凤凰新学案·高中数学 必修4(教师用书) 苏教版

第1课时任意角教学过程一、问题情境情境1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少?[3]情境2:在体操、跳水运动中,有“转体720°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角?[4]二、数学建构(一) 生成概念问题1 在初中,角的概念是如何定义的?(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)问题2 体操运动中的“转体720°”是如何形成的?(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)问题3 你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.问题4 既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢?(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角,进而得到正角、负角、零角的概念)通过讨论,结合下图(图1),给出正角、负角、零角的定义.(图1)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.(二) 理解概念1. 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩充了.① 角有正负之分(结合图2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动);② 角可以任意大;③ 还有零角.(图2)2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样.问题5 角的概念推广后,角的范围也就扩大了,那么,我们又该如何来研究角?为了便于研究,我们要将角放在直角坐标系中.建立直角坐标系的方法:角的顶点与原点重合,角的始边为x轴的正半轴.问题6 将角放入直角坐标系中研究后,角的终边会出现在哪些位置?我们该如何称呼它们?(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.(三) 巩固概念(1) 分别举几个第一、二、三、四象限角的例子.(2) 30°, 390°, -330°角分别是第几象限角?观察这些角,你有什么发现?(3) 终边相同的角有何特点?试写出与30°角终边相同的角的集合.[5]问题7 与α角终边相同的角的集合如何表示?S={β|β=k·360°+α, k∈Z}.注意以下问题:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.[6]三、数学运用【例1】写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在0°~360°的角写出来,并分别判断它们是第几象限角.(1) 460°; (2) -21°; (3) 963°14'[7].(见学生用书P1)[处理建议] 选例1的第一小题板书来示范解题的步骤,其他例题请几个学生板演,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳.[规范板书] 解(1) S={β|β=460°+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是(-1)×360°+460°=100°,它是第二象限角.(2) S={β|β=-21°+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是1×360°-21°=339°,它是第四象限角.(3) S={β|β=963°14'+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是(-2)×360°+963°14'=243°14',它是第三象限角.[题后反思] 只需将这些角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后根据角α选择一个适当的整数k值,使得k·360°+α在0°~360°的范围内则可.变式写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360°到720°间的角写出来:(1) -120°; (2) 640°.[处理建议] 先由学生讨论,然后让学生回答,互相更正,对出现的错误进行纠正讲解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.[答案] (1) S={β|β=k·360°-120°, k∈Z},分别令k=0, 1, 2得S中在-360°到720°间的角为-120°, 240°, 600°.(2) S={β|β=k·360°+640°, k∈Z},分别令k=-2, -1, 0得S中在-360°到720°间的角为-80°, 280°, 640°.是第几象限角.[8](见学生用书P2) 【例2】(教材第6页例2)已知α与240°角的终边相同,判断α2的表达式,然后将表达式中的k值具体化,取几个具体的值来发现结论.[处理建议] 引导学生先写出α2=k·180°+120° (k∈Z).[规范板书] 由α=k·360°+240° (k∈Z),可得α2若k 为偶数,设k=2n (n∈Z),则α2=n ·360°+120° (n∈Z), α2与120°角的终边相同,是第二象限角; 若k 为奇数,设k=2n+1 (n∈Z),则α2=n ·360°+300° (n∈Z), α2与300°角的终边相同,是第四象限角. 所以α2是第二或第四象限角.[题后反思] (1) 解题的关键在于将α2表示出来;(2) 在判断α2所在象限的过程中,蕴含着分类讨论的思想,要让学生充分领悟此方法;(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角β可以表示为β=k·180°+α (k∈Z),则β的终边与α的终边所在的直线重合.变式 若角β的终边落在x 轴上,则β的集合为 ;若角β的终边落在第一、三象限的角平分线上,则β的集合为 .(根据上述题后反思的结论可得到结果)[答案] {β|β=k·180°, k∈Z}; {β|β=k·180°+45°, k∈Z}(或{β|β=k·180°+225°, k∈Z})*【例3】 (教材第10页习题1.1第11题)如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).[9](例3)[处理建议] 此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点.[规范板书] 解 (1) 方法1:根据例2的变式可得{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}. 方法2:{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°, k∈Z}∪{α|k ·360°+225°≤α≤k ·360°+270°, k ∈Z } ={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}. (2) {α|k·360°-150°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}.[题后反思] (1)一个角按顺、逆时针旋转k ·360° (k∈Z)角后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺、逆时针旋转k ·360° (k∈Z)角后,所得“区间”仍与原区间重叠,因此,解决此类问题,我们可以首先在0°到360°范围内找出满足条件的角,然后在加上k ·360° (k∈Z)即可.(2) 此类问题要注意角的终边的大小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的.如第二小题表示为{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}或{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+210°, k∈Z}都是错误的解答.变式 若α是第四象限角,判断α2是第几象限角.[10][处理建议] 根据象限角的定义结合不等式的知识求解,最后来确定α2所在的象限. [规范板书] 因为α是第四象限角,所以k ·360°+270°<α<k·360°+360° (k∈Z), 故k ·180°+135°<α2<k ·180°+180° (k∈Z), 从而α2在第二或第四象限.[题后反思] 在学生领悟了分类讨论的思想后,在此基础之上可增讲八卦图的巧解法.四、 课堂练习1. 已知角α为-30°,将角α的终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为1050°.2. 钟表经过4小时,时针转了-120度.提示 钟表每12个小时,时针顺时针转一圈,即转了-360°,故4小时转过的角度为-360°12×4=-120°. 3. 设A={α|α=k·360°+45°, k∈Z}, B={α|α=k·360°+225°, k∈Z}, C={α|α=k·180°+45°, k∈Z},D={α|α=k·360°-135°, k∈Z}, E={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°, k∈Z},则相等的角集合为B=D, C=E. 提示 可通过分类讨论的方法或在直角坐标系中作出角用数形结合的方法来解决. 4. (教材第7页练习第7题)试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角: (1) -55°; (2) 1680°; (3) -1290°.解 (1) 与-55°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°-55°, k∈Z}, 当k=1时,取得最小正角305°;当k=0时,取得最大负角-55°. (2) 与1680°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°+1680°, k∈Z}, 当k=-4时,取得最小正角240°;当k=-5时,取得最大负角-120°. (3) 与-1290°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°-1290°, k∈Z}, 当k=4时,取得最小正角150°;当k=3时,取得最大负角-210°.五、 课堂小结1. 任意角、终边相同的角的概念.2. 与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α, k∈Z},这一结果表示角周而复始的变化规律,同时,它也是研究角之间关系的最为基础的知识.3. 本节课主要涉及了数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法.第2课时 弧 度 制教学过程一、 问题情境在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l 与α之间具有怎样的关系呢?二、 数学建构(一) 生成概念问题1 在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的? (回到学生的已有的知识体系中来解决此问题)问题2 在弧长公式中,角α是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫做什么制?(进一步引导学生复习旧的知识,达到温故而知新的目的)问题3 除了上面用“度”作为单位来度量角的角度制外,我们有没有其他的方式来度量角呢? (引入课题)通过学生自学,老师引导,得到1弧度角的定义、角的弧度与角的关系.长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.(二) 理解概念1. 用弧度表示角的大小时,只要不引起误解,可以省略单位.2. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.3. 1rad 与圆的半径的大小没有关系. (三) 巩固概念练习:(1) 圆的半径为r,圆弧长为2r, 3r, r 2的弧所对的圆心角分别是2、 3、 12. (2) 若圆的半径为r,圆心角α所对的圆弧长为2πr,则α的弧度数就是2π. 问题4 角度制与弧度制如何换算?(引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式)问题5 半径为r,圆心角为α的圆弧长是多少?此扇形的面积又是多少?(与角度制下的弧长及扇形面积公式相比较)说明:1. 在应用公式|α|=lr求圆心角时,要注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值.2. 应用弧度制后,弧长公式及扇形面积公式要比角度制中的公式要简单.问题6 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合是什么?它与实数集之间有怎样的对应关系?(进一步巩固弧度定义,从不同角度加深对弧度制的理解)三、数学运用【例1】(教材第8页例1)把下列各角从弧度化为度:(1) 3π5; (2) 3.5.[2](见学生用书P3)[处理建议] 让学生独立思考,给出解答,老师给出规范解答.[规范板书] 解(1) 3π5rad=3π5×180°π=108°;(2) 3.5rad=3.5×180°π≈200.54°.[题后反思] 若化为角度时不是整数,则要注意近似计算的准确性,此时有两种表达形式,一是表示为度的形式,一是表示为度分的形式,要注意度与分之间的转换关系:1°=60'.问题知道了将弧度化为角度,那么,又该如何将角度化为弧度?变式1 把下列各角从度化为弧度:(1) 75°; (2) 22°30'.[处理建议] 让学生进行板演,同时规范解题的格式.[规范板书] 解(1) 75°=75×π180=5π12;(2) 22°30'=22.5°=22.5×π180=π8 .[题后反思] (1) 将带“分”的角度化为弧度,首先要将“分”化为“度”,然后再用换算公式转化;(2) 用“弧度”为单位度量角,当弧度数用π来表示时,如无特殊要求,不必将π写成小数;(3) 一些特殊角的弧度数应该加强记忆.[3][处理建议] 要求学生一边填表,一边进行记忆.【例2】(教材第9页例3)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.[4](见学生用书P3) [处理建议] 扇形的周长包含2条半径和1条弧长,引导学生利用条件列出关于半径和弧长的二元一次方程组.[规范板书] 解设扇形的半径为r,弧长为l,则有{2r +l =8,l =2r,解得{r =2,l =4.故扇形的面积为S=12rl=4(cm 2).[题后反思] 熟练地掌握弧长公式及扇形的面积公式,同时,重视方程思想的应用.变式 一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求此扇形的最大面积.[5][处理建议] 根据弧长及扇形的面积公式,用r 表示出扇形面积S,转化为求有关函数的最值问题.求扇形面积的最值问题,常常将其转化成求函数特别是二次函数的最值问题,利用求函数最值的有关方法来求解,若含有参数,还应注意分类讨论.[规范板书] 解 设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r. 又S=12lr=12(20-2r)·r=-r 2+10r=-(r-5)2+25,当r=5时,S 有最大值25,此时l=20-2×5=10, α=l r=2(rad). 答:当r=5时扇形的面积取最大值,最大值为25cm 2. [题后反思] 注意消元思想的应用及二次函数最值的求解.*【例3】 将下列各角化为2k π+α(0≤α<2π, k∈Z)的形式,并判断其所在象限.(1) 193π; (2) -1485°.[处理建议] 师生共同分析,寻找解决问题的方法. [规范板书] 解 (1) 193π=613π=3×2π+π3,它是第一象限角. (2) 方法1:-1485°=-5×360°+315°=-5×2π+7π4,它是第四象限角; 方法2:-1485°=-1485×π180=-33π4=-5×2π+7π4,它是第四象限角. [题后反思] 将角度制表示为2k π+α (0≤α<2π k∈Z)的形式,有两种方法:一是先将角表示为k ·360°+α (0°≤α<360°, k∈Z)的形式,然后再转化为弧度的表达形式;二是先将角度化为弧度,然后再转化为2k π+α (0≤α<2π, k∈Z)的形式.四、 课堂练习1. π12rad=15°, -4π3rad=-240°, 735°=49π12rad, -1080°=-6πrad. 2. 若α=-3,则角α的终边在第三象限.3. (教材第10页练习第8题)已知半径为240mm 的圆上,有一段弧的长是500mm,求此弧所对的圆心角的弧度数.解 由|α|=l r得弧所对的圆心角的弧度数为500240=2512. 4. 用弧度制表示:(1) 终边在x 轴的正半轴上的角的集合; (2) 终边在y 轴上的角的集合; (3) 终边在直线y=x 上的角的集合; (4) 终边在坐标轴上的角的集合.解 (1) 终边在x 轴的正半轴上的角的集合S 1={β|β=2k π, k∈Z}; (2) 终边在y 轴上的角的集合 S 2=ββ=kπ+π2, k∈Z;(3) 终边在直线y=x 上的角的集合S 3=ββ=k π+π4, k∈Z;(4) 终边在坐标轴上的角的集合S 4=ββ=kπ2, k∈Z.五、 课堂小结1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.第3课时 任意角的三角函数(1)教学过程一、 问题情境引入教材的引言:用(r, α)与用坐标(x, y)均可表示圆周上点P,那么,这两种表示有什么内在联系?确切地说,用怎样的数学模型刻画(x, y)与(r, α)之间的关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题1 在前面的学习中,我们如何来研究角?(引导学生应用建立坐标系的方法来研究角,也是对前面的内容的复习) 问题2 在初中我们是如何研究锐角三角函数的?(复习锐角三角函数的定义,以便为研究任意角的三角函数定义打下基础) 问题3 我们能用建立坐标系的方法来研究锐角三角函数吗?(引导学生来沟通初中、高中两种研究方法的联系,为下面任意角的三角函数埋下伏笔)通过讨论,结合图1,在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P 的坐标是(x, y),它与原点的距离是r(r=√x 2+y 2>0).(图1)当α为锐角时,过P 作PM⊥x 轴,垂足为M.在Rt △OPM 中,sin α=y r , cos α=x r , tan α=y x. 问题4 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?(由特殊推广到一般,通过对比,让学生对知识进行类比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心) 通过讨论,结合图2,给出任意角的三角函数的定义.(图2)一般地,对任意角α,我们规定:(1) 比值y r叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y r; (2) 比值x r叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x r; (3) 比值y x叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x. (二) 理解概念1. 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上的角α的三角函数值不受终边上的点P 的位置的影响.2. 对于确定的角α,比值y r和x r都唯一确定,故正弦和余弦都是角α的函数.3. 当α=kπ+π2(k∈Z)时,角α的终边在y 轴上,故有x=0,这时tan α无意义,除此之外,对于确定的角α(α≠kπ+π2(k ∈Z)),比值yx也是唯一确定的,故正切也是角α的函数.4. sin α, cos α, tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为三角函数.问题5 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,那么,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢?(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)通过讨论,借助于三角函数的定义,抓住分母等于0时比值无意义这一关键,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为R, R,{α|α≠kπ+π2, k ∈Z}.问题6 根据三角函数的定义,我们得到了三个三角函数的定义域.通过前面的学习,我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在四个象限中,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响?这种影响表现在什么地方?(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)通过讨论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图3所示:(图3)进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法,如图4:(图4)三、 数学运用【例1】 (教材第14页例1)已知角α的终边经过点P(2, -3),求α的正弦、余弦、正切值.[3](见学生用书P5)[处理建议] 紧扣三角函数的定义.[规范板书] 解因为x=2, y=-3,所以r=√22+(-3)2=√13,所以sinα=yr =-3√13=-3√1313, cosα=xr=2√13=2√1313, tanα=yx=-32.[题后反思] 学会用定义来处理问题.变式已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα, cosα, tanα的值.[4][处理建议] 启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来.解在直线3x+4y=0上任取点P(4a, -3a) (a≠0),则r=√(4a)2+(-3a)2=5|a|.当a>0时,sinα=-3a5a =-35, cosα=4a5a=45, tanα=-3a4a=-34;当a<0时,sinα=-3a-5a =35, cosα=4a-5a=-45, tanα=-3a4a=-34.[题后反思] 运用任意角的三角函数的定义来求三角函数值时,先要判断终边的可能位置,然后在终边上任意取一点,也可取一特殊点,求出该点到原点的距离,再由定义来进一步求解.若有参数,还要注意对参数进行分类讨论.【例2】求下列各角的三角函数值:(1) 0; (2) π2; (3) 2π3.[5](见学生用书P6)[处理建议] 利用三角函数的定义求解,其中第(3)小题要引导学生在角的终边上找到适当的点,可以通过一些特殊的已知的三角函数值来找点的坐标,进而求出它的三角函数值.[规范板书] 解(1)∵ 当α=0时,x=r, y=0, ∴ sin0=0, cos0=1, tan0=0;(2) ∵ 当α=π2时,x=0, y=r, ∴ sinπ2=1, cosπ2=0, tanπ2不存在;(3) 在角2π3的终边上取点P(-1, √3),则r=√(-1)2+(√3)2=2,∴ sin2π3=√32, cos2π3=-12, tan2π3=-√3.[题后反思] 求已知角的三角函数值,关键在于在角的终边上找到一个点,在找点的坐标时,要根据初中所学的一些特殊的锐角的三角函数值来确定,然后再根据定义求三角函数值.[6]【例3】(教材第14页例2)确定下列三角函数值的符号:(1) cos7π12; (2) sin(-465°); (3) tan11π3.[7](见学生用书P6)[处理建议] 先确定角所在的象限,然后根据不同象限角的三角函数值的正、负进行判断.[规范板书] 解(1) ∵ 7π12是第二象限角,∴ cos7π12<0;(2) ∵ -465°=-2×360°+255°,即-465°是第三象限角,∴ sin(-465°)<0;(3) ∵ 11π3=2π+5π3,即11π3是第四象限角,∴ tan11π3<0.[题后反思] 正确地确定角所在的象限,是处理这类问题的关键.*【例4】若sinα<0且tanα>0,确定α是第几象限角.[8][处理建议] 让学生先回忆三角函数值在四个象限(包括在坐标轴上)的符号规律.[规范板书] ∵ sinα<0, ∴ α是第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上;又tanα>0, ∴ α是第一、三象限角.综上可得α是第三象限角.[题后反思] 本题的易错点在于由sinα<0得出α是第三、四象限角,而忽略掉它的终边还有可能在y轴的负半轴上,从而导致解题不完善.四、课堂练习1. 已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=1713.2. 若sinθcosθ<0,则角θ的终边在第二、四象限.3. (教材第15页练习第4题)设α是三角形的一个内角,在sinα,cosα, tanα, tanα2中可能取负值的是cosα, tanα.4. 已知角α的终边过点(3x-9, x+2),且cosα≤0, sinα>0,则x的取值范围是(-2, 3].提示由cosα≤0, sinα>0得{3x-9≤0,x+2>0,故-2<x≤3.五、课堂小结1. 任意角的三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号规律.2. 重视数形结合思想、类比思想在分析问题和解决问题中的作用.第4课时任意角的三角函数(2)教学过程一、问题情境在前面的学习中,我们知道,角α的三角函数值与角的终边上的点P(x, y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.二、数学建构(一) 生成概念问题1 在角α的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢?(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.问题2 在单位圆中,角α的正弦值、余弦值分别是多少?(引导学生得到sinα=y,cosα=x)问题3 x, y分别是角α的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)问题4 我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角α的余弦值、正弦值呢?(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)(图1)结合图1,进行如下思考:当角α的终边不在坐标轴上时,若x>0,则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.问题5 在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).(二) 理解概念1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的.2. 当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.问题6 引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应?通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sinα=MP, cosα=OM.我们把有向线段MP,OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.问题7 类似地,我们能引进正切线的概念吗?(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)由于tanα=yx ,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让yx=?1=?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).(图2)当角α终边在y轴的右侧时,在角α终边上取点T(1, y'),则tanα=y'1=y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角α终边在y轴的左侧时,在角α终边的反向延长线上取点T(1, y'),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角α的终边上,故有tanα=-y'-1=y'=AT.因此把有向线段AT叫做角α的正切线.[3]当角α终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.(图3)特殊情况:① 当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1;② 当角α的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.三、数学运用【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1) π3; (2) 5π6; (3) -2π3; (4) -13π6.[4](见学生用书P7)[处理建议] 可让学生参见教材P13图128的作法.[规范板书] 解(例1)图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.[题后反思] 作三角函数线分三步:①先画出单位圆,柱注点A(1, 0);②准确作出角α的终边,找到角α的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角α的终边(或角α的终边的反向延长线)于点T;③写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.【例2】比较下列各组三角函数值的大小:(1) sin35°, sin55°; (2) cos 3π5, cos 4π5; (3) tan1, tan2.[5](见学生用书P8) [处理建议] 引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小. 解 (1)sin35°<sin55°; (2) cos 3π5>cos 4π5; (3) tan1>tan2.[题后反思] 三角函数线是有方向的,与x 轴、y 轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.问题1 从例2中,我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间[0, 2π]上的单调性吗?问题2 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间(-π2,π2)上的单调性吗? 问题3 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗?(让学生自主探究,一方面是对例题的加深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)【例3】 利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合: (1) sin α=12; (2) cos α=√22; (3) tan α=√3.[6](见学生用书P8)[处理建议] 由学生作出相应的三角函数线,互相之间进行讨论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.(例3)[规范板书] 解 (1) 作出如图所示的图形,则根据图形可得α|α=2k π+π6或α=2k π+5π6, k∈Z;(2)α|α=2k π±π4, k∈Z(图略);(3) {α|α=kπ+π3, k ∈Z}(图略).[题后反思] 要提醒学生注意正弦线平行于y 轴或在y 轴上,而余弦线在x 轴上,这是此题的易错点. 变式 利用单位圆写出符合不等式cos α≥-12的角α的集合.[7] [处理建议] 引导学生正确作图.[规范板书] 解 作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角α的集合为α|2k π-2π3≤α≤2k π+2π3,k∈Z.(变式)。