齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

线性方程组解的结构（解法）
一、齐次线性方程组的解法
【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：
(1) ,,
,n r -12ξξξ线性无关;
(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,
,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.
称n r n r k k k --=++
+1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).
齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则
(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.
（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）
注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组
AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：
（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数
大于方程的个数就一定有非零解；
（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；
若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤
（1）−−
→A C 行
（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;
(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.
【例题1】 解线性方程组12
341
23412341
2
3
4
2350,320,4360,2470.
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨
+-+=⎪⎪-+-=⎩
解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵
12
472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠）
，不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：231531
2132704
13
6
1247
A --=
=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
注：此法仅对n 较小时方便
【例题2】 解线性方程组12
34512
3452
34512
3
4
5
0,3230,2260,54330.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨
+++=⎪⎪+++-=⎩
解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵
1
111
13
2113012265
4331A ⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
-⎣⎦14
12
(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→
11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
2123242
(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→
10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
13
4523
4
55,226.
x x x x x x x x =++⎧⎨
=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）
令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为
112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关
1112
111222221()00r
n r n rr
rn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−→⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
A b 行
其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知
1(1)0r d +≠时,原方程组无解.
1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.
其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解，
【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。

【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110
其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。

【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.
(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )? (2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )<n , r (A )= r (A |b ) ?
(3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n. (4)若AX =0有非零解,则A T
X=0也有非零解.
答:错,A 为m ⨯n , r (A )=m <n , r (A T
)=m , 这时A T
X=0只有零解. 例如A 为3⨯4, R (A )=3 <4, r (A T
)=3=m . (5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) .
(6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以r (A |b ) =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解
【例题4】 解线性方程组1231
231
2
3
21,224,44 2.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)1121112
1()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
)
)33231
1(224(3
r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为123
1,
2,0.x x x =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解）
【例题5】解线性方程组1231
231
2
3
21,22,2 4.
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.
⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解
【例题6】解线性方程组1
2341
2
413
4
23,231,2210 4.
x x x x x x x x
x x +-+=⎧⎪
+-=⎨⎪--+=⎩
解：1213(2)2111231112
3()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
2321221(1)10
1520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
13423
425,527.
x x x x x x =--+⎧⎨
=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）
令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
又原方程组的导出组的同解方程组为13423
45,27.
x x x x x x =-+⎧⎨
=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）
令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，
于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以，原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.
【例题7】 求线性方程组：1
2341
2341
2
3
4
21,
22,2 3.
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12
12
13(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
23
r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23
212(3)(2)(1)
r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 10
3340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
33331()
3123()
2
12
r r r r ⨯-⨯
⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
1
42
43
431,2
3,211.2x x x x x x ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
（其中4x 为自由未知量） 令40x =，可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
又原方程组的导出组的同解方程组为1
4243
43,2
3,21.2x x x x x x ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
（其中4x 为自由未知量）
令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=，
于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤
⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为 X k ηξ=+ （k R ∈）.
【例题8】求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++5
54931232362323354321543214
32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。

解：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----------→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------=421
5
00
421500
421500
31
2331515493111231203162312331A ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----→00000000000042150031
2331 因为52)()(<==A r A r ，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为542,,x x x ，
原方程组与方程组⎩
⎨⎧-=-+-=+-++4253
23354354321x x x x x x x x 同解
取自由未知量542,,x x x 为⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛000，得原方程组的一个特解： T ⎪⎭⎫
⎝⎛=0,0,54,0,530η
再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组⎩
⎨⎧=-+-=+-++0250
23354354321x x x x x x x x 同解
对自由未知量542,,x x x 分别取⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100,010,
001，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断
【例题9】已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。

证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可
知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可。

设存在数321,,k k k 使
0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立。

整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k （1）
已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，即得321,,ηηη线性无关，则由(1)得
⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关。

即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。

【例题10】已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，若
,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη。

讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系
解：首先，,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解，只须证,,,1234ηηηη线性无关.
由已知有：(,,,)(,,,)t t
t t
⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
123412341
00100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t t
t t
⇔
≠1001000100
01， 即t t t t
=10
0100
0100
01
t -≠041， 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系
【例题11】已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且r (A )=n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由r (A )=n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,
,,
,i i in a a a i n ++
+==1212， 即0i i in a a a ⋅+⋅++⋅=12111
T (,,
,),k ∴=111X （k 为任意常数）为所求通解.
【例题12】设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量,
证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t
当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=A (k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t ) =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =(k 1+k 2+…+k t )b
故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0
由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!
【例题13】已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数.
则=AX β的通解为（ ） 答案B
(A)().k k -+++
12
112122
ξξξηη (B)().k k ++-+
12
112122
ξξξηη
(C)().k k -+++
12
112122
ξηηηη (D)().k k ++-+
12
112122
ξηηηη
【例题14】设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量，且矩阵A 的秩为3，
()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη，求AX ＝b 的通解。

解：因为A 的秩为3，则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。

由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解， 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T
5,4,3,22132----=-+ηηη。

由此可得AX ＝b 的通解为：()()T
T
c 5,4,3,24,3,2,
1+。

【例题15】设A 是4阶方阵, β(≠0)是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,
且满足 122334232401,2,3030831⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ηηηηηη
试求方程组AX =β的通解.
解：先求AX =β的一个特解12112()02
4*
⎡⎤
⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
ηηη
再求AX =β的一个基础解系
112230112()(2)123
3⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ξηηηη，21234272()(3)015⎡⎤
⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
ξηηηη
因为124()2,
,R -=A ξξ线性无关，所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.
故方程组AX =β的通解是
1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 12,k k 为任意常数.
【例题16】设矩阵A ＝()
()s n ij n
m ij
b B a ⨯⨯=,。

证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =，其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =，
零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =⨯ 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,
s i O AB i i ==，即i B 是齐次方程组AX=0的解。

充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，
即有 ),,2,1(,
s i O AB i i ==
得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =，即证。