高考数学高频考点专题复习之数列中公共项问题的研究与拓展

数列中公共项问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =___________.

变式1： 等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则 4s =_________.

变式2：已知{}n a 为等差数列，公差0≠d ，

{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、kn a 恰为等比数列，若11=k ，52=k ，173=k ，求n k .

变式3： 设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，21=a ，63=a ，若自然数 ,,,21k n n n 满足 <<<<

n n a a a a 是等比数列，则k n =_______. 13k +；提示：}{n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n =；∴2k n k a n = ,,,,131k

n n a a a a 是以2为首项，3为公比的等比数列，∴123k k n a +=，∴13k k n +=． 变式4：已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，

（1）若k=7，12a =

（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；

（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；

（2）若存在m>k,*

m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数. （研究子数列问题的根本着力点是算两次）

(1) 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列， 所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =，

112b a ==，32111122a b a d q b a a +====，所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；

① 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以

121(21)(22)2(21)(21)(21)221

n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈=1．

(2) 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ，

因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111

232a a d k q a a +-===. 因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==k a q a a m ， 又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+

=-+=k m a a d m a a m ， 所以3111234)5)(1(⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数. 拓展1：（1）是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列？

（2）是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列？

（3）设n a a a ,,,21 是各项不为零的)4(≥n n 项等差数列，且公差0≠d ，若将数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，所有数对⎪⎭

⎫ ⎝⎛

d a n 1,所组成的集合为_____ （4）（1）设12,,n a a a 是各项均不为零的等差数列(4)n ≥，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.

① 当4n =时，求1a d

的数值；②求n 的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数(4)n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,n b b b ，其

中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列

【解】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 （1）①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d =0

若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d =- 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d =