矩阵与伴随矩阵的关系

方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系

摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程.

关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明

在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==⨯nn n n n n n

n ij a a a

a a a

a a a a A Λ

M M M ΛΛ2122212

12111.令()

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛==⨯nn n n n n n

n ij A A A

A A A A A A A A ΛM M M ΛΛ

212221212111*

,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*

A 为A 的伴随矩阵.

2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.

2.1*AA =A A *

=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A

A =

-,即1

*det -=AA A [1].

证明：因为⎩

⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn

in j i j i 若若Λ

⎩

⎨⎧≠==+++;,0,

,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j

i j i 若若Λ

所以*AA =A A *

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛A A A

det 000det 000det ΛM M

M ΛΛ=AI det .

当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得

⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭

⎫

⎝⎛*det 1=I 即

*1det 1

A A

A =

-.

证毕.

2.2 ()*

T A =()

T

A *.(显然)

2.3 若A 可逆，则()*

1-A

=()

1

*-A .(显然)

2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则

()

()()()⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*

[2]. 引理1.若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+.

证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;

若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤,因此有()()n B r A r ≤+.

证毕. 下面证明2.4.

⑴当()1-

A 为零阵,

所以()0*=A r .

⑵当()1-=n A r 时，0det =A ,*

AA =AI det =0.由引理1知,()A r +()n A r ≤*.

因为()1-=n A r 则()

()11*

=--≤n n A r ,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.

即 *A 至少有一行不全为零. 所以()

1*

≥A r .因为()1*≤A r ,从而()1*=A r .

⑶ 当()n A r =时，A 可逆，由1知，*

A 也可逆.所以()

n A r =*

.

证毕.

2.5 ()

1

*

det det -=n A A .

①

当A 可逆时，1

*det -=AA A .

所以()1*det det det -=A A A n

()

1

det -=n A .

②

当A 不可逆时，()1-≤n A r ，0det =A .

1)

当2≥n 时

()1-

()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()

0det det 1

*==-n A A

2)

当1=n 时，0det =A ,即0=A ，0det *=A ，则()

0det det 1

*

==-n A A .

证毕.

2.6 当A 可逆时,若0λ为A 的特征值,则0

det λA

是*A 的特征值.当()1

-

1

λ是1-A 的特征值.

证明:

若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n

,于是0=A ,这与A

可逆矛盾,所以00≠λ. 同时由00=-A E λ还有

()()10

1010011

110------=--=-=-=A E A E E A A E A n

n

n

λλλλλ.

因此

01

10

=--A E λ,即 0

1λ是1-A 的特征值.

引理证毕. 下面证明2.6.

不妨设*A 的特征值为*λ.则由AE AA det *=有

1

*

1

*

*

*

0---=-=-=A

E A

A

A

A E A E n

λλλ.0≠A ,这说明

A

*

λ是1-A 的特征

值.