八年级数学《分式与分式方程》单元测试题解析

27．（ 10 分）某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需 要 40 天完成， 现在甲、 乙两个工程队共同做 20 天后， 由于甲工程队另有其他任务不再做
该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了
则原式＝ 5．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（ 6 分） A、 B 两地相距 200 千米，甲车从 A 地出发匀速开往 B 地，乙车同时从 B 地出发
匀速开往 A 地，两车相遇时距 A 地 80 千米．已知乙车每小时比甲车多行驶 30 千米，求甲、 乙两车的速度．
.
（3）（ 1+
）÷
，其中 x 满足 x2﹣ 2x﹣ 5＝ 0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解：原式＝
?
＝
?
＝ x（ x﹣ 2）＝ x2﹣ 2x，
由 x2﹣ 2x﹣ 5＝ 0，得到 x2﹣ 2x＝5，
由题意得： 2000
20
2700
，
x
0.9 x
解得： x=50，
经检验： x=50 是原方程的解，
答： 9 月份的销售单价为 50 元；
（ 2）∵ 9 月份的销售量为 2000÷ 50=40（件），
成本价为÷ 40=30（元 / 件），
∴ 10 月份获利为： （40+20）× 30=900（元）．
【答案】 (1) 50 元； (2) 900 元 .
解：首先把第一个分式进行化简， 计算括号内的式子， 然后把除法转化为乘法， 进行化简，
最后代入数值计算：原式
2
2
a ( a b)( a b )
=
÷
a( a b)
b 2ab
ab
a
a
=
a
?
a
2=
b
1
，当 a=2，b=﹣ 1 时，原式 =1．
ab
1
化简结果：
；值： 1.
ab
2
（2）先化简，再求值：
(
x － 1) ÷ x1
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ① 让最简公分母为 0 确定增根； ② 化分式方程为整式方程； ③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
0的
三、解答题： （本大题共 7 小题，共 57 分）
22．（ 4 分）计算：（
﹣ ）÷
．
【分析】 括号中两项利用同分母分式的减法法则计算， 得到结果．
）
a1 1a
A.
B.
a﹣ 1
C.
a
D. 1
【解析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
解：原式 =
，
=
，
=a﹣ 1
【答案】 B
【点评】本题考查同分母分式加减法的运算法则， 解题的关键是熟练运用分式的运算法则，
本题属于基础题型．
x2
3. 若分式
的值为 0，则 x 的值是（
）
x5
A. 2
）
3
5
A． a ＞ 3 b
B
． b≥ 3 a
C
．5a≥3b
5
5
D ． 5a=3b
【解析】 首先解关于 x 的方程 2 x a 3
值，
4x b ，可得 x 5
5a 3b
，又因方程的解不是负
2
所以 5a 3b 2
【答案】 C．
0 ，解得 5a≥ 3b
二、填空题 : （本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
A．﹣ 4
B
．﹣ 5
C
．﹣ 6
D
．﹣ 7
【解析】先求出 x=m+6，再根据解为正数列出关于 m的不等式 m+6＞0 及 m+6≠ 2，
求得 m的取值范围为 m＞﹣ 6 且 m≠﹣ 4，再得出可能的 m的值 -5 ．
【答案】 B
15．如果关于 x 的方程 2 x a
4x b
的解不是负值，那么
a 与 b 的关系是（
x
2x x2 1
1 ，其中
x＝2
【解析】 x － 1 先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把 x1
数值代入化简后的结果进行计算即可 .
解： (
x
－ 1) ÷ x2
2x
2
1
x1
x1
＝
x
x
x 1· 1
( x 1)( x ( x 1)2
1)
1
＝
x1
当 x＝ 2 时，原式＝
1
.
3
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键
1 a 2 的值 .
【答案】 7
19．计算： a 2
1=
．
a1 a1
a2 -1
【解析】原式 =
a1
a 1a 1 a1
a1
【答案】 a-1
20．若关于 x 的分式方程 x a 3 1无解，则 a =
．
x1 x
【解析】方程两边都乘 x（ x-1 ）得， x（ x-a ） -3 （ x-1 ） =x（ x-1 ），
( m 3)(m 3)
=1 m3
【答案】 D
12．分式 x 1 的分子分母都加 1，所得的分式 x 2 的值比 x 1 （
）
2x 1
2x
2x 1
A．减小了
B
．不变
C
．增大了
D
．不能确定
【解析】根据题意得：
x
2﹣ x
1x
=
2
2x
1
2x x 1
2x 2x 1
2x 2x 1
x2 ， 2x 2x 1
x2
当 x=2，即 x﹣ 2=0 时，
果每千克的价格为（
）
A． nx my 元 B ． mx ny 元 C ． m n 元 D ． 1 x y 元
xy
xy
xy
2m n
【解析】混合后的杂拌糖果的总价为（ mx+ny）元，总重量为（ x+y）千克，所以混合后的
杂拌糖果每千克的价格为 mx ny 元． xy
【答案】 B．
6．当 x＝ 2 时，下列分式中，值为零的是（
A. 1
B. 3
C.
3
D.
x1
【解析】根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．
x3 x1
2 x 3 2x 3
解：原式＝
x 1 ＝x 1
【答案】 C
【点评】 本题考查分式的运算法则， 解题的关键是熟练运用分式的运算法则， 本题属于基
础题型．
5. 每千克 m元的糖果 x 千克与每千克 n 元的糖果 y 千克混合成杂拌糖， 这样混合后的杂拌糖
八年级数学《分式与分式方程》单元测试题解析
一、选择题： （本大题共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分）
a
1．在
b， x 1，5
xa
，
b
中，是分式的有（
）
2
x
π ab
A． 1 个
B
．2 个
C
．3 个
D
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．4 个
【解析】根据分式定义可得
x 1 ， a b 是分式， x ab
【答案】 B．
2．化简 a 2 － 1 2a 的结果为（
解：原式
x
=
2 xx
1 =x﹣ 1．
x x2
【答案】 x﹣ 1
同时利用除法法则变形， 约分即可
23．（ 5 分）计算： 2a a1
(a
1)
a2 1 ． a2 2a 1
【解析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．
解：原式 = 2a 1 a 1a 1
( a 1)(a 1)
2a
(a 1)2
=
(a 1)(a 1)
整理得，（ a+2） x=3，
当整式方程无解时， a+2=0 即 a=-2 ，
当分式方程无解时：① x=0 时， a 无解，
② x=1 时， a=1，
所以 a=1 或-2 时，原方程无解．
【答案】 a-11 或 -2 ．
21. 当 m＝ 时，解分式方程
＝
会出现增根．
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为 未知数的值． 解：分式方程可化为： x﹣5＝﹣ m， 由分母可知，分式方程的增根是 3， 当 x＝ 3 时， 3﹣5＝﹣ m，解得 m＝ 2， 【答案】 2
11．计算 2m
1 的结果为： （
）
m2 9 m 3
A． 1 m3
B
．－ 1
m3
C
．－ 1
m3
D
．1
m3
【解析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
原式 = 2m
1
2m
1
m2 9 m 3 (m 3)( m 3) m 3
2m
=
m3
( m 3)(m 3) (m 3)( m 3)
=
m3
列出方程，
26．（ 10 分）某商店经销一种纪念品， 9 月份的销售额为 2000 元，为扩大销售， 10 月份该
商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加
20 件，销售额增加 700 元．
（1）求这种纪念品 9 月份的销售价格？
（2）若 9 月份销售这种纪念品获利 800 元，问 10 月份销售这种纪念品获利多少元？
B. 0
C. -2
D. -5
【解析】根据分式的值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0，得出混合组，求解得出 x 的
值. 解 : 根据题意得 ： x-2=0, 且 x+5≠0, 解得 x=2.
【答案】 A 【点评】 本题考查了分式的值为零的条件． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于
零．
4. 计算 2x 3 － 2x 的结果为（ ） x1 x1
【解析】 根据题意， 设出甲、 乙的速度， 然后根据题目中两车相遇时时间相同， 解方程即可． 解：设甲车的速度是 x 千米 / 时，乙车的速度为（ x+30）千米 / 时，
80 200 80 x x 30
解得， x=60， 经检验， x=60 是原方程的解 . 则 x+30=90， 即甲车的速度是 60 千米 / 时，乙车的速度是 90 千米 / 时．
16． 化简：
＝ x﹣ 1 ．
【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法，继而约分即可得．
解：原式＝（
﹣
）？
＝
?
＝
?
＝ x﹣ 1，
【答案】 x﹣ 1
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和
运算法则．
1
17．若分式
有意义，则 的取值范围是 _______________ .
a1 a1
2a
(a 1)2
a2 1
=
(a
1)(a 1)
(a 1)(a 1) = a2
．
1
a2
24．（ 12 分）先化简再求值： （ 1）
a2
b2 (a
ab
2ab b 2 ) ，其中 a=2， b=﹣ 1．
a
【解析】首先把第一个分式进行化简，计算括号内的式子，然后把除法转化为乘法，进行
化简，最后代入数值计算即可．
=0，此时分式的值不变；
2x 2 x 1
当 x 2 ＞ 0，即 0＜ x＜ 1 或 x＞ 2 时，分式的值增大了；
2x 2x 1
2
当 x 2 ＜ 0，即 x＜ 0 或 1 ＜ x＜ 2 时，分式的值减小了，
2x 2x 1
2
综上，所得分式的值与原式值的大小不能确定．
【答案】 D
13．若 ( a2 4 4
x
x
1
D.
－1
x1
=x 1
x
x ( x 1)(x 1)
=1 x1
【答案】 C
10． a÷ b× 1 ÷ c× 1 ÷ d× 1 等于（
）
b
c
d
A． a
B
．a
C
．a
D
b2c2 d 2
d
【解析】原式 = a 1 1 1 1 1 1 bbccd d
a b 2c 2d 2 ．
【答案】 B
．ab 2 c 2 d 2
【解析】（ 1）设这种纪念品 9 月份的销售单价为 x 元，则 10 月份的销售单价为 0.9x 元，
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（ 2）根据 9 月份的销量与成本价确定出 10 月份的利润即可．
解：（ 1）设这种纪念品 9 月份的销售单价为 x 元，则 10 月份的销售单价为 0.9x 元，
A．
x2
x2 3x
2
B ． 2x 4 x9
C
）
．1 x2
D ．x 2 x1
【解析】当 x=2 时， A 中的分子 x-2=0 ，但是分母 x2 3x 2 =0，此时分式无意义； B 中
2 x 4 =0； C中 1 永远不会等于 0； D中 x=-2 时，分式 x
x9
x2
x
【答案】 B．
7．下列分式是最简分式的是（
1 )w 2a
1，则 w=（
）
A. a 2(a 2) B. a 2(a 2) C. a 2(a 2) D.
a 2(a 2)
4
1
【解析】∵ a 2 4 2 a
4 a2a2
a2
2a
a 2a 2 a 2 a 2
1
，
a2
∴ w= a 2(a 2) .
【答案】 D
14．关于 x 的方式方程 2 x m 3 的解是正数，则 m可能是（ ） x2
x1
【解析】根据分式有意义的条件进行求解即可得
.
解：由题意得： x- 1≠0，
解得： x≠1，
【答案】 x≠１
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为
0 时分式有意义是解题的关键 .
1 18. 已知 a a
3 ，则 a 2
1 a 2 的值是
。
【解析】由题意可得，
(a
1)2 a
a2
1 a2
2
9 , 即可得到 a 2
）
2 =0． 1
A． m 1 1m
B ． xy y 3xy
C
．
x x2
y y2
D
． 61m
32m
【解析】因为 m 1 1m
m1 m1
1，所以 A 错误；因为 xy y
y( x 1)
x1
，
3xy
3xy
3x
所以 B 错误；因为
x x2
y y2
不能约分，是最简分式，所以
所以 D 错误；故选： C． 【答案】 C
C 正确；因为
61m 32m
61
，
32
8．若 y 3 ，则 x y 的值为（
）
x4
x
A． 1
B
．4
7
C
．5
4
y
【解析】∵
x
3
xy
，∴设 y=3k， x=4k ，∴
4
x
【答案】 D.
D
．7
4
4k 3k 7
；
4k 4
x1
1
9．计算
x
所得的正确结论是（
）
x
x
A. 1
B.1
C.
x1
2
【解析】原式
x
=
1
x
1