几何与代数

… … … …
0 0 … kn
y1 T y = y y2 … yn
实二次型 可逆线性变换
标准形
即寻求可逆的线性变换x = Py，使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y) 寻求可逆矩阵P，使得
k1 0 T P AP = = … AT = A 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn
i,j=1 n
A的二次型
f 的秩: r(A f))
f(x1, x2, …, xn) =
AT = A
i,j=1
aijxixj
n
aij源自文库= aji
f(x) = xTAx
f 的矩阵
a11 a21 A= … a n1
a12 a22 … a n2
… … … …
a1n a2n … ann
x=
x1 x2 … xn
1 即y = 0 0
1 0 0 0 0 即x = 0 1 1/3 y 1 1/3 x =Px 0 0 1 0 1
例3. 用配方法化 f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形，并求所用的可逆线性变换。 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
n元实二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn 设 aij = aji f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj = xTAx
i,j=1
n
一般形
x = Py
P可逆
x = Py P可逆
= k1y12 + k2y22 + … +knyn2 k1 0 = (y1, y2, …, yn) … 0
标准形
= (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y
0 k2 … 0
二. 化实二次型为标准形
1. 正交变换法 定理6.2 (主轴定理)： 对于任何一个n元实二次型 f = xTAx，都有正交变换x = Qy，使 f 化为标准形
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2
其中1, 2, …, n为A的n个特征值，Q的列向量是 对应特征值的n个标准正交特征向量。 实二次型
练习. 二次型 f(x) = 3x12+ax22+x32+4x2x3经正交变 换化为3y12+3y22+by32 ，求a、b及正交阵Q。
2. 配方法 例2. 用配方法化 f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形。
解: f =4x12+3x22+3x32+2x2x3
2 2 4 x12 3( x2 2 x x ) 3 x 3 3 2 3
1 6
1, 1,2 为极小值点
T
实二次型 可逆线性变换
标准形
用正交变换法化实二次型为标准形，无论在理 论上还是在实际应用中都是很重要的一种方法。 如果不要求给出变换，只想得到标准形，用正 交变换法特别方便。
如果要得到变换公式，利用这种方法计算起来 就比较繁，而且只适应于实二次型。 下面介绍更加简便，且对所有二次型都适用的 配方法。
= [x122x1(x2x3)+(x2x3)2](x2x3)23x226x2x3 = (x1x2+x3)2 4x22 4x2x3 x32
= (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22 1 1 1 其中y = 0 2 1 x 0 0 1
正交变换
正交变换 下标准形
标准形
实对称阵的正交相似对角化问题 •标准形不唯一，与特征值的顺序有关； •正交矩阵不唯一，与选取的正交特征向量有关。
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 3 1 2 解: f 的矩阵A = 1 3 2 , 2 2 0 |EA| = (+2) (4)2，1= 2，2=3= 4。 5 1 2 2EA = 1 5 2 2 2 2
初等 行变换
1 0 0
0 1/2 1 1/2 0 0
对应于 = 2的一个特征向量：1 = (1, 1, 2)T，
1 1 2 4E–A = 1 1 2 2 2 4
初等 行变换
1 1 2 0 0 0 0 0 0
对应于 = 4的一个特征向量：2 = (0, 2, 1)T， 1 1 2 再解线性方程组 0 2 1
f 在 yTy =1 时的最大值为4，
此时y=(0, 0, 1)T，x=Qy =
1 30
5,1,2 为极大值点
T
标准形f = 2y12 + 4y22 + 4y32 -2(y12 +y22 +y32) = -2 f 在 yTy =1 时的最大值为4， 此时y=(1, 0, 0)T，x=Qy =
x=
得对应于 = 4的另一个特征向量3 = (5, 1, 2)T， 0 5 30 1 6 单位化，得正交矩阵Q = 1 6 2 5 1 30 2 6 1 5 2 30 令x = Qy，得该二次型的标准形为
f = 2y12 + 4y22 + 4y32
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 求二次型在条件x12+x22+x32 = 1下的最大、最小值。 分析: x12+x22+x32 = xTx =yTQTQ y =yTy 当x12+x22+x32 = xTx = yTy = 1时，即y12+y22+y32 = 1 标准形f = 2y12 + 4y22 + 4y32 4(y12 +y22 +y32) = 4
4 x 3[( x2 x3 ) x ] 3 x
2 1 1 3 2 1 9 2 3
2 3
2 2 8 2 4 x1 3( x2 1 x ) 3 3 3 x3
y1 x1 2+3y 2+(8/3)y 2 则 f =4 y 1 2 3 1 令 y2 x 2 3 x 3 1y y 可逆线性变换为 x =P x 3 3