广东省佛山市2020届高三教学质量检测(二模)文科数学试题(附答案解析)
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2
请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．
22．(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲]
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
2 2
cos 2
t sin
t
(t
为参数
)
，以坐标原点
O
为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4 cos ．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 4 页 共 4 页
2019~2020 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B
A
D
C
C
B
C
D
D
C
B
A
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
圆大小相同，若正四棱锥 P ABCD 的高为 2 ，则球 O 的表面积为（ ）
A． 8π
B． 9π
C．12π
D．16π
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选 考题，考生根据要求作答．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 2 页 共 4 页
13． 1 15
14． 2
15． 10 2
16． 2,[ 2 4
7
,
5] 4
[
7 2
,
)
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为 c b 1，所以 c b 1，
在△ ABC 中，由余弦定理可得 cos C a2 b2 c2 25 b2 (b 1)2 1 ．
4.0 3.0
2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8 3.0
2.0 1.7 1.5
1.0 0.0
0.5
0.1 1.0 -0.4
0.0 -0.1 0.4
0.7
0.9
0.9
0.4
0.0
-1.0
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
下列结论中不正确的是（ ） A．2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B．2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C．2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D．2019 年 3 月份的居民消费20 个月销售单价的平均值定为今后的销售单价（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表），结合你对（1）的判断，当月产量为12 件时，预测当月的利润．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 3 页 共 4 页
19．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
；若关于 x 的不等式
．
三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分)
在△ ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 a 5 ， c b 1， cos C 1 ． 7
（1）求角 B 的大小； （2）若角 B 的平分线交 AC 于点 D ，求△ ABD 的面积．
x 5 7 9 11 y 200 298 431 609
13 5 7 -5
9 11 x
模型②： y 68x 160 ．
-10
其中模型①的残差（实际值 预报值）图如图所示：
-15
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方 -20
程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计了 20 个月的产品销售单价，得到频数分布表如下： 销售单价分组（万元） [75,85) [85,95) [95,105)
y2 b2
1(a
0,b 0) 上一点， O 为坐标原点， F1, F2 为曲线 C 左右焦点．若
OP OF2 ，且满足 tan PF2F1 3 ，则双曲线的离心率为
．
16 ． 已 知 函 数
f
(x)
x2 2x, x 0 x2 ax, x 0
的图像关于原点对称，则
a
f (bx 2) f ( 1) 在区间[1, 2] 上恒成立，则实数 b 的取值范围是 2
双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有（ ）
①双纽线经过原点 O ；
②双纽线 C 关于原点 O 中心对称；
③
a 2
y0
a 2
；
A．①②
④双纽线 C 上满足| PF1 || PF2 | 的点 P 有两个．
B．①②③
C．②③
D．②③④
12．已知正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的
C．{1, 2}
）
D．{1, 2,3}
A．1
B． 2
3．下列命题中假命题的是（ ）
A． x0 R, ln x0 0
C． x0 R,sin x0 x0
C． 3
D． 2
B． x (, 0), ex 0 D． x (0, ), 2x x2
4．等差数列an 中，其前 n 项和为 Sn ，满足 a3 a4 6 ， 2a5 9 ，则 S7 的值为（ ）
2ab
10b
7
解得 b 7 ，所以 c 8 ．
……………………………………………………………3 分
由余弦定理可得 cos B a2 c2 b2 25 64 49 1 ，
2ac
258 2
且△ ABC 中， B (0, π) ，所以 B π ． 3
……………………………………………………………5 分
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1）班，则高三（1）班包揽
冠亚军的概率为
．
14．数列 an 满足 anan1 1 0 ，若 a9 2 ，则 a1
．
15．已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
18．(本小题满分 12 分)
2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上 开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置 和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新 发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下
（1）证明： l / / AB ； （2）若平面 PAB 平面 PCD ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
P
A
D
B
C
21．(本小题满分12分)
已知函数 f (x) ax3 x ，其中 a R ． （1）当 a 0 时，求证：过原点 O 且与曲线 y f (x) 相切的直线有且只有一条； （2）当 x [0, π ) 时，不等式 f (x) tan x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
D． 2
8．已知点 A(3, 2) 在抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线上，过点 A 的直线与抛物线在第一象限相切于点
B ，记抛物线的焦点为 F ，则| BF | （ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．10
9．2019 年，全国各地区坚持稳重求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量
（2）由（1）知， ABD π ， cos A b2 c2 a2 49 64 25 11 ， sin A 5 3 ．
6
2bc
2 7 8 14
14
在△ ABD 中， sin ADB sin( A π ) sin Acos π cos Asin π 5 3 3 11 1 13 ．……9 分
10．已知 (0, π) ， (1 tan ) sin 2 2 ，则 sin （ ）
A． 3 10 10
B． 3 10 或1 10
C． 2 2
D． 2 或1 2
11．双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系 xOy
中，把到定点 F1(a, 0), F2 (a, 0) 距离之积等于 a2 (a 0) 的点的轨迹称为双纽线 C ．已知点 P(x0, y0 ) 是
6
6
6 14 2 14 2 14
由正弦定理可得
AB sin ADB
AD sin ABD
，即
8 13
AD 1
，所以
AD
56 ． 13
14 2
所以△
ABD
的面积
S
ABD
1 2
AD
AB sin
A
1 2
56 13
8 5 14
3 80 13
3 ．……………………………12 分
18．【解析】（1）模型②的残差数据如下表：
b
0) 的离心率为
2 ，且过点 (2,1) ． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过坐标原点 O 的直线与椭圆交于 M , N 两点，若椭圆上点 P ，满足| PM || PN | ，试证明：原
点 O 到直线 PM 的距离为定值．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， PA PC 3 ， PB PD 6 ， APB CPD 90 ，设平面 PAB 平面 PCD l ．
2
D． 5π 6
A． π 3
C． π 6
B． π 6
D． π 3
O
π
3
13π x 12
x y 0 7．变量 x, y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，若 z 2x y 的最大值为 2 ，则实数 m 等于（ ）
mx y 0
A． 2
B． 1
C．1
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 1 页 共 4 页
A． 35 2
B． 21
C． 49 2
D． 28
5．若非零向量 a, b 满足| b | 4 | a | ， (2a b) a ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． π 6
B． π 4
C． π 3
6．函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | π ) 的部分图像 2
y
如图所示，则 （ ）
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 3x} ， B {1,1, 2,3} ，则 A B （ ）
A．{1,1, 2}
B．{1, 2}
2．复数 z 满足 (z 2)(1 i) 3 i ，则| z | （
表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量 x 3 x 15（件）与相应的生产总成本 y （万元）的四组对
照数据．
x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近
似结果如下：
模型①： y x3 173 ； 3
残差
20 15 10 5 O
2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学(文科)
2020 年 4 月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为 57.8%．下图为
2019
年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=
本期数 去年同期数 去年同期数
100%
，
环比=
本期数 上期数 上期数
100%
）
2019年居民消费价格月度涨跌幅度
月度同比
月度环比
% 5.0
4.5 4.5 3.8
（1）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（2）设点
M
的极坐标为 (4, 0)
，射线
(0
π) 2
与 C1 的异于极点的交点为
A
，与 C2
的异于
极点的交点为 B ，若 AMB π ，求 tan 的值． 4
23．(本小题满分 10 分)[选修 4 5 :不等式选讲] 已知函数 f (x) 2 cos x a 1 a 5 , a R ． （1）若 f (0) 8 ，求实数 a 的取值范围； （2）证明：对 x R ， f (x) a 5 1 1 恒成立． a
请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．
22．(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲]
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
2 2
cos 2
t sin
t
(t
为参数
)
，以坐标原点
O
为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4 cos ．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 4 页 共 4 页
2019~2020 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B
A
D
C
C
B
C
D
D
C
B
A
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
圆大小相同，若正四棱锥 P ABCD 的高为 2 ，则球 O 的表面积为（ ）
A． 8π
B． 9π
C．12π
D．16π
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选 考题，考生根据要求作答．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 2 页 共 4 页
13． 1 15
14． 2
15． 10 2
16． 2,[ 2 4
7
,
5] 4
[
7 2
,
)
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为 c b 1，所以 c b 1，
在△ ABC 中，由余弦定理可得 cos C a2 b2 c2 25 b2 (b 1)2 1 ．
4.0 3.0
2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8 3.0
2.0 1.7 1.5
1.0 0.0
0.5
0.1 1.0 -0.4
0.0 -0.1 0.4
0.7
0.9
0.9
0.4
0.0
-1.0
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
下列结论中不正确的是（ ） A．2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B．2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C．2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D．2019 年 3 月份的居民消费20 个月销售单价的平均值定为今后的销售单价（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表），结合你对（1）的判断，当月产量为12 件时，预测当月的利润．
高三教学质量检测（二）文科数学试题 第 3 页 共 4 页
19．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
；若关于 x 的不等式
．
三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分)
在△ ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 a 5 ， c b 1， cos C 1 ． 7
（1）求角 B 的大小； （2）若角 B 的平分线交 AC 于点 D ，求△ ABD 的面积．
x 5 7 9 11 y 200 298 431 609
13 5 7 -5
9 11 x
模型②： y 68x 160 ．
-10
其中模型①的残差（实际值 预报值）图如图所示：
-15
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方 -20
程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计了 20 个月的产品销售单价，得到频数分布表如下： 销售单价分组（万元） [75,85) [85,95) [95,105)
y2 b2
1(a
0,b 0) 上一点， O 为坐标原点， F1, F2 为曲线 C 左右焦点．若
OP OF2 ，且满足 tan PF2F1 3 ，则双曲线的离心率为
．
16 ． 已 知 函 数
f
(x)
x2 2x, x 0 x2 ax, x 0
的图像关于原点对称，则
a
f (bx 2) f ( 1) 在区间[1, 2] 上恒成立，则实数 b 的取值范围是 2
双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有（ ）
①双纽线经过原点 O ；
②双纽线 C 关于原点 O 中心对称；
③
a 2
y0
a 2
；
A．①②
④双纽线 C 上满足| PF1 || PF2 | 的点 P 有两个．
B．①②③
C．②③
D．②③④
12．已知正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的
C．{1, 2}
）
D．{1, 2,3}
A．1
B． 2
3．下列命题中假命题的是（ ）
A． x0 R, ln x0 0
C． x0 R,sin x0 x0
C． 3
D． 2
B． x (, 0), ex 0 D． x (0, ), 2x x2
4．等差数列an 中，其前 n 项和为 Sn ，满足 a3 a4 6 ， 2a5 9 ，则 S7 的值为（ ）
2ab
10b
7
解得 b 7 ，所以 c 8 ．
……………………………………………………………3 分
由余弦定理可得 cos B a2 c2 b2 25 64 49 1 ，
2ac
258 2
且△ ABC 中， B (0, π) ，所以 B π ． 3
……………………………………………………………5 分
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1）班，则高三（1）班包揽
冠亚军的概率为
．
14．数列 an 满足 anan1 1 0 ，若 a9 2 ，则 a1
．
15．已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
18．(本小题满分 12 分)
2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上 开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置 和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新 发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下
（1）证明： l / / AB ； （2）若平面 PAB 平面 PCD ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
P
A
D
B
C
21．(本小题满分12分)
已知函数 f (x) ax3 x ，其中 a R ． （1）当 a 0 时，求证：过原点 O 且与曲线 y f (x) 相切的直线有且只有一条； （2）当 x [0, π ) 时，不等式 f (x) tan x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
D． 2
8．已知点 A(3, 2) 在抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线上，过点 A 的直线与抛物线在第一象限相切于点
B ，记抛物线的焦点为 F ，则| BF | （ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．10
9．2019 年，全国各地区坚持稳重求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量
（2）由（1）知， ABD π ， cos A b2 c2 a2 49 64 25 11 ， sin A 5 3 ．
6
2bc
2 7 8 14
14
在△ ABD 中， sin ADB sin( A π ) sin Acos π cos Asin π 5 3 3 11 1 13 ．……9 分
10．已知 (0, π) ， (1 tan ) sin 2 2 ，则 sin （ ）
A． 3 10 10
B． 3 10 或1 10
C． 2 2
D． 2 或1 2
11．双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系 xOy
中，把到定点 F1(a, 0), F2 (a, 0) 距离之积等于 a2 (a 0) 的点的轨迹称为双纽线 C ．已知点 P(x0, y0 ) 是
6
6
6 14 2 14 2 14
由正弦定理可得
AB sin ADB
AD sin ABD
，即
8 13
AD 1
，所以
AD
56 ． 13
14 2
所以△
ABD
的面积
S
ABD
1 2
AD
AB sin
A
1 2
56 13
8 5 14
3 80 13
3 ．……………………………12 分
18．【解析】（1）模型②的残差数据如下表：
b
0) 的离心率为
2 ，且过点 (2,1) ． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过坐标原点 O 的直线与椭圆交于 M , N 两点，若椭圆上点 P ，满足| PM || PN | ，试证明：原
点 O 到直线 PM 的距离为定值．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， PA PC 3 ， PB PD 6 ， APB CPD 90 ，设平面 PAB 平面 PCD l ．
2
D． 5π 6
A． π 3
C． π 6
B． π 6
D． π 3
O
π
3
13π x 12
x y 0 7．变量 x, y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，若 z 2x y 的最大值为 2 ，则实数 m 等于（ ）
mx y 0
A． 2
B． 1
C．1
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A． 35 2
B． 21
C． 49 2
D． 28
5．若非零向量 a, b 满足| b | 4 | a | ， (2a b) a ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． π 6
B． π 4
C． π 3
6．函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | π ) 的部分图像 2
y
如图所示，则 （ ）
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 3x} ， B {1,1, 2,3} ，则 A B （ ）
A．{1,1, 2}
B．{1, 2}
2．复数 z 满足 (z 2)(1 i) 3 i ，则| z | （
表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量 x 3 x 15（件）与相应的生产总成本 y （万元）的四组对
照数据．
x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近
似结果如下：
模型①： y x3 173 ； 3
残差
20 15 10 5 O
2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学(文科)
2020 年 4 月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为 57.8%．下图为
2019
年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=
本期数 去年同期数 去年同期数
100%
，
环比=
本期数 上期数 上期数
100%
）
2019年居民消费价格月度涨跌幅度
月度同比
月度环比
% 5.0
4.5 4.5 3.8
（1）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（2）设点
M
的极坐标为 (4, 0)
，射线
(0
π) 2
与 C1 的异于极点的交点为
A
，与 C2
的异于
极点的交点为 B ，若 AMB π ，求 tan 的值． 4
23．(本小题满分 10 分)[选修 4 5 :不等式选讲] 已知函数 f (x) 2 cos x a 1 a 5 , a R ． （1）若 f (0) 8 ，求实数 a 的取值范围； （2）证明：对 x R ， f (x) a 5 1 1 恒成立． a