）看涨期权价值
图21.1 到期前看涨期权的价值
3
（三）看涨期权价值的决定因素
自然对数函数；股票的标准差。
18பைடு நூலகம்
例 21.1 布莱克-斯科尔斯定价
So = 100 r = 0.10
X = 95 T = 0.25 (一个季度)
= 0.50 (每年50%)
因此:
d1
ln
100 95
.5
.10 52 0.25
2
0.25
.43
d2 .43 .5 0.25 .18
19
见表 21.1 有股票价格、执行价格、股票价格波动 性、到期期限、利率、股息率
4
（四）看涨期权价值的限制
看涨期权的价值不能为负。期权的收益最差 是0，最好是为较高的正值。
看涨期权的价值不可能高于股票价格。 看涨期权的价值必须高于或等于杠杆化股票
头寸的收益。
下限= 修正的内在价值： C > S0 - PV (X) - PV (D) (D=股利，杠杆化股票头寸的构成和公式推导 见教材P465）
8
（六）看跌期权的提前执行
当其他条件相同时，美式看跌期权的价格高 于欧式看跌期权。
提前行权可能会有用，因为:
股票价值不可能跌到0以下。 一旦公司破产，由于货币的时间价值，立即执
行期权仍是最优选择。
9
二、二项式期权定价
120
10
100
C
90
0
股票价格
看涨期权价值 （设X = 110）
10
二项式期权定价的例子：
如果支付了股利怎么办？ 一种办法就是用调整股利后的股票价格来代
替股票价格，即用S0 - PV (股利)代替S0 。
22
（四）看跌期权定价
例 21.3 布莱克-斯科尔斯看跌期权定价
利用看跌-看涨期权平价定理可以得到： P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)] 使用例21.2 的数据: S = 100, r = .10, X = 95, σ = .5, T = .25 可以计算得出： $95e-10x.25(1-.5714)-$100(1-.6664) = $6.35
看涨期权的变动范围 H 股票价格的变动范围
Cu Cd uS0 dS0
14
补充：期权价格C的一般公式
C = [ pCu + (1 – p)Cd ]e–rT 可以看成是期权合约未来现金流的折现。
此处：
erT d p
ud
Cu 和Cd 根据基础股票到时候的价格Su（=uS0） 和Sd（=dS0）定。
20
（二）隐含波动率 在BS模型中，只有一个根据历史数据估计
的值，股票收益率的方差，即期权价格中隐 含的股票波动率水平。 这样使用布莱克-斯科尔斯公式与实际的期 权价格可能有差异。 估计隐含波动率与股票价格的实际波动率一 致吗？ 所以这也是一个难题。
21
（三）布莱克-斯科尔斯模型与股利
布莱克-斯科尔斯的看涨期权公式要求股票 不支付股利。
23
或直接使用看涨-看跌期权平价定理
P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So
使用例子中的数据：
P = 13.70 + 95 e -.10 X .25 - 100 P = $6.35
构建资产组合：
购买股票$100
借款 $81.82 (10% 的利率)
净支出$18.18
收益：
股票价值
90 120
偿还贷款
- 90 - 90
净收益
0 30
30
18.18
0 资产组合的收益正好 是看涨期权的3倍
11
18.18
30 3C
0
3C = $18.18 C = $6.06
30 0
12
构造一个无风险组合：
5
图21.2 看涨期权价值所处的可能范围
6
图21.3 看涨期权价值与股票现值 之间的函数关系
7
（五）看涨期权的提前执行
只要在股票到期日之前执行期权无法带来收益， 那么提前行使美式期权就毫无价值。
这样，美式期权与欧式期权是等价的。 看涨期权的价值随着股价上涨而增加。由于股
价可以无限制的上涨，对看涨期权而言，“活 着比死更有价值”。
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] / (T1/2) d2 = d1 - (T1/2)
而且：
Co = 当前的看涨期权价值；So = 当前的股票价格； N(d) = 标准正态分布小于d的概率；X = 执行价 格；e = 2.71828, 自然对数的底；r = 无风险利 率(与期权到期期限相同的安全资 产连续复利的 年收益率)；T = 期权到期时间，按年记；ln =
使用正态分布表或Excel中的NORMDIST 函数，我们可以得到N (0.43) = 0.6664 ， N (0.18) = 0.5714.
因此: Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = $13.70
构建资产组合——购买一股股票，出售三份 看涨期权 (X = 110)
资产组合是完全对冲的:
股票价格
90
120
看涨期权
0
-30
净收益
90
90
因此 100 - 3C = $81.82 或 C = $6.06
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对冲比率
在上例中, 对冲比率 = 1 股股票对3 份看涨 期权或 1/3.
通常, 对冲比率是:
例：两期二项式模型
24.2 22
20
19.8
18 16.2
p erT d e0.120.25 0.9 0.6523
每一期时间为 3月
u d 1.1 0.9
执行价格=21, r=12%
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D 24.2
22
3.2
B
A 20 1.2823
2.0257 18
19.8
E
0.0
C
0.0
16.2
点B的价值
F 0.0
= e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257
点C的价值为零
点 A 的价值 = e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0)
= 1.2823
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三、布莱克-斯科尔斯期权定价
（一）看涨期权定价公式
第二十一章 期权定价
一、期权价值与决定因素
（一）内在价值与时间价值 内在价值- 立即执行期权所带来的收益。
看涨期权: 股票价格- 执行价格 看跌期权: 执行期权- 股票价格 时间价值- 期权实际价格与内在价值的差。
2
（二）看涨期权价值
图21.1 到期前看涨期权的价值
3
（三）看涨期权价值的决定因素
自然对数函数；股票的标准差。
18பைடு நூலகம்
例 21.1 布莱克-斯科尔斯定价
So = 100 r = 0.10
X = 95 T = 0.25 (一个季度)
= 0.50 (每年50%)
因此:
d1
ln
100 95
.5
.10 52 0.25
2
0.25
.43
d2 .43 .5 0.25 .18
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见表 21.1 有股票价格、执行价格、股票价格波动 性、到期期限、利率、股息率
4
（四）看涨期权价值的限制
看涨期权的价值不能为负。期权的收益最差 是0，最好是为较高的正值。
看涨期权的价值不可能高于股票价格。 看涨期权的价值必须高于或等于杠杆化股票
头寸的收益。
下限= 修正的内在价值： C > S0 - PV (X) - PV (D) (D=股利，杠杆化股票头寸的构成和公式推导 见教材P465）
8
（六）看跌期权的提前执行
当其他条件相同时，美式看跌期权的价格高 于欧式看跌期权。
提前行权可能会有用，因为:
股票价值不可能跌到0以下。 一旦公司破产，由于货币的时间价值，立即执
行期权仍是最优选择。
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二、二项式期权定价
120
10
100
C
90
0
股票价格
看涨期权价值 （设X = 110）
10
二项式期权定价的例子：
如果支付了股利怎么办？ 一种办法就是用调整股利后的股票价格来代
替股票价格，即用S0 - PV (股利)代替S0 。
22
（四）看跌期权定价
例 21.3 布莱克-斯科尔斯看跌期权定价
利用看跌-看涨期权平价定理可以得到： P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)] 使用例21.2 的数据: S = 100, r = .10, X = 95, σ = .5, T = .25 可以计算得出： $95e-10x.25(1-.5714)-$100(1-.6664) = $6.35
看涨期权的变动范围 H 股票价格的变动范围
Cu Cd uS0 dS0
14
补充：期权价格C的一般公式
C = [ pCu + (1 – p)Cd ]e–rT 可以看成是期权合约未来现金流的折现。
此处：
erT d p
ud
Cu 和Cd 根据基础股票到时候的价格Su（=uS0） 和Sd（=dS0）定。
20
（二）隐含波动率 在BS模型中，只有一个根据历史数据估计
的值，股票收益率的方差，即期权价格中隐 含的股票波动率水平。 这样使用布莱克-斯科尔斯公式与实际的期 权价格可能有差异。 估计隐含波动率与股票价格的实际波动率一 致吗？ 所以这也是一个难题。
21
（三）布莱克-斯科尔斯模型与股利
布莱克-斯科尔斯的看涨期权公式要求股票 不支付股利。
23
或直接使用看涨-看跌期权平价定理
P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So
使用例子中的数据：
P = 13.70 + 95 e -.10 X .25 - 100 P = $6.35
构建资产组合：
购买股票$100
借款 $81.82 (10% 的利率)
净支出$18.18
收益：
股票价值
90 120
偿还贷款
- 90 - 90
净收益
0 30
30
18.18
0 资产组合的收益正好 是看涨期权的3倍
11
18.18
30 3C
0
3C = $18.18 C = $6.06
30 0
12
构造一个无风险组合：
5
图21.2 看涨期权价值所处的可能范围
6
图21.3 看涨期权价值与股票现值 之间的函数关系
7
（五）看涨期权的提前执行
只要在股票到期日之前执行期权无法带来收益， 那么提前行使美式期权就毫无价值。
这样，美式期权与欧式期权是等价的。 看涨期权的价值随着股价上涨而增加。由于股
价可以无限制的上涨，对看涨期权而言，“活 着比死更有价值”。
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] / (T1/2) d2 = d1 - (T1/2)
而且：
Co = 当前的看涨期权价值；So = 当前的股票价格； N(d) = 标准正态分布小于d的概率；X = 执行价 格；e = 2.71828, 自然对数的底；r = 无风险利 率(与期权到期期限相同的安全资 产连续复利的 年收益率)；T = 期权到期时间，按年记；ln =
使用正态分布表或Excel中的NORMDIST 函数，我们可以得到N (0.43) = 0.6664 ， N (0.18) = 0.5714.
因此: Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = $13.70
构建资产组合——购买一股股票，出售三份 看涨期权 (X = 110)
资产组合是完全对冲的:
股票价格
90
120
看涨期权
0
-30
净收益
90
90
因此 100 - 3C = $81.82 或 C = $6.06
13
对冲比率
在上例中, 对冲比率 = 1 股股票对3 份看涨 期权或 1/3.
通常, 对冲比率是: