数学与应用数学综合课程设计题目

2012级应用数学课程设计

课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，也是让学生学完本专业的基本课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学实践环节。通过课程设计，使学生经受一次综合运用所学知识，解决实际问题的方法的训练。培养学生理论联系实际和独立思考的能力，并激发学生的实际开发创造的意识和能力。使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式，并得出其求解结果，体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系，掌握建立数学模型的基本方法，从而体会数学模型应用的广泛适用性。通过课程设计，培养学生综合运用数学知识和方法及相关的专业知识解决各种实际问题的能力。

要求：

1、由班长负责将下列的课程设计问题分给应用数学专业的每个同学。

2、每班3人一组从下列12个问题中选1题（同一班级各组应选不同的问题）撰写小论文。

3、班长负责将论文及电子文档在第20周星期五（1月15日）下午四点前交数学系办公室。

问题1

在十字路口的交通管理中亮红灯之前要亮一段时间的黄灯这是为了让那些正行驶在十

字路口的人注意告诉他们红灯即将亮起假如你能够停住应当马上刹车以免冲红灯违反交通规则。黄灯时间的设定与该路口的汽车速度、司机的反应时间、汽车的制动距离、路口宽度、汽车长度等因素有关。假设某一路口宽度为40m，该路口限速标志为40km/h。

请研究下列问题:

（1）汽车的刹车距离由反应距离和制动距离组成，驾驶手册规定具有良好刹车性能的汽车在以80km/h的速率行驶时,可以在56m的距离内刹住;在以48km/h的速率行驶时可以在24m的距离被刹住。我们随机选择了该路口的几辆家用轿车做了一个刹车实验，当汽车速度为20km/h时，汽车的平均制动距离(从制动器开始制动到汽车完全停止的距离)为6.36m,利用这些信息和所学的知识建立汽车刹车距离与车速之关系的数学模型。

（2）建立数学模型分析该路口黄灯亮多久才比较合适？

问题2

运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：

级别最大体重（千克）抓举（千克）挺举（千克）总重量（千克）

1 54 132.5 155.0 287.5

2 59 137.5 170.0 307.5世界记录

3 6

4 147.

5 187.5 335.0

4 70 162.

5 195.0 357.5世界记录

5 7

6 167.5 200.0 367.5

6 83 180.0 212.5 392.5世界记录

7 91 187.5 213.0 402.5

8 99 185.0 235.0 420.0世界记录

9 108 195.0 235.0 430.0

10 超过108 197.5 260.0 457.5

1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。

2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。

3.假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。

问题3

长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

问题4

在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下：

step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。

Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。

Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。

如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。

问题:

1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。

2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。

问题5

某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在