大一上学期高等数学测试习题及答案
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大一上学期高等数学测试及答案
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 函数
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0,
+∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
2. 设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 3. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ） （A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<' (C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-
4.
,1cos sin 2
2
2
4dx x
x
x M ⎰-
+=
π
π
⎰-
+=2
24
3
)cos (sin π
πdx x x N ⎰--=
2
2
4
32)cos sin (π
π
dx x x x P 则
（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设
=->)1arctan (12
x x d x （ ） 2. 设
⎰
+=,
sin )(c x dx x f 则
⎰
=
dx x f
n )()
(（ ）
3. 直线方程
p z n y m x +-==--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4.
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛=+∞
→∑2
12lim
n i n
i x e n i （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算
⎪⎭⎫ ⎝⎛-→2201s i n 1
l i m x x x
2. 设
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '
3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图
所示，给出
)(x f
)(x f y =的拐点。
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分
⎰-+x dx
x x 2)
12(
2. 计算定积分
⎰e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线
43
5221:
3
121:
21-=-=--==z y x l z y x l ,求过直线l 1且平行于直线
l 2的平面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π581
，确定
抛物线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设
)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。
2.
⎰≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
（1） 求)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
解答：
一、单项选择题 B D B C .
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ⎰=dx x f n )()
(⎰++=+c
n x dx n x )2sin()2cos(π
π. 7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '.
解： 当
x x x x f x 1
sin 1cos
2)(,0+='>；当1)(,0=' 2001 cos 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-∆→+∆→-∆-∆-∆=====∆∆ 故f (x )在x =0处不可导。 ()⎪⎩⎪ ⎨⎧<>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数 ()f x '的图形如图.给出()f x 的极大值点、极小值点以及曲线()y f x =的拐 点.