《平面向量基本定理》PPT课件

e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
h
4
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
这一平面内所有向量的一组基底。
h
5
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
特别的，若a与 e（1 e 2）共线，则有
2=0（ 1 =0），使得:
a = 1e 1 + 2e 2 .
h
Байду номын сангаас
8
例1：
已知向量 e 1 、e 2 求做向量-2.5 e 1+3 e 2
C
B
e2
e 12.5e1
A
h
3e2
·O
9
例2
且 如A图 B所 a 示 A，D， b， 平用 aA行 、 bB表 四 C的 示 CD M 边两 、 AM 形条 B 、 M对 C 、 M角D?线M 相 B，交
平面向量基本定理
h
1
回顾
1、向量加法的平行四边形 法则
2、共线向量的基本定理
2
h
设e 1 、e 2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
h
3
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
h
14
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
AB的中点,
AE=
=
CF=
AD+
b+
1 2
CB+
DE aA BF =
-b
-
F
1 2
a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
h
C B
15
思考 设 a、b是两个不共线的向量，已知
1与
），
2
e e 从而将问题转化为关于 、 的相应运算。 12
h
19
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
h
20
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
AB = 2a + kb, CB = a + 3b,
CD = 2a – b,若A.B.D三点共线,求k的值
解：A、B、D三点共线
AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – =(2a – b) –(a
CB = a – 4b +3b)
则需 2a + kb = (a
由向量相等的条件得
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
2
h
21
谢谢同学们
再 见
h
22
– 4b 2=
)
k = 8 . h
k = 4
16
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
即（2 - ）a +(k - 4)b = 0
2 - = 0 k – 4 = 0
k = 8 .
h
17
评析 本题在解决过程中用到了两向量
共线的充要条件这一定理，并借助平 面向量的基本定理减少变量，除此之 外，还用待定系数法列方程，通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
N
E
h
6
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数
1、
是否相同？
2
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
h
7
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若
与
1
中只
2
有一个为零，情
= e2
- e1+
1 2
e
1
=
-
1 2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
1
=2
e1 - e2
21
-4
e1
=
1 4
e1 - e2
.
A
N
B
h
12
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
h
13
例4. ABCD中，E、F分别是DC和AB
D
C
e1
AM
·O
A
B
h
10
例3、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD， 且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
请大家动手, 在图中确定一组基底，将其 他向量用这组基底表示出来。
DM C
A
N
B
h
11
解析： 设AB = e 1,AD = e 2 ,则有：
DC
=
1 2
AB
=
1 2
e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
h
18
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的
分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都 可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面 向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两 个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个
e e 平面所有向量的一组基底（不共线向量