线性代数 行列式例题讲解
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1 i j 4
[ B0 B1 x B2 x2 ( x1 x2 x3 x4 ) x3 B4 x 4 ] ( x j xi )
1i j 4
上面是按x的多项式展开，对照系数，有
D4 ( x1 x2 x3 x4 ) ( x j xi )
x1 m 0 0 0
x2 0 0 0
... ... ...
xn 0 0 a11 (m) 0
n
m ...
... m
所作变换为：
cn c2 c3 c1 m m m
n
xn xi x1 x2 a11 1 1 m m m i 1 m
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 (b 1) 2 (b 1)3
(b 2) 2 (b 2) 1
1 b2 (b 2) 2 (b 2)3
范德蒙行列式？
(2 1)(2 (1))(2 0)(1 (1))(1 0)( 1 0) 3 2 2 (1) 12
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c1 c2 c3 c4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 a d (a b c d ) 1 c 1 c 1 a d b b b b d d
c
a d
b
r3 r2 r4 r1
1 a (a b c d ) 1 c
(ad bc) n
递推法
d
例5
1 1 Dn 1 1
2 2 0 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0 0 n
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2) n !
... ... ... ... ...
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 ( m xi )
i 1 n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )( m) i 1 m
x1 0 ... 0
x2 0 ... 0
... ... ...
xn 0 0 ...
1 m
m ...
爪型行列式：用对角线 上的非零元消掉第一列 （行）的非零元(（1，1） 位置元除外)
... m
cn 1 c2 c3 c1 m m m
a11 0 0 ... 0
y 0 x 0
0 y 0 x
x 0 0
r1 r4 c2 c3
2 2 2
y ( y x )
r2 r4
例4
a 0 c
0 c 0
0 b d 0
b 0 0 d
c2 c4
0 a
(ad bc)
2
例4’
a a c c b d
b
2n阶， a b c d 各n 个
例7
1 D4 x1 x12 x
1 x 1 x1 x12 x13 x14
4 1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3
1 x4
2 x4
x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
4 2
x
1 x3 x32 x33 x34
4 3
x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
D5 x 2 x3 x4
d d
b b d b d b 0
0 0 bd 0 0 bd
例2
x1 m Dn x1 ... x1
法一：
x2 ... x2
... ...
xn xn xn c1 c2 cn
x2 m ...
... xn m
1 1 ... 1 x2 ... x2 ... ... xn xn xn x2 m ...
求 Dn ,
A11 A12 A1n
说明：一般求行列式某行（列）代数余子式的线 性和，只用把相应系数换到原行列式的对应行 （列）中，计算行列式即可。如有余子式，则先 把余子式转化成代数余子式，再按上法计算。
1
1 2 0 0
n
1 ... 1 0 ... 0 3 ... 0 0 n
把第1行的元换 成系数，此时系 数全为1
从而：
xi n Dn (1 )(m) i 1 m
n
练习：用四种方法下面行列式： 1.定理1（定义）；2.（初等行变换）化成上三角形； 3.P78 例9，行（列）和同，提取公因子；4.加边法；
3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 48
例3
0 x 0 y
A
j 1
n
1 1 1
1j
... ... ... ... ...
1 (1 )n ! i 2 i
例6 b3 (b 1)3 (b 1)3 (b 2)3
b2 b 1
1 b b2 b3
(b 1)2 (b 1) 1
1 b 1 (b 1) 2 (b 1)3
n
法二：
加边法
x1 m x1 ... x1
1 0 0 ... 0 x1 x2
x2 ... x2
...
... xn ... xn ... xn
xn
n+1阶，保证 行列式值不变
Dn
x2 m ... xn
n阶
同 上
ri r1,i 2,3 , n 1
1 1 ... 1
注意：M 41 D4
A11 xA21 x 2 A31 x 3 A41 x 4 A51
由范德蒙行列式的计算公式：
ห้องสมุดไป่ตู้
D5 ( x j xi ), 其中x0 x
0i j 4
( x4 x)( x3 x )( x2 x )( x1 x ) ( x j xi )
1 i j 4
例8
x2 2x 2 4x
x 1
x2
x3 0根的 个数
r2 2r1 r3 3r1 r4 4r1
求f ( x )
2x 1 2x 2 2x 3 4 x 3 5x 7 4 x 3
3x 3 3x 2 4 x 5 3x 5
x 2 x 1 x 2 x 3 解: f ( x) 2 3 8 1 1 1 2 x 1 x 1 3 4 9
x 2 x 1 x 2 x 3 2 3 5 1 1 0 2 x 1 0 3 4 5
即f ( x)是x的二次多式，故有二根。
说明：判断多项式方程根的个数，应尽量 消掉多项式中的未知数，再根据定义判断 多项式的次数。（化行阶梯型的方法）
[ B0 B1 x B2 x2 ( x1 x2 x3 x4 ) x3 B4 x 4 ] ( x j xi )
1i j 4
上面是按x的多项式展开，对照系数，有
D4 ( x1 x2 x3 x4 ) ( x j xi )
x1 m 0 0 0
x2 0 0 0
... ... ...
xn 0 0 a11 (m) 0
n
m ...
... m
所作变换为：
cn c2 c3 c1 m m m
n
xn xi x1 x2 a11 1 1 m m m i 1 m
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 (b 1) 2 (b 1)3
(b 2) 2 (b 2) 1
1 b2 (b 2) 2 (b 2)3
范德蒙行列式？
(2 1)(2 (1))(2 0)(1 (1))(1 0)( 1 0) 3 2 2 (1) 12
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c1 c2 c3 c4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 a d (a b c d ) 1 c 1 c 1 a d b b b b d d
c
a d
b
r3 r2 r4 r1
1 a (a b c d ) 1 c
(ad bc) n
递推法
d
例5
1 1 Dn 1 1
2 2 0 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0 0 n
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2) n !
... ... ... ... ...
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 ( m xi )
i 1 n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )( m) i 1 m
x1 0 ... 0
x2 0 ... 0
... ... ...
xn 0 0 ...
1 m
m ...
爪型行列式：用对角线 上的非零元消掉第一列 （行）的非零元(（1，1） 位置元除外)
... m
cn 1 c2 c3 c1 m m m
a11 0 0 ... 0
y 0 x 0
0 y 0 x
x 0 0
r1 r4 c2 c3
2 2 2
y ( y x )
r2 r4
例4
a 0 c
0 c 0
0 b d 0
b 0 0 d
c2 c4
0 a
(ad bc)
2
例4’
a a c c b d
b
2n阶， a b c d 各n 个
例7
1 D4 x1 x12 x
1 x 1 x1 x12 x13 x14
4 1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3
1 x4
2 x4
x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
4 2
x
1 x3 x32 x33 x34
4 3
x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
D5 x 2 x3 x4
d d
b b d b d b 0
0 0 bd 0 0 bd
例2
x1 m Dn x1 ... x1
法一：
x2 ... x2
... ...
xn xn xn c1 c2 cn
x2 m ...
... xn m
1 1 ... 1 x2 ... x2 ... ... xn xn xn x2 m ...
求 Dn ,
A11 A12 A1n
说明：一般求行列式某行（列）代数余子式的线 性和，只用把相应系数换到原行列式的对应行 （列）中，计算行列式即可。如有余子式，则先 把余子式转化成代数余子式，再按上法计算。
1
1 2 0 0
n
1 ... 1 0 ... 0 3 ... 0 0 n
把第1行的元换 成系数，此时系 数全为1
从而：
xi n Dn (1 )(m) i 1 m
n
练习：用四种方法下面行列式： 1.定理1（定义）；2.（初等行变换）化成上三角形； 3.P78 例9，行（列）和同，提取公因子；4.加边法；
3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 48
例3
0 x 0 y
A
j 1
n
1 1 1
1j
... ... ... ... ...
1 (1 )n ! i 2 i
例6 b3 (b 1)3 (b 1)3 (b 2)3
b2 b 1
1 b b2 b3
(b 1)2 (b 1) 1
1 b 1 (b 1) 2 (b 1)3
n
法二：
加边法
x1 m x1 ... x1
1 0 0 ... 0 x1 x2
x2 ... x2
...
... xn ... xn ... xn
xn
n+1阶，保证 行列式值不变
Dn
x2 m ... xn
n阶
同 上
ri r1,i 2,3 , n 1
1 1 ... 1
注意：M 41 D4
A11 xA21 x 2 A31 x 3 A41 x 4 A51
由范德蒙行列式的计算公式：
ห้องสมุดไป่ตู้
D5 ( x j xi ), 其中x0 x
0i j 4
( x4 x)( x3 x )( x2 x )( x1 x ) ( x j xi )
1 i j 4
例8
x2 2x 2 4x
x 1
x2
x3 0根的 个数
r2 2r1 r3 3r1 r4 4r1
求f ( x )
2x 1 2x 2 2x 3 4 x 3 5x 7 4 x 3
3x 3 3x 2 4 x 5 3x 5
x 2 x 1 x 2 x 3 解: f ( x) 2 3 8 1 1 1 2 x 1 x 1 3 4 9
x 2 x 1 x 2 x 3 2 3 5 1 1 0 2 x 1 0 3 4 5
即f ( x)是x的二次多式，故有二根。
说明：判断多项式方程根的个数，应尽量 消掉多项式中的未知数，再根据定义判断 多项式的次数。（化行阶梯型的方法）