中考数学中的开放性问题
浅谈中考数学“开放性问题”
浅谈中考数学“开放性问题”浅谈“开放性问题”所谓的开放性试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题。
开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能促使考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。
例1.(04苏州) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数y=k/x 图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出满足条件的一个k的值）【解析】此类开放性试题一般需要结合分类讨论的数学思想进行解题：由于反比例函数的图像有两支，且当k取正、负值时其函数图像所处象限不同，故要进行分类讨论：①k>0且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第三象限，在此象限，y值随着x值的增加而减小，故不可能；②k且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第二象限，在此象限，y值随着x值的增加而增大，故只要k，都可以满足题意要求。
本题只要任填一个负数即可。
像本题一样，条件开放性试题主要解题思路是把结论作为条件，采取逆向思维进行探索，执果索因。
题型2结论开放与探索。
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
中考数学中的开放性问题
E D C O B A （图4） 中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（此文在国家级核心期刊《中学数学教学参考》2007.4上发表）新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试,并在不同程度上给予体现,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。
这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。
尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面例析活跃在2006年中考数学试题中的开放性试题.一、开放题常见的题型开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。
开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．1．条件开放型例1．（2006 海口）如图， D 、E 分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE ∽△ABC.分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可.如∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 等∠B或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 等. 评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题．在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求．这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情景中创造性地解决问题.2．结论开放型例2．（2006 南昌）如图AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 弦OD ⊥CB 于点E ，交 BC于点D（1）请写出三个不同类型的正确结论：（2）连结CD ，设∠CDB =α，∠ABC =β，试找出α与β之间的一种关系式并给予证明.解：（1）不同类型的正确结论不惟一．以下答案供参考：① BE = CE ；② BD⌒ = CD ⌒ ；③ ∠BED = 90°；④ ∠BOD ② =∠A ；⑤ AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦ 222OE BE OB +=；⑧ S △ABC = BC ·OE ；⑨ △BOD 是等腰三角形；⑩ △BOE ∽ △BAC ；等等．（2）α与β的关系式主要有如下两种形式．①答；α与β之间的关系式为α-β=90°.A B C D E证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠A +∠ABC =90°．又∵四边形ACDB 为圆的内接四边形，∴∠A +∠CDB =180°．∴∠CDB -∠ABC =90°,即α-β = 90°. ②答α与β之间的关系式为α>2β. 证明 ∵ OD =OB ， ∴∠ODB =∠ OBD ．又∵∠OBD =∠ABC +∠CBD ， ∴∠ODB>∠ABC ．∵OD ⊥BC ，∴ CDBD =，∴CD =BD ．∴∠CDO =∠ODB =12∠CDB ，∴12∠CDB >∠ABC ，即α>2β．评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。
中考数学专题复习——开放研究问题(经典题型)
中考数学专题复习——开放研究问题（经典题型）【专题点拨】开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。
根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型。
【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江鹤岗）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD 边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D的坐标；（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°， ∴AD=OC ，∠ADE=∠COE ， 在△ADE 与△COE 中，，∴△ADE ≌△COE ；∵CE 2=OE 2+OC 2，即（8﹣OE ）2=OE 2+42， ∴OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ， 则OE ∥DM ， ∴△OCE ∽△MCD ， ∴， ∴CM=，DM=，∴OM=， ∴D （﹣，）； （4）存在；∵OE=3，OC=4， ∴CE=5，过P 1作P 1H ⊥AO 于H ， ∵四边形P 1ECF 1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．【例题3】（14分）（2017•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【考点】MR：圆的综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG =CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，∴GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，∴CG=MH=﹣1，∴S△ACG=CG×CH=，∵S△DEG=，∴S△ACG ：S△DEG=．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．【能力检测】1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【考点】LF：正方形的判定；LB：矩形的性质．【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．2.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．3.（2017齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA 的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D 的坐标；（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO ：四边形综合题． 【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO 是矩形，得到AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE ≌△COE ；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ，则OE ∥DM ，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，∴AD=OC，∠ADE=∠COE，在△ADE与△COE中，，∴△ADE≌△COE；∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，∴OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，∴△OCE∽△MCD，∴，∴CM=，DM=，∴OM=，∴D（﹣，）；（4）存在；∵OE=3，OC=4，∴CE=5，过P1作P1H⊥AO于H，∵四边形P1ECF1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．4.（2017内蒙古赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．5.（2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）解得x2+3x+m﹣3=0，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0），②当AB=BP=4时，P 2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．。
中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案
中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一 条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ,F ，连接BE ,CF .(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH =FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH =∠CFH 等. 选择EH =FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH =CH . 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH (SAS ).(2)如图，当BH =EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH =CH ，EH =FH ,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH =EH ,∴EF =B C. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△AC B.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x －3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100－x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x－h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100－x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x－h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100－x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x－20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x－20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式.2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数.3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg ).题型之三 综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x (千米)，则车费为y (元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y =2x +2. ②当y =32时，32=2x +2.解得x =15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一 条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC (或AB ∥DC )3.∠ADE =∠C (答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x －3<7得x <5. 取x =1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B =90°或∠BAC +∠BCA =90°,或OB =OA =OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B =90°为例说明.理由： ∵AB =CD ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B =90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二 结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6－a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0)2.答案不唯一，如：2，3，4π3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CD A. (2)∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF . ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF .4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如： ① 此函数的解析式为y =kx(k ＞0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k =1. ∴此函数可以为：y =1x； ②设此函数的解析式为y =kx +b (k ＜0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k +b =1，k ＜0. ∴此函数可以为：y =－x +2,y =－2x +3,…； ③设此函数的解析式为y=a(x－m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1－m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=－x2+2,y=－2x2+3,y=－(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x2－5x－3=0，解得x1=3，x2=－1 2 .经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时.3.(1)设y =k x， ∵A (1，10)在图象上，∴10=1k.即k =10. ∴y =10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km /h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y =10x（h ）.。
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题是指那些没有明确解题方法的数学问题，通过学生自主探索和解
决问题，培养学生思维能力和解决问题的能力。
开放探究题的类型多种多样，解题策略也
各有不同。
以下是一些常见的初中数学开放探究题的类型及相应的解题策略。
一、几何问题
几何问题是常见的开放探究题类型之一。
解答这类问题通常需要学生探究图形的性质、关系及运用几何知识解决问题。
解题策略：
1. 观察几何图形的性质，例如角的关系、边的长度等。
2. 尝试构建辅助线或辅助角，将问题转化成已知的几何问题。
3. 运用几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质等。
二、代数问题
代数问题是初中数学中常见的开放探究题类型，通常涉及复杂的代数式的化简、方程
的解法等。
解题策略：
1. 观察代数式的结构，寻找规律，进行化简和简化。
2. 运用代数运算法则，如合并同类项、因式分解等。
3. 构建方程组，运用代数方法解方程。
数列问题是另一种常见的开放探究题类型。
解答这类问题需要学生发现数列的规律，
进行推理和证明。
解题策略：
1. 观察数列的前几项，寻找数列的规律和递推关系。
2. 推导数列的通项公式或递推公式。
3. 运用数列性质，进行计算和证明问题。
四、概率问题
概率问题也是初中数学中的重要开放探究题类型，学生需基于概率的概念进行推理和计算。
解题策略：
1. 确定事件空间和随机试验。
2. 运用概率的计算公式，计算事件的概率。
3. 推导和证明概率性质。
中考数学专题复习-开放性问题一新课标
中考数学专题复习-开放性问题一（一）条件开放题【简要分析】条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求【典型考题例析】例1：已知反比例函数2k y x-=其图象在第一、三象限内，则k 值可为 ．（写出满足条件的一个k 的值即可）（20XX 年江苏苏州市中考题目）分析与解答：收反比例函数的图象在每一、三象限可知k-2>0，即k>2．因此所取k 值只要满足k>2都可以，比如k 取3、4、5…都题意的．例2：如图2-1-1，△ABC 内接于⊙O ，D 是AB 上一点，E 是BC 的延长线上一点，AE 交⊙O 于F ，为使△ADB ∽△ACE,应补充的一个条件是 ．（20XX年湖南株州市中考题目）分析与解答:要使△ADB ∽△ACE ，只要找到这两个三角形有两个角对应相等或对应成比例有夹角相等或三边对应成比例即可．本题中，从角方面考虑，观察畋形可知∠ACE=∠CAE ，于是，只找另外一对对应角相等就行了，因此，要补充的条件可填∠DAB=∠CAE 或∠ABD=∠E ；同时，根据同圆中圆周角与弧之间的∠DAB=∠CAE 又可转化为弧BD CF =，因此补充的条件又可以填弧BD CF =；从边考虑，由于已有条件∠ADB=∠AC 成立，如果它们的夹角边对应成比例同样可以得出△ADB ∽△ACE ，于是补充的条件又可以填AD BD AD AC AD CE AC BD AC CE BD CE ==??或或等． 例3：如图2-1-2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD=AB ，E 为CB 延长线BM 上 一点，当E 点在BM 上运动到某一位置满足一定条件时，就在有CD BE DA AB ∙=∙成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明．（广西柳州市中考题）分析与解答：我们通过逆向分析来探结论成立的条件，假设AB DA BE CD ??成立，则有AB ：BE=CD ：DA ，又∠ABE=∠ADC （圆内接四边形的外角等于内对角），连结AC ，故有△ABE ∽△CDA ．因此只需探索△ABE ∽△CDA 的条件即可，当∠AEB=∠CAD 或∠EAB=∠ECA 或∠EAB=∠ACD 或EA 与⊙O 相切时，都有△ABE ∽△CDA ．下面以“EA 与⊙O 相切”为条件给出证明．∵EA 与⊙O 相切，∴∠EAB=∠ECA.又∠ECA=∠DCA. ∴∠EAB=∠DCA.又∠ABE=∠D. ∴△ABE ∽△CDA. ∴,.AB CD AB DA BE CD BE DA =??即【提高训练1】1． 如图2-1-3，AB 是⊙O 的直径．弦CD 与直径AB 相交于点E. 补充一个条件 使图2-1-12． CE=DF ．（只要求填写一个你认为合适的条件）（20XX 年四川内江市中考题）3． 如图2-1-4在△ABC 是AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件，就可以确定△ABD ≌△ACD ，这条件可以是 ．（20XX 年黑龙江宁安市面上中考题）4． 如图2-1-5欲使△ABC ∽△ACD ，应补充的一个条件是 ．（20XX 年山西省中考题目）.5． 若整式241x Q ++是一个完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q ； ．6． 如图2-1-6半圆O 这△ABC 的外接圆，AC 为直径， D 这弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线．（2）当期限他条件不变时，问添加一个什么条件后有2BD BE BC =?成立？（20XX 年湖北省荆州市中考题改编）.7． 如图2-1-7，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ，连结PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论2BG BF BO =?成立？（2005处湖南省常德市中考题改编）.【提高训练1答案】 １．“AC AD =”或“BC BD =”或“AB CD ⊥” 2．“BD=CD ”或“∠BAD=∠CAD ”或“∠B=∠C ”或“AB=AC ” 3．“∠ACD=∠B ”或“∠ADC=∠ACB ”或“AD ：AC=AC ：AB ” 4．“4x -”或“4x ”或“1-”或“24x -” 5．（1）略 （2）“A B D B =”或“∠BAE=∠BDA ”或“AB=BD ” 6．（1）略 （2）“BG=CG ”或“OG ⊥BC ”或“OG ∥AC ”（二）结论开放题【简要分析】给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．【典型考题例析】例1：一条抛物线的对称轴是x=1逐步形成与x 轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的解析式是 ．（任写一个）（20XX 年甘肃省兰州市中考题）分析与解答：根据已知，我们可设这条抛物线的解析式这2(1)y a x k =-+， 22y ax ax a k =-++即．又由题意有20,(2)4()0a a a a k <--+=．解得图2-1-7图2-1-6A 图2-1-5D C B A 图2-1-4D C BA 图2-1-30,0a k <=.于是年求抛物线的解析式2(1)y a x =-只要满期足0a <就行.答安不唯一,如2242y x x =-+-等.例2：如图2-1-8,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 交BC 于D,过D 作⊙O 的切线DE 交AC 于E,且DE ⊥AC,由上述条件,你能推出的正确结论有: .(2005处甘肃省兰州市中考题).分析与解答：本题所给的图形中，有直径，有切线，我们可联通想到直径所对的圆周角是直角，切线的性质，从以下几方面寻找答案，（１）由ＡＢ是⊙O 的直径，可得＂∠ＡＤＢ＝９００＂，同时，根据勾股定理有＂222AD BD AB +=＂．（２）连结ＯＤ．∵ＤＥ是⊙O 的切线，∴ＯＤ⊥ＤＥ，又ＤＥ⊥ＡＣ，∴ＯＤ∥ＡＣ，又∵Ｏ是ＡＢ的中点，∴有＂Ｄ是ＢＣ的中点＂成立．（３）在Rt △ＡＤＣ中，ＤＥ⊥ＡＣ，∴有＂△ADC ∽△AED ∽△DEC ”、“2AD AE AC =?”、“2DC CE CA =?”、“2DE E CE =?”等结论成立．（４）∵ＤＥ是⊙O 的切线，由弦切角定理有“∠ＡＤＥ＝∠Ｂ”成立．例3：如图2-1-9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ．且PA=PD ．（1）写出图三对你认为全等的三角形（不再添加畏助线），（2）选择你在（1）中写出的全等三角形国的任意一对进行证明．（20XX 年河南省中考题目）. 分析与解答：由已知条件可知,本题所给的基本图是等腰梯形，联想到等到腰梯形的性质有：①上下两认底平行（可得内错角相等、同位角相等）；②同一底上的两个角相等（角相等）；③两腰相等（边相等）．另外，已知条件中还有PA=PD （边相等）．根据这些角、边之间的关系，我们不难得到答案．⑴图中的全等三角形有：△ABP ≌△DCP ；△ABE ≌△DCF ，△BEP ≌△CFP ；△BFP ≌△CEP 等．⑵下面就△ABP ≌△DCP 给出证明．∵AD ∥BC ，AB=DC ，∴梯形ABCD 这等腰梯形．∴∠BAD=∠CDA ，又∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA ．∴∠BAP=∠CDP ．在△ABP 和△DCP 中，∵PA=PD ，∠BAP=∠CDP ，AB=DC ， ∴△ABP ≌△DCP ．【提高训练2】１．请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解因式： ．（20XX 年湖北武汉市中考题）２．请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数2(0)y ax bx c a =++?的畋象同时满足下全条件：①开口向下，②当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．（20XX 年江苏省扬州市中考题）．图2-1-9P FE D C B A３．已知抛物线2()1y x m =--+与x 轴的交点为A 、B （B 在A 的右边—），与y 轴的交点为C ，写出当m=1时与抛物线有关的三个正确结论．（20XX 年江本省中考题）．４．已知：如图2-1-10，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB=AD ，连结AC 、BD ．由这些条件能推出哪些结论？（至少写出3条） ５．如图2-1-11，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．（20XX 年浙江省宁波市中考题） 【提高训练2答案】1．答案不唯一，如“2229(3)(3)x xy y x y x y -+-=-+--”等2．确定的解析式为2(2)y a x k =-+，且0a <即可，例如选取23(2)4y x =--+，即23128y x x =-+-就是符合要求的答案3．正确正确有：①抛物线的解析式为：22y x x =-+；②开口向下；③顶点坐标为（1，1）；④抛物线经过原点；⑤与x 轴的的另一个交点坐标为（2，0）；⑥对称轴为直线1x =4．正确正确有：①∠ABD=∠ADB ；②AB+CD=AD+BC ；③CD=BC ；④∠CBD=∠CDB ；⑤△ABC ≌△ADC ；⑥∠ABC=∠ADC ；⑦∠BAC=∠DAC ；⑧∠ACB=∠ACD5．答案不唯一，如△BCF ≌△CBD ，△BHF ≌△CHD ，△BDA ≌△CFA ，△BAE ≌△CAG ，△AGF ≌△AED 等；证明略（三）组合开放题【简要分析】组合开放型试题的的条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论然后组成一个新命题，并加以证明或判断．这种新颖的组合型开放题，已使几何听论证转向发现、猜想与探究．成为中考命题的热点．【典型考题例析】例1：已知：如图2-1-12，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，E 是AB 上除O 外的一点，AC 与DE 交于点F ．①AD DC =；②DE ⊥AB ；③AF=DF ．写出以①、②、③中的任意两个这条件，推出第三个（结论）的一个正确命题．并加以证明．（20XX 年四川省绵旭市中考题）分析与解答：对于这一类条件与结论都开放的组合型开放题， 我们先要将它的已知条件进行配对，逐一探索哪能组条件与结论能组成正确的命题，然后选择一组进行证明．能够推出的正确命题有“若①、②，则③；①若②、③则①；若②、③则①．下面以若①、②则③这命题证明如下： 连结AD 、BD ．∵A D D C =，∴∠DAC=∠B ，又AB 为，DE ⊥AB ，∴∠ADB=∠AED=900．∴∠ADE=∠B ．∴ADE=DAC ．∴AF=DF ．说明：本题立足于常见的基本图形，把传统的几何证明题改告造成一个要D 图2-1-11GH F EDC BA 图2-1-12B A 图2-1-134321ED CB A求学生发现、猜想、证明的组合型开放题，符合数学事实的发现过程．例2：如图2-1-13， 四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、△，给出下列五个等式：①AD ∥BC ；②DE=CE ；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB ．将其中三个关系式作为题设，国外两个作为结论，构成一个命题．（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果…… 那么……），并给出证明，（2）用序号再现实性出三个真命题（不要求证明）．（3）加分题：其命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给我多加1分，最多2 分．（20XX 年黑龙江省宁安市面上中考题）分析与解答：（1）众条件①②③④⑤中选取在个作题设，另外两个作结论，构杨一个真命题，以尝试、探索可得：如果①②③，那么④⑤． 如图2-1-14，延长AE 交BC 于的延长线于点F ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠F ，又∵∠AED=∠FEC ，DE=CE ．∴△ADE ≌△FCE ．∴AD=CF ．AE=FE ．又∵∠1=∠F ，∠1=∠2，∴∠2=∠F ，∴AB=BF ，∴AB=BC+CF=BC+AD ．即⑤成立，又∵AE=FE ，∠2=∠F ，AB=BF ．∴△ABE ≌△FBE ．∴∠3=∠4．即④成立．（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④．（3）不唯一，如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③等．【提高训练3】1．已知：如图2-1-15，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为 ．你得到的一对全等三角形是△ ≌△ ．（20XX 年福建省神州市中考题） 2．如图2-1-16，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，下面有四个条伯，请你从其中选三个作为题目设，余下的一检点作为结论，写一个真命题，并驾证明书．①AB=DE ；②AC=DF ；③∠ABC=DEF ；④BE=CF ．（20XX年江苏省扬州市中考题） 3．如畋2-1-17，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD=CB ；②AE=CF ；③∠B=∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程．（20XX 年广西桂林市中考题）【提高训练3答案】1．所添加的条件为：∠A=∠B （或PA=PB 或AC=BD 或AD=BC 或∠APC=∠BPD 或∠APD=∠BPC 等） 全等三角形为△PAC ≌△PBD （或△APD ≌△BPC ），证明略．2．答案不唯一，如“已知AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，求证：∠ABC=∠DEF ”等，证明略．3．答案不唯一，如“已知AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ，求证：AD=BC ” 等，证明略 F 图2-1-144321E D C B A 图2-1-15图2-1-16F E D C B A 图2-1-17E F D C BA。
中考数学开放性问题复习 PPT课件
如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4 厘米,⊙P从点A开始沿折线A—B—C—D以4 厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C开始沿CD以 1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别 从点A、C同时出发,当其中一个圆心到达D 点时,另一圆也随之停止运动。 Q C
A
B
P
开放性问题
数学开放题是指那些条件不完整，结论 不确定，解法不限制的数学问题。
20 28 当t=4秒、 秒、 秒时，⊙P和⊙Q相外切 3 3
一束光线从 y 轴上点 A （0，2）出发，经 过 x 轴上点 P 反射后经过点 B （4，6），则 点 P 的坐标为＿ 。 y
y 6 B（4，6） B（4，6） 6
2 O 4 x
A 2 c
O P 4 x
一束光线从 y 轴上点 A （0，2）出发，经 过 x 轴上点 P 反射后经过点 B （4，6），则 点 P 的坐标为 （1，0）。
有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条 直线将其分为面积相等的两部分（不写作法， 保留作图痕迹，在图中直接画出）。
“行家” 看“门道”
如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,⊙P从点 A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从 点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分 别从点A、C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一 圆也随之停止运动。设运动时间为t（秒）。 如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值 时,⊙P和⊙Q相外切?
试
金
石
1、写出一个图象位于一、三象限的反比例函 数表示式_________。 2、小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形. 为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有 刻度的三角尺为工作,•帮小华设计一个检验的 方案___。
中考数学专题知识突破专题三开放型问题(含详细答案)
专题三开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试卷已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、实验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1（盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）思路分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．解：设此一次函数关系式是：y=kx+b．把x=0，y=3代入得：b=3，又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一）故答案是：y=-x+3．点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．对应训练1．（达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）1．-1考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2（常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解读式：．思路分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．解：∵图象在第二、四象限，∴y=-3x，故答案为：y=-3x．点评：此题主要考查了反比例函数y=kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．对应训练2．（山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）2．该班有50人参与了献爱心活动（答案不唯一）考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3（广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．思路分析：（1）根据S1=1 2S矩形BDEF，S2+S3=12S矩形BDEF，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=12BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=12S矩形BDEF，∴S 2+S 3=12S 矩形BDEF ， ∴S 1=S 2+S 3．（2）答：△BCD ∽△CFB ∽△DEC ．证明△BCD ∽△DEC ；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD ，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD ∽△DEC ．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．对应训练3．（荆州）如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 在AB 上，连结BE ．请找出一对全等三角形，并说明理由．3．解：△ACD ≌△BCE ．证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠AC B-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，即∠ACD=∠BCE ．∵△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB ，CD=CE ，在△ACD 和△BCE 中，CE CD ACD BCE CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE ．四、中考真题演练一、填空题1．（徐州）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： ．1．平行四边形2．（钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解读式．2．y=x （答案不唯一）．3．（连云港）若正比例函数y=kx （k 为常数，且k≠0）的函数值y 随着x 的增大而减小，则k 的值可以是 ．（写出一个即可）3．-24．（连云港）若正比例函数y=kx （k 为常数，且k≠0）的函数值y 随着x 的增大而减小，则k 的值可以是 ．（写出一个即可）4．-25．（北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解读式，y=．5．x2+1（答案不唯一）6．（莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．6．AB=DE7．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．7．AE=CB8．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．8．AC=AB9．（齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）9．∠C=∠BAD10．（邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．10．∠A与∠C（答案不唯一）11．（吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是 cm（写出一个符合条件的数值即可）11．612．（昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）12．4s三、解答题13．（杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数kyx(x＞0)的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE ，∴∠A=∠BCA ，∠CBD=∠BDC ，∠ECD=∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD ，∠A+∠CDB=∠ECD ，∠A+∠CED=∠EDM ，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B 在反比例函数y=k x 图象上，点B ，C 的横坐标都是3， ∴点B （3，3k ）， ∵BC=2，∴点C （3，3k +2）， ∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴A （1，3k +2）， ∵点A 也在反比例函数图象上，∴3k +2=k ， 解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）本次共调查了多少名学生？（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）14．解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）；（2）经常闯红灯的人数是：1500×15100=225（人）；（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．解直角三角形知能优化训练中考回顾1.(湖北孝感中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于()A. 3 5B. 4 5C. 3 4D. 4 32.(浙江金华中考)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()A. tanα tanαB. sinα sinαC. sinα sinαD. cosα cosα3(浙江宁波中考)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C 处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200 m,且点H,A,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为m.(结果保留根号)-1)4(四川达州中考)在数学实践活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4 m至B处,测得仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值),过点C作CD⊥AB,交AB延长线于点D.设CD=x m.∵∠CBD=45°,∠BDC=90°,∴BD=CD=x m.∵∠A=30°,AD=AB+BD=(4+x)m,∴tan A=αααα ,即 3 3 =α 4+α ,解得x=2+2 3 .答:该雕塑的高度为(2+2 3 )m.5.(湖南衡阳中考)一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆C出发,沿北偏东30°的方向行走2 000 m到达石鼓书院A处,参观后又从A处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处,如图所示.(1)求这台徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;(2)若这名徒步爱好者以100 m/min的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在15 min内能否到达宾馆?过点C作CP⊥AB于点P,由题意可得∠A=30°,AC=2000m,则CP= 1 2 AC=1000m.即从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1000m.(2)∵在Rt△PBC中,PC=1000m,∠PBC=∠BCP=45°,∴BC= 2 PC=1000 2 m.∵这名徒步爱好者以100m/min的速度从雁峰公园返回宾馆,∴他到达宾馆需要的时间为 1000 2 100 =10 2 <15,∴他在15分钟内能到达宾馆.模拟预测1.tan 60°的值等于()A.1B. 2C. 3D.22.河堤横断面如图,堤高BC=6 m,迎水坡AB的坡比为1∶ 3 ,则AB的长为()A.12 mB.4 3 mC.5 3 mD.6 3 m3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB'的位置,测得∠PB'C=α(B'C为水平线),测角仪B'D的高度为1 m,则旗杆PA的高度为()A. 1 1-sinα mB. 1 1+sinα mC. 1 1-cosα mD. 1 1+cosα m4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sin A= 3 5 ,则DE=.5.如图,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长为13 m,且tan∠BAE= 12 5 ,则河堤的高BE为m.6如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50海里/时,则A,B之间的距离为.(取3 ≈1.7,结果精确到0.1海里).5海里7.如图,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30 m,则电梯楼的高BC为m.(结果精确到0.1 m,参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732).08.某商场为缓解“停车难”问题,拟建造地下停车库,如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C在BD上,BC=0.5 m.根据规定,地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的结果.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.325)ABD中,∠ABD=90°,∠BAD=18°,BA=10,∵tan∠BAD=αααα ,∴BD=10×tan18°.∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.8(m).在△ABD中,∠CDE=90°-∠BAD=72°.∵CE⊥ED,∴∠DCE=18°.∴cos∠DCE=αααα.∴CE=CD×cos∠CDE=2.8×cos18°≈2.7(m).∵2.7m<2.8m,且CE⊥AE,∴小亮说得对.因此,小亮说得对,CE为2.7m.第2课时整式及因式分解知能优化训练中考回顾1.(山东枣庄中考)下列计算,正确的是()A.a5+a5=a10B.a3÷a-1=a2C.a·2a2=2a4D.(-a2)3=-a62.(浙江金华中考)计算(-a)3÷a结果正确的是()A.a2B.-a2C.-a3D.-a43.(山东滨州中考)下列运算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为()A.1B.2C.3D.44(甘肃张掖中考)下列计算结果等于x3的是()A.x6÷x2B.x4-xC.x+x2D.x2·x5.(浙江衢州中考)分解因式:x2-9=.x+3)(x-3)6(四川宜宾中考)分解因式:2a3b-4a2b2+2ab3=.ab(a-b)2模拟预测1.下列运算正确的是()A.3x3-5x3=-2xB.6x3÷2x-2=3xC. 1 3 α 3 2 = 1 9 x6D.-3(2x-4)=-6x-122已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为()A.3B.4C.5D.63.下列各式的变形中,正确的是()A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2B. 1 α-x= 1-ααC.x2-4x+3=(x-2)2+1D.x÷(x2+x)= 1 α+14.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底部为长方形(长为m cm,宽为n cm)的盒子底部(如图②),盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是()A.4m cmB.4n cmC.2(m+n)cmD.4(m-n)cm5.若3x m+5y2与x3y n的和是单项式,则n m=.6按照下图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为.7.若(a+1)2+|b-2|=0,化简a(x2y+xy2)-b(x2y-xy2)的结果为.3x2y+xy28先化简,再求值.(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中,x=- 3 .=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,当x=- 3 时,原式=(- 3 )2-5=3-5=-2.。
九年级数学中考专题系列-开放型专题辅导全国通用
开放性问题数学开放性问题是指那些条件不完备、结论不确定（或不明确）、方法不惟一的数学问题．此类试题是能使学生展开思维去发散、去发现、去创新的数学问题．中考将开放性问题作为命题创新的突破口，是近几年中考数学命题的一大特点，而且考查力度逐年加大．一、数学开放性问题的类型数学开放性问题的具体表现形式多种多样，依据不同的标准有不同的分类．一般有以下几种分类方法． 1、按问题要求的发散倾向来分，有情境开放、条件开放、策略开放、结论开放、综合开放等； 2、按解题目标的操作模式来分，有探索类，讨论、迁移类等；3、按学习过程中价值取向来分，有知识巩固、技能考查、能力检测、信息迁移等． 二、数学开放性问题的特点1、强调过程的探究性，指数学开放性问题给学生提供了广阔的思维空间，能够激发学生创新意识，可使学生积极参与创造性活动，开发学生创造潜能；2、突出情境模拟的新颖性，指数学开放性问题所附设的材料新、条件复杂、结论多样、解决问题的思路和方法新颖而独特；3、展示问题形式的生动性，指数学开放性问题的开放，可能在于条件、结论、解法驰可能在于问题的设问角度、方式的变化；4、注重问题解决的发散性，指解题者在解决问题过程中，一方面需要动用多种思维方法，另一方面需要多角度、多侧面地进行分析研究，以获取解决问题的方法，并从中选择最佳的解题途径．三、数学开放性问题的解题策略 1、执因索果，直接探求【例1】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．（2）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果． （3）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数关系式_____________ （4）如图，将一X 等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称． 【解析】（1）答案不唯一：如2230x x +-= （2）答案不唯一，如2x x 42+＋2＝2（x ＋1）2第（4）题图（3）答案不唯一，如：y ＝－2x（4）平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种即可）【点评】 这几道小的开放性填空题都是由因索果，根据所给的限制条件，可以探究出很多开放的结果．我们在处理此类题时注意的是所写的答案尽量简洁、贴近题意，不提倡过分的标新立异．【例2】在市区内，我市乘坐出租车的价格y （元）与路 程x （km ）的函数关系图象如图1所示． 请你根据图象写出两条信息．【解析】在0到2km 内都是5元；2km 后，每增加加1元． （答案不唯一）【点评】这类识图写信息的开放性问题近年来是命题热点，解决的关键是，认真看准图形中的关键点所对应的横坐标与纵坐标的意义．【例3】某校八年级共有150名男生，从中随机抽取30名男生在“阳光体育活动”启动日进行“引体向上”测试，下表是测试成绩记录（单位：个）：（1）我们已经会列频数分布表、画条形统计图、折线统计图和扇形统计图．为了能让体育老师一目了然知道整个测试情况，请你选择一种．．合适的统计表或统计图整理表示上述数据； （2）观察分析（1）中的统计表或统计图，请你写出两条从中获得的信息： ①______________________________________________________ ②______________________________________________________ 【解析】（1）选择条形统计图图1绘图略．（2）获得的信息如：成绩为五个的有3人，占10%等等．【点评】从统计图表中获取相关的信息也是我们识图的一个重要能力，解决此类问题的技巧是，抓住特征数据进行描述，描述时注意结合题目的问题背景展开．【例4】如图1，线段PB 过圆心O ，交圆O 于A B ，两点，PC 切圆O 于点C ，作AD PC ⊥，垂足为D ，连结AC BC ，．（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC 变为图2中割线PCE 的情形，PCE 与圆O 交于C E ，两点，AE 与BC 交于点M ，AD PE ⊥，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；【解析】（1）图1中相等的角有：ACD ABC BAC CAD ∠=∠∠=∠，．证明：连结OC ，则OC PC ⊥，AD PC ⊥，AD OC ∴∥，CAD OCA ∴∠=∠，又OA OC =，BAC OCA ∠=∠， BAC CAD ∴∠=∠．又AB 为直径，9090ACB BAC B ∠=∴∠+∠=，， 90CAD ACD ACD ABC ∠+∠=∴∠=∠，．（2）ACD ABE ABC AEC BAE BCE BEA BCA CBE CAE ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，，，，（三组即可）【点评】第（1）问寻找所有相等的角这种问题的解决一定要注意分类思想和有序化的处理方法，不少同学图1图2总是漏解或重解，其原因就是没有一种有序的思路，比如从某字母为顶点有序的出发依次寻找．第（2）问探究相等的角时，主要知识运用是圆中角的关系、相似三角形性质及直角三角形锐角关系的应用．2、执果索因，反溯探求【例5】（1）如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是（•只需填上一个立体图形）．（2）（2007年某某市）如图，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于点O AE AD =，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）．【解析】（1）答案不唯一如：长方体、圆柱等；（2）B C ∠=∠，AEB ADC ∠=∠，CEO BDO ∠=∠，AB AC BD CE ==，（任选一个即可） 【点评】 由所给的结果出发，找寻适合的条件，这种逆向思维方式在这种开放性问题中得好较好的考查．当然，准确而快速地得到合适的条件还要靠我们对具体知识或某数学模型的熟练程度．【例6】已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：．【解析】(13)-，，(12)-，，(11)-，，(21)-，，(22)-，，(31)-，六个中任意写出一个即可．【点评】这道题要求我们根据所给的要求，探究符合条件的点P 的坐标，结果开放，在寻找过程 中，我们注意严格按照所限制的要求去寻找，不能顾此失彼，得到一个符合条件的坐标后再代入题中逐个验证，确保不出差错．【例7】X 强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和城区初中生人数作了调查：城区人口约3万，初中生人数约1200．全等人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12万．但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很大偏差．请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因______________．【解析】本题是一道开放性试题，既然推断存在偏差，说明问题是出在估计的可靠性上，进而言之，在样本选取上出现了问题．原因可能如下：样本选取过少；或样本不具代表性、广泛性、随机性等等（只要答对其中一项即可）样本在总体中所占比例太小；或样本不具代表性、广泛性、随机性；（只要答对其中一项均可得分）【点评】近年来对统计内容的考查已经摆脱了单纯的数据运算，而是注重考查统计知识的理解和统计思想OC EA DB图在现实生活中的应用，重要引导学生树立统计意识、形成统计观念，学会分析、学会明理、学会应用． 【例8】如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．【解析】有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =，2(1y x =-．【点评】本题有多种探究思路，如从抛物线向上平移一定会经过点A ，而不会经过点B 可以探究到相应的解析式，再如假设抛物线的顶点平移到A 处，也可得到解析式2(1)2y x =-+等．只有不过分的标新立异，解答本题难度不大．3、关注过程，考查方法【例9】（1）学习和研究《反比例函数的图象与性质》《一次函数的图象与性质》时，用到的数学思想方法有、（填2个即可）．（2）学数学不仅仅是听课和解题，三年初中数学学习期间，教材中给你留下深刻印象的选学内容、数学活动、课题学习有、、（填3个即可）．【解析】（1）填数形结合、分类讨论、类比、从特殊到一般、化归、函数方程思想等中的2个即可； （2）填教材中的选学内容（如阅读与思考、观察与猜想、实验与探究、信息技术应用等）、数学活动、课x图①题学习等的标题，只要意思对即可．【点评】此题针对学习过程中对数学思想方法重视不够、体会和落实不到位等现象，希望考查学生学习函数学习时对所用到的数学思想方法是否清楚，增强从数学思想方法的角度看待问题，当然为了降低难度，答题时设置成了开放题，只要求答出其中2个即可．“学数学不仅仅是听课和解题”引导学生正确处理课内学习与课外学习的关系，重视有用的、学生能接受的、生动活泼的数学知识和学生数学素养提提高．体现了对整个数学学习过程的关注．4、探索结论，自选解答 【例10】给出三个多项式：2221111,31,,222x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．【解析】如选择多项式：22111,3122x x x x +-++， 则：22211(1)(31)4(4)22x x x x x x x x +-+++=+=+．【点评】观察所给的三个多项式，选择两个进行加法运算后再进行因式分解，结论开放，有效的考查了整式的加减及因式分解，能充分还学习主动权给学生，是一道设置新颖的中考试题．【例11】甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个，并展示求解思路）．图13【解析】（1）5020(km /h)2.5V ==甲，6030(km /h)2V ==乙； （2）5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）或6030S t =-乙（02t ≤≤）（答对一个即可）．如，求解甲距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式时，我们考虑到甲的图象是一条线段，是一次函数图象一部分，可以选取上面两点坐标应用二元一次方程组来确定待定系数． 把（2.5,0）（0,50）代入.S kt b =+解得5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）．【点评】 本题也是一道识图问题，在确定一个函数解析式时给了学生以选择权，这在紧X 的考试中，让学生稍稍轻松，是一道值得提倡的命题设计．【例12】如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由． 解： 需添加条件是． 理由是：【解析】需添加的条件是：BD =CD ，或BE =CF ．添加BD =CD 的理由：如图，∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ． 又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BDE =∠CDF ． ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴ DE = DF ． 添加BE =CF 的理由： 如图，∵ AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD ． 又∵ BE =CF ， ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴DE = DF ．【点评】本题考查了等腰三角形底边上哪一点到两腰距离相等，熟悉等腰三角形性质就能很快知道，只要D 为底边中点即可，这是从等腰三角形性质出发的一种思路；也可以从全等三角形的性质入手，如果我们知道BE=CF ，也可以根据直角三角形全等的来获得问题的解决．5、特例引路，探究说明【例13】按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大． （1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p (100－x )，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求； （2）若按关系式y ＝a (x －h )2＋k (a ＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解析】（1）当P=12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502x +． ∴y 随着x 的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）又当x=20时，y=1100502⨯+=100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h=20,y=()220a x k -+,∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大， 令x=20,y=60，得k=60 ①令x=100,y=100，得a ×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+． 【点评】 本题以程序问题为背景，第（1）问以一次函数为引子，拓展到第（2）问中的开放性问题，这种特例引路，探究说明问题，要认真阅读特例，再去探究新问题是否符合题意，类比意识很重要．6、有效探究，细心求证【例14】已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE【解析】（1）证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ．∴∠BAD =∠DAC ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ADC CEA ∠=∠=90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．（2）例如，当AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵AB=AC ，AD ⊥BC 于D ．∴DC=12BC ．又 AD=12BC ，∴DC=AD ．由（1）四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．【点评】 第（1）问已证得矩形的基础上，添加一个适当的条件推证出正方形，没有多大的难度．这样的题型，只要充分分析矩形与正方形之间还差什么有效的条件即可，即添加邻边相等就可以证明了，这样我N(例14)们结合等腰三角形ABC 的性质，只要AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．【例15】如图，把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D CE ''△如图乙．这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ． （1）求OFE '∠的度数； （2）求线段AD '的长．（3）若把三角形D CE ''绕着点C 顺时针再旋转30得D CE ''''△，这时点B 在D CE ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．【解析】（1）315∠=，90E '∠=，12∠=∠，175∴∠=．又45B ∠=，14575120OFE B '∴∠=∠+∠=+=．（2）连结AD '．120OFE '∠=，60D FO '∴∠=，又30CD E ''∠=，490∴∠=．又AC BC =，6AB =，3OA OB ∴==，90ACB ∠=，116322CO AB ∴==⨯=． 又7CD '=， A C B ED（甲） E 'A CB OFD ' （乙）C '24题答图734OD CD OC ''∴=-=-=．在Rt AD O '△中，5AD '==． （3）点B 在D CE ''''△内部．理由如下：设BC （或延长线）交D E ''''于点B '．153045B CE '''∠=+=，在Rt B CE '''△中，2CB '''==，又32CB =<，即CB CB '<， ∴点B 在D CE ''''△内部．【点评】本题中，主要变化经过程是把三角板CDE 绕点C 顺时针旋转．边操作，边设置问题，从而，实施了图形变换与问题探究的有机结合．动手练一练1．用同一种正多边形地板砖密铺地面，为铺满地面而不重叠，那么这种正多边形的地板砖可以是正边形．（只需写出一种即可）1．三（或四，或六）2．小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用 __分钟．2．经分析，安排工序为①、（④②③）、⑤共计12分钟． 3．如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，若不添加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △≌△，则还需增加的一个条件是．4．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在BC AD ，上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个．．适当的条件，使ABE △和CDF △全等，你添加的条件是，并给出你的证明．3．ABC DCB ∠=∠或AC DB =均可． 4．解：①DE DF CG +=证明：连结AD ，则ABC ABD ACD S S S =+△△△，Ｂ即111222AB CG AB DE AC DF =+ 因为AB AC =，所以CG DE DF =+②当点D 在BC 延长线上时，①中的结论不成立，有DE DF CG -=． 理由：连结AD ，则ABD ABC ACD S S S =+△△△，即有，111222AB DE AB CG AC DF =+ 因为AB AC =，所以DE CG DF =+，即DE DF CG -=． 当D 点在CB 的延长线上时，则有DF DE CG -=，说明方法同上．5．如图1，2所示，将一X 长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB 剪下，将AOB △完全展开．（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB △应满足的条件．AG E BDFAG BFDC EＣ图1图2图3ABO5．（1）展开图如图所示，它是菱形．（展开图只要求画出示意图即可．） 证明：由操作过程可知OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．又OA OB ⊥，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．（2）AOB △中，45ABO =∠（或45BAO =∠或OA OB =）．6．将图（1）中的矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ABC △沿着AD 方向平移，得到图（2）中的A BC ''△，除ADC △与C BA ''△全等外，你还可以指出哪几对．．．全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．6．有两对全等三角形，分别为：AA E C CF ''△≌△分 A DF CBE '△≌△解法一：求证：AA E C CF ''△≌△ 证明：由平移的性质可知：AA CC ''=，又A C '∠=∠∵，90AA E C CF ''∠=∠=AA E C CF ''∴△≌△解法二：求证：A DF CBE '△≌△证明：由平移的性质可知：A E CF '∥，A F CE '∥∴四边形A ECF '是平行四边形D CBE FA '图（2）A F CE '=∴，A E CF '= AB CD '=∵DF BE =∴又90B D ∠=∠=∵A DF CBE '∴△≌△7．如图，ABC △中，90ACB =∠，AC BC =，CO 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC CB ，的延长线于点G H ，．（1）试写出图中除AC BC OA OB OC ===，外其他所有相等的线段； （2）请任选一组你写出的相等线段给予证明． 我选择证明=．7．（1）CG BH AG CH OG OH ===，， （2）90ACB AC BC AO BO ===∠，，，45CO OB CO AB ABC ∴=⊥=，，∠． 9090COG GOB BOH GOB +=+=∠∠，∠∠，COG BOH ∴=∠∠．又4518045135ABC OCB OBH ==∴=-=∠∠，∠，9045135GCO =+=∠， GCO OBH ∴=∠∠． （利用等角的补角相等证GCO OBH =∠∠亦可） GCO HBO ∴△≌△ CG BH ∴=．8．为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯的现象时有发生的实际情况，八年级某班开展一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，它们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志. 数据汇总如下：BC OHG部分时段车流量情况调查表回答下列问题：⑴请你写出2条交通法规：①. ②.⑵画出2枚交通标志并说明标志的含义.标志含义: 标志含义:⑶早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是，这三个时段的车流总量的中位数是. ⑷观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一个现象并分析其产生的原因. ⑸通过分析写一条合理化建议.8．（1）如：红灯停、红灯行；过马路要走人行横道线；不可酒后驾车等． （2）标志及标志含义只要解释合理即可． （3）74；2747．（4）现象：如果行人违章率最高，汽车违章率最低；产生原因是汽车驾驶员是专门培训过的，行人存在图方便的心理等． （5）建议：如：广泛宣传交通法规；增加值勤警力等．（只要建议合理均可）9．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．图略．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FEFD =． （2）答：（1）中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ．因为12∠=∠，AF 为公共边， 可证AEF AGF △≌△．所以AFE AFG ∠=∠，FE FG =．由60B ∠=，ADCE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=．所以60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=． 所以60CFG ∠=．由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△． 所以FG FD =． 所以FE FD =． 证法二：如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ．ONPM图3图1 图2图4因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线， 所以可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． 所以601GEF ∠=+∠，FG FH =． 又因为1HDF B ∠=∠+∠， 所以GEF HDF ∠=∠． 因此可证EGF DHF △≌△． 所以FE FD =．10．如图（8－1），四边形ABCD 是O 的内接四边形，点C 是BD 的中点，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．（1）求证：AB DE CD BC =． （2）如果四边形ABCD 仍是O 的内接四边形，点C 在劣弧BD 上运动，点E 在AD 的延长线上运动，切线CE 变为割线EFC ，请问要使（1）的结论成立还需要具备什么条件？请你在图（8－2）上画出示意图，标明有关字母，不要求进行证明．10．证明：（1）连结AC ．C 是BD 的中点BC DC BAC DAC ∴==，∠∠CE 切O 于点C ，点C 在O 上 DCE DAC BAC ∴==∠∠∠图8－1图8－2四边形ABCD 是O 的内接四边形，EDC B ∴=∠∠ EDC CBA ∴△∽△AB BCCD DE∴=AB DE CD BC ∴=（2）条件为：DF BC =（或DF BC =或DAF BAC =∠∠ 或DCF BAC =∠∠或FC BD ∥等） 如右图，（图中虚线为可能画的线）11．如图（a ），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O ． （1）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转90角，在图14（b ）中作出旋转后的OAB △（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．（2）在图14（a ）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是，直线AC ，BD 相交成度角． （3）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图14（c ），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若OAB △绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．11．（1）如图（a ）（请注意一些问题，AB ，字母位置不能互换，加弧线，连结AB ） （2）AC BD =；90(90)图（a ）图（b ）图（c ）（3）成立．如图（90COD AOB ∠=∠=∵COA AOD AOD DOB ∠+∠=∠+∠∴即：COA DOB ∠=∠（或由旋转得COA DOB ∠=∠）CO OD =∵OA OB =COA DOB ∴△≌△ AC BD =∴延长CA 交OD 于E ，交BD 于F （下面的证法较多）COA DOB ∵△≌△，ACO ODB ∠=∠∴CEO DEF ∠=∠∵90COE EFD ∠=∠=∴AC BD ∴⊥旋转更大角时，结论仍然成立．图（a ）图（b ）。
中考数学开放性问题PPT课件
A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
写出图中至少两对类似三角形（注意：不得添
加字母和线段），并说明理由。
⊿ADE～ ⊿ACB
B
⊿FEC～ ⊿FBD
⊿AEB～ ⊿ADC
⊿CFD～ ⊿EFB
E
C
F
小试身手
A
B
C
A
A A
二分之一点
二分之一点
二分之一点
二分之一点
B
四四四 分分分
之之之
一一一
点点点
(1)
CB
A
二
分 之
C
一
点
(2) A
B
二分之一点 C
(3)
A
三分之一点 三分之一点
B 四分之一点 (4)
B C
二分之一点
二分之一点
C
(5)
B
平行与BC 且类似比是 1/√2
二分之一点 C (6)
x 1、请你写出一个b值，使得函数y= 2+2bx+1在第一
填写条件时，应符合题意或相关的概念、 性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线
中考数学复习专题课件：开放性问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1（义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
810360专题：开放型。
分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2（宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
中考数学专题复习 开放性问题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年湖北襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
中考数学中的开放性问题剖析
ED COBA（图4） 中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（此文在国家级核心期刊《中学数学教学参考》2007.4上发表）新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试,并在不同程度上给予体现,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。
这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。
尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面例析活跃在2006年中考数学试题中的开放性试题. 一、开放题常见的题型开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。
开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．1．条件开放型 例1．（2006 海口）如图， D 、E 分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE ∽△ABC.分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可.如∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 等∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 等.评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题．在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求．这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情景中创造性地解决问题. 2．结论开放型 例2．（2006 南昌）如图AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 弦OD ⊥CB 于点E ，交BC 于点D （1）请写出三个不同类型的正确结论： （2）连结CD ，设∠CDB =α，∠ABC =β， 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明.解：（1）不同类型的正确结论不惟一．以下答案供参考：① BE = CE ；② BD⌒ = CD ⌒ ；③ ∠BED = 90°；④ ∠BOD ② =∠A ；⑤ AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦ 222OE BE OB +=；⑧ S △ABC = BC·OE ；⑨ △BOD 是等腰三角形；⑩ △BOE ∽ △BAC ；等等．AB CDE（2）α与β的关系式主要有如下两种形式． ①答；α与β之间的关系式为α-β=90°.证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠A +∠ABC =90°．又∵四边形ACDB 为圆的内接四边形，∴∠A +∠CDB =180°．∴∠CDB -∠ABC =90°,即α-β = 90°. ②答α与β之间的关系式为α>2β. 证明 ∵ OD =OB ， ∴∠ODB =∠ OBD ．又∵∠ OBD =∠ABC +∠CBD ， ∴∠ODB>∠ABC ．∵OD ⊥BC ，∴CD BD =，∴CD =BD ．∴∠CDO =∠ODB =12∠CDB ，∴12∠CDB >∠ABC ，即α>2β．评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。
中考数学中的开放性问题
添一个条件（只需添加一个条件）
BE=EC
。
B
A
E1
2
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
C
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H
分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯
形ABCD满足条件
AD=BC
时 ，四边
形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）
D
G
H
A E
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
方法开放 图形开放
学科开放
条件结论均开放的问题：
例6 如图在△ABD与△ACE中，有下列四个论断①
AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其
中三个诊断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一
个真命题是 ① ）
A
B
①③④ ②
C
D
E
小结
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！接着像锅底色的灰唇河滩鹏一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立蠕动的特技神功，身上忽然生出了八十只美如浆叶一 般的深蓝色翅膀！紧接着旋动轻灵雅秀的妙耳朵一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动优雅飘忽的玉臂，像深黑色的绿臀城堡虎般的一挥，时尚的秀丽光滑的下巴猛 然伸长了七十倍，半透明的隐形翅膀也顿时膨胀了八十倍。最后摆起美如无数根弯曲阳光般的披肩金发一扭，萧洒地从里面窜出一道幻影，她抓住幻影粗野地一颤， 一套青虚虚、灰叽叽的兵器⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“啾啾”的美声！。飘然间月光妹妹音速般地使了一套盘坐抽动 跳水桶的怪异把戏，，只见她淡梦色湖光一样的细嫩皮肤中，萧洒地涌出四十片耍舞着⊙金丝芙蓉扇＠的深峡水晶皮虾状的黑熊，随着月光妹妹的晃动，深峡水晶皮 虾状的黑熊像水壶一样在双手上恶毒地安排出片片光柱……紧接着月光妹妹又使 自己俏雅明朗、 雪国仙境一样的玉牙笑出中灰色的菊花味，只见她美若玉葱般的手指 中，酷酷地飞出三十团旋舞着⊙金丝芙蓉扇＠的吊环状的仙翅枕头号，随着月光妹妹的扭动，吊环状的仙翅枕头号像水闸一样，朝着Ｘ．妮什科招待矮小的腿神跃过 去……紧跟着月光妹妹也斜耍着兵器像锁孔般的怪影一样向Ｘ．妮什科招待神跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道金橙色的闪光，地面变成了褐 黄色、景物变成了淡紫色、天空变成了淡蓝色、四周发出了悠闲的巨响。月光妹妹轻盈矫健的玉腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｘ．妮什科招待长长的犹如灯柱 似的肩膀，此时正惨碎成果冻样的墨紫色飞丝，快速射向远方，Ｘ．妮什科招待惊嘶着全速地跳出界外，急速将长长的犹如灯柱似的肩膀复原，但已无力再战，只好 落荒而逃。Ｕ．季圭赤仆人悠然把古古怪怪的葱绿色木偶般的飘发摆了摆，只见二十道忽隐忽现的美如章鱼般的浓雾，突然从深红色烤鸭一样的脖子中飞出，随着一 声低沉古怪的轰响，纯红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的地跳飘渺味在飘然的空气中怪舞。接着粉红色篦子一样的怪辫忽然颤动摇晃起来……奇特的屁股窜 出紫红色的丝丝疯烟……飘浮的手臂窜出深黄色的隐隐奇寒！紧接着抖动紧缩的墨黑色床垫形态的眼睛一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动凹露的烟橙色野猪耳朵 ，像紫罗兰色的灰爪海湾貂般的一抖，闪亮的飘浮的特像辣椒样的手臂瞬间伸长了八十倍，暗黑色弯刀似的怪胃也忽然膨胀了六十倍……最后摇起特像奶酪样的屁股 一摇，威猛地从里面流出一道流光，他抓住流光高雅地
中考数学专题--开放性问题
例1 (无锡)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,在①AB∥CD;② AO=CO;③AD=BC 中任意选取两个作为条件,“四边形 ABCD 是平行四边形”为 结论构造命题. (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例; (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成 “如果……,那么……”的形式)
【解析】 以①②作为条件构成的命题是真命题.
AO BO 证明: ∵A B ∥C D , ∴△A O B ∽△C O D , ∴ OC OD .
∵A O = O C , ∴O B = O D , ∴四边形 A B C D 是平行四边形. ( 2) 根据①③作为条件构成的命题是假命题, 即如果有一组 对边平行, 而另一组对边相等的四边形时平行四边形, 如等 腰梯形符合, 但不是平行四边形; 根据②③作为条件构成的命题是假命题, 即如果一个四边 形 A B C D 的对角线交于 O , 且 O A= O C , AD = BC , 那么这个 四边形时平行四边形, 如图, 根据已知不能推出 O B = O D 或 A D ∥B C 或 A B = D C , 即四边形不是平行四边形.
3.(三明)在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,点 P 在 x 轴上,若以 P,O,A 为顶 点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点共有( A.2 个 C.4 个 【答案】 C B.3 个 D.5 个 )
专题考点 0 3 条件和结论都开放问题
此类问题没有明确的条件和结论, 并且符合条件的结论具有多样性, 因此必 须认真观察与思考, 将已知的信息集中分析, 挖掘问题成立的条件或特定条件下 的结论, 通过设问方式多方面、多角度、多层次探索认定条件和结论. 组成一个 或多个新命题, 并进行证明或判断.
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