物体运动的相关速度

例9：如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同 样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A 的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个轴环
紧傍第一个轴环．
A
（线状交叉物系相关速度）
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环O1、 O2的交叉点A处的切线方向分解成v1、 v2两个分量:
v1
线状相交物系交叉点的速度
A
相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. C
vt vn v
vn
Oαvv2D1dBd v1d v2
v0
v2d
例1：如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半 柱体相切，半圆柱体的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求 杆的角速度ω及杆上与半圆柱体相切点C的速度．
A
考察绳、轴接触的切点B速度 轴上B点具有与轴心相同的平动速度v0与对轴 心的转动速度rω：
绳上B点沿绳方向速度v和与轴B点相同的法 向速度vn：
由于绳、轴点点相切，有
α
R r v0
O C
α
v v0 sin r
线轴沿水平面做纯滚动
v0 R
若线轴逆时针滚动，则
R
v0 Rsin r v
v0
r
R
3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角
都为直角时，顶点Ｂ2的速度vB2．
（杆约束相关速度）
分析顶点A2、A1的速度：
A0
B1 A1
B2
B3
A2 A3
v
2
2
v1 2 vA1
v2 2 vA2
顶点B2，既是A1B2杆上的点，又是A2B2杆
上的点，分别以A1、A2为基点，分析B2点
相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度vxcosθ的
合成， 即
v vBA vx cos
由上
vx
1
v
cos
例4：如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动， 带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其顶点．求
当∠AOP=α时，AB杆的速度．
（接触物系接触点相关速度）
物体运动的相关速度
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.
刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
：
B
α
C
vn
A
v
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心
O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C
点法向速度vn应是 ： vn v0 sin
vCnC
C
α v0 v
vn
r v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴
与水平面切点为基点，应有
v v0 Rr R
v0
R R
r
v
R sin
v
v O
B
rω
α vn v0
例6：如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速 度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的 内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
考察板、轴接触的切点C速度
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn,
且板vn上vn正 B是C C点关 R于coBt 轴2 的转动速度
1 cos v
Rr
D
R
例7：如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上 以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M 的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
来自百度文库
（线状交叉物系交叉点相关速度）
M B
φ
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解:
O
滑环速度即交叉点速度,方向沿圆圈切向;
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征
在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方
v2
v1
向的分速度.
v0 θ θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征：
沿接触面法向的分速度必定相同，
沿接触面切向的分速度在无相对滑
θ
动时相同.
φ
根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和，滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度: u
v u
sin
例8：如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转动，使套
在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm，曲杆的
角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度．
C
O
O
（线状交叉物系交叉点相关速度） 60°vMB
度v拉绳头时，物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物
体A 运动的速度是多大？
D
v
（绳约束相关速度）
绳BD段上各点有与绳端D相同 的沿绳BD段方向的分速度v；
B A
vx
C
设A右移速度为vx，即相对于A，绳上B点是以速度vx从动滑
轮中抽出的，即 vBA vx
引入中介参照系-物A ，在沿绳BD方向上，绳上B点速度v是其
（杆约束相关速度） B
对杆切点C,由于半圆静止,C
点速度必沿杆
杆A点速度必沿水平
以C为基点分解v:
C R
θ
v2 θ
A
v
由杆约束相关关系: vc v1 v cos
v2是A点对C点的转动速度,故 v sin R cot
v sin2 R cos
例2：如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为
速度：
由图示知
A1
2
2
v1v2
B2
v1
v1
vA1 A2
vB2 vA2
2 2
vB2 2 vA1 2 vA2
由几何关系
v A1
v 2 , vA2
5v 6
17 vB2 6
例3：如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D
为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速
由于刚性曲杆OBC以O为轴转动，
30°
故BC上与OA直杆交叉点M的速 度方向垂直于转动半径OM、大
B B
M
vMAAC A
vBCM
小是:
vBCM
OB
cos
10cm/s
根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA方向的分量即为
小环速度，故将vBCM沿MA、MB方向分解成两个分速度:
小环M的速度即为 vM vBCM cot 30o 10 3 cm/s
根据接触物系触点速度相关特征， 两者沿接触面法向的分速度相同， 即
vA cos v0 sin
vA v0 tan
B
vA
α PA α O
α
v0
v0
例5：如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上，
以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心O的
运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做无滑动 的滚动．