《原本》一书中勾股定理的证明

《原本》一书中勾股定理的证明

我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种。现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.

如下图，在Rt △ABC 各边上向外作正方形ABED ，BCG K ，CAFH .连结CD ，FB . 因为AF =AC ，AB =AD ，∠FAB =∠CAD =90°+∠CAB ，所以△FAB ≌△CAD ，作CL ∥AD .因为S △FAB =21

FA ·FH .(FH 为△FAB 的AF 边上的高).而S 正方形CAFH =FA ·FH .所以S 正方

形CAFH = 2S △FAB .

又因为S △CAD =

21AD ·DL (DL 为AD 边上的高)，而S 长方形ADLM =AD ·DL ，所以S 长方形ADLM = 2S △CAD ；

综上所述，可得S 正方形CAFH =S 长方形ADLM .

同理可证S 正方形BCGK =S 长方形BELM ，所以S 正方形ABED =S 长方形ADLM +S 长方形BELM =S 正方形CAFH + S 正方形BCGK ，即AB 2=AC 2+BC 2.

其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.