模糊集合的基本概念
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二者处理不确定性 1] 度量值都在[0，上取值
共同点
概念上：随机现象，有 明确含义；模糊现象， 没有明确外延； 不同点根源上：条件不充分； 概念外延不明确造成； 手段上：随机中把握广 义因果关系； 统计；模糊中确定广义排中 集；
四、前景 涉及到国民经济各领域，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、 经济管理…… 特别值得一提：20世纪90年代末，空调、冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中广泛采用 模 糊控制技术，日本走在了前列。20世纪90年代初，在杭州产生了第一台模糊控制洗衣机。
参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
0, 0 u 50 1 Qu u502 ~ 1 , 50 u 20 5
1, 1 Y u u 25 2 1 ~ , 5
0 u 25 25 u 200
u2
U
可见：集合之间运算关系与特征函数之间关系运算一一对应。由此： 对
A P(U )
x A u
(1)ABA（u） B(u),A=B A(u)=B(u) <= (2)A∪B（A∪B）(u)= A(u)VB(u)(取大)
(3)A∩B（A∩B）（u）= A(u) B(u)（取小）
~ ~
1 ( 除非 A (u)=0,1) ~
c c 说明 A与 Ac 有一定交迭，界限不分明。 A(u) A (u) 1/ 2, A(u) A (u) 1/ 2, 有
1.4 模糊集合的截集
一、-截集
模糊集可以描述模糊现象，但在实际问题中又需将模糊变为清晰，以 便决策。
例：选某门课程研究生8名，U=｛u1，u2，u3，……，u8｝，考试成 绩依次为95，96，80，91，81，71，89，87。若规定90分以上为
(1)zadeh法： A= A(u1)/u1+A(u2)/ u2+……+ A(un)/ un (0这项可省略) ~ ~ ~
~
(2)序偶表示法：A =｛( A (u1),u1), ( A(u2),u2),…… ( A (un),un)｝（0可省略） ~ ~ ~
~
(3)向量法： A =( A(u1), A(u2),……， (un)) (0不能省略) A ~ ~
二、运算性质 与普通集合运算性质对照，除“互补律”不成立外，其余均成立。
A A 即：∪
~ ~
c
A U,A
Baidu Nhomakorabea~ ~
c
Φ . 用图表示：
A u ~
C
Au ~
Au ~
U 证明：（第一式）
. c c （A∪A ）(u)= A (u)∨A (u)= A (u)∨(1- A (u)) ~ ~ ~ ~ ~ ~
P（U）=｛Φ，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，c｝，｛a，b，c｝｝。
A是U的子集AU（同一层次）或AP（U）（不同层次）。
二、集合运算与性质
交、并、余、差（A\B）：
U
U
A
B
A
B
A
A
C
U
U
A
B
A\ B
A B
A B
性质：设A，B，CP（U），则： 幂等律：A∪A=A，A∩A=A 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A 结合律：（A∪B）∪C =A∪（B∪C）； （A∩B）∩C =A∩（B∩C） 分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 吸收律：A ∪（ A∩ B）=A ，A∩（A∪B）=A 0-1律：A∪Φ=A，A∩Φ=Φ，A∩U=A，A∪U=U 互补律：A∪AC=U，A∩AC=Φ
对偶律：（A∪B）C= AC∩BC，（A∩B）C= AC∪BC 复原律：（AC）C=A
三、特征函数
设A P（U），定义映射：
X A ：U →｛0，1｝
0， u A u | x A u 1， u A
则：XA称为A的特征函数，XA(u)称为u对A的特征值，记为A(u)。
xA
U
A F U ~
例１：U=｛a,b,c,d,e｝,令a|1,b|0.9,c|0.4,d|0.2,e|0,这是Ｕ到 [0，1]的一个映射，记为 Au ，问 Au 是否确定一个模糊集？ ~ ~ 解：这是一个模糊集，表示“圆块块”模糊概念。 例２：讨论
0， 1 A x ~ , 1 100 / x 12 x 1 x 1
~ ~ ~ ~
(2)当U为无限不可列时 ：
A= ~
A(u ) ) ( v u
1
它表示既不是积分，又不是求和，只是一种记法。如年轻人：
A
~
1 25 u 0u
2 u 25 + 1 200 5 25u
/u
1.3模糊集合运算及性质
1, u1 u u2 xA u 其它 0,
A
xA
1, u u1或u u2 x A u u1 u u 2 0,
u
1
u
2
U
u1
特别：
Au 0, A u U Au 1, A U
一、运算规律
A A (u)，故 A 运算A(U)的运算。 ~ ~ ~ ~
1、，= 运算规律：
B 设 A， F（U），对uU, 若有 A(u) B(u), 则 A B ~ ~ ~ ~ ~ ~ 对uU, 若有 A(u)=B(u), 则 A = B ~ ~
~ ~
2、交、并、余运算：
b 0.9 0.2 d 1
a
e
0
0.4 c
所确定的模糊集？
解：当 X>>1时， Ax
~
1 。表示“远大于１的数”。
与“年 Y ”是两个模糊集， 例3：年龄论域Ｕ＝［0，200］，于是“老年” O ~ ~ 轻 zadeh给出它的隶属函数分别为：
0, 1 Qu u 50 2 1 ~ , 5 0 u 50 50 u 200
1
Au ~ Bu ~
1 U U
A B ~ ~
U
A B ~ ~
BA ~ ~
C
例1：设U=｛u1, u2, u3, u4, u5｝,
A ， B F(U). ~ ~
0 .9 0 .8 1 0.1 B= u + u + u + u ~ 1 3 2 5
A= ~
求
1 0 .9 0 .4 0 .2 + + + u1 u2 u3 u4
优秀，则｛u1，u2，u4｝为优等生集合。而“优等生”是一模糊概
念，用隶属度表示为： 优等生 A= ~
1 1 0.7 0.9 0.2 0 0.8 0.6 + + + + + + + 。 u1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8
A 则“优等生”人数=~ (u) 0.9的人数；
A 0.9=｛u1，u2，u4｝普通集 ~ 合
~
~
(4)综合法：A=( A (u1)/ u1, A(u2)/ u2, ……, A(un)/ un) (0可省略) ~ ~ ~
~
A 例4：设U=｛1，2，3，4，5，6，7｝， F(u)， 且有： (1)=0， A(2)=0.3, A ~ ~ ~ A A (3)=0.8, A (4)=1, A(5)=0.8, A(6)=0.7, A (7)=0, 写出 A 各种表示法， 的意义？ 试 ~
模 糊 数 学
主讲 张开智 教授
绪论
第一章 模糊集合的基本概念
第二章 模糊模式识别
第三章 确定隶属函数方法
第四章 模糊关系 第五章 模糊聚类分析
第六章 F综合评判
绪论
一、什么是Fuzzy mathematics？
是涉足模糊现象领域的一门数学，是运用数学方法研究和处理带有模糊现象的 一门新兴学科。 创始人：美国加利福尼亚大学，著名控制论专家L.A.zadeh.1965 《Fuzzy sets》，information and control 例：①电视机清晰程度控制、空调调节等 ②在拥挤的停车场停下一辆车……
~
在论域U上给定映射： ：U[0，1]， u| A u
~
称确定了U上的一个模糊子集，记为 A 称为 A的隶属函数， A u 为 A 在处隶属度，简记 Au ~ ~
~
~
~
与普通集合一样，与 A 形成一一对应关系。 ~
Au ~
1
论域上的 A 可表示为：
~
二、产生背景： ①随着计算机技术的发展 ②抓主要矛盾，精确的成为模糊性；
③非精确领域，如人文科学发展的需要。 如：天气预报，对人的品行评价； 某日上午10点，校门口迎接一位“大胡子、高个子、花头发、戴宽 边黑色眼镜的中年男子”。
三、与概率论的关系
社会科学中存在两种量：确定性和不确定性。
确定性量 经典数学、必然关系、 微分方程等 随机性 — 随机数学、偶然性关系 ，“明天有雨”有时间 性。 量 不确定性量 模糊数学，“中年人” 无时间性。
A ∪ B A∩ B ，AC ， ~ ~ ~ ~
解： A∪B = ~ ~
1 0.9 1 0.2 0.1 0 .9 0 .8 0 .4 + + + + + + . , ， A ∩B = ~ ~ u1 u 2 u3 u4 u5 u1 u2 u3
0 .8 1 AC 0.1 0.6 + + + = u u3 u3 u4 2
将上述实际问题抽象为一般数学公式：
设 A F(U)，对于[0，1]
~
记：( A ) ~
A
｛u| A (u) ｝
~
则：A称为 A 的截集，-阈值或置信水平。 ~
设 A ，B ~ ~
，
CF(U),对uU,有： ~
C (u)= A (u) B (u), 称 C = A∪B ~ ~ ~ ~ ~ ~
C(u)= A(u) B(u), ~ ~ ~
称
C= A ∩B ~ ~ ~
B(u)=1- A (u)， 称 B= AC ~ ~ ~
用图表示为：
1
Bu ~ Au ~
(4)AC AC（u）=1 A（u） 例：设U=N全体自然数，A=｛1，3，5，7｝，B=｛1，2，3，4，5，6，7｝ 试画出特征函数，求A∩B，A∪B， AC ……
1.2 模糊集合及表示法
一、糊集合的概念 普通集合，“非此即彼”，A｛0，1｝
A 模糊集：“亦此亦彼”，[0，1]，为此，定义：
问：年龄分别为55，20, 40岁的人是年轻或是年老？ 解：Q(55)=0.5, Q (20)=0, Q(40)=0，
~ ~ ~
Y (55)=0.027, Y (20)=1, Y (40)=0.1. ~ ~ ~
故：55岁为年老，20岁为年轻。
二、模糊集合表示方法
１、当Ｕ为有限集时，U=｛u1,u2,……,un｝
~
~
~
~
~
~
A 解：zadeh法： = 0 + 0.3 + 0.8 + 1 + 0.8 + 0.7 + 0 3 1 2 4 5 6 7 ……
~
A的意义：“接近4的数” ~
2、当U为无限集时： (1)无限可列时： 按规律一一列出： 如zadeh式 A = A (u1)/u1+ A (u2)/ u2+…… A (un)/ un+……
第一章 模糊集合的基本概念
重点：
复习普通集合、引出模 糊集合。 定义、运算、性质与普 通集合的关系。
1.1普通集合
一 概念 具有某种共同特点，彼此又能相互区别的个体构成的整体 A，B，C，……；元素a，b，c，…… 论域：讨论问题的范围，U，V，X，Y，…… 元素与集合：uA，uA 集合与集合；， 表示法：列举法、定义法、特征函数法。 幂集论域中的集合为元素的集合，U的幂集记为P（U） 例：U=｛a，b，c｝，则
共同点
概念上：随机现象，有 明确含义；模糊现象， 没有明确外延； 不同点根源上：条件不充分； 概念外延不明确造成； 手段上：随机中把握广 义因果关系； 统计；模糊中确定广义排中 集；
四、前景 涉及到国民经济各领域，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、 经济管理…… 特别值得一提：20世纪90年代末，空调、冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中广泛采用 模 糊控制技术，日本走在了前列。20世纪90年代初，在杭州产生了第一台模糊控制洗衣机。
参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
0, 0 u 50 1 Qu u502 ~ 1 , 50 u 20 5
1, 1 Y u u 25 2 1 ~ , 5
0 u 25 25 u 200
u2
U
可见：集合之间运算关系与特征函数之间关系运算一一对应。由此： 对
A P(U )
x A u
(1)ABA（u） B(u),A=B A(u)=B(u) <= (2)A∪B（A∪B）(u)= A(u)VB(u)(取大)
(3)A∩B（A∩B）（u）= A(u) B(u)（取小）
~ ~
1 ( 除非 A (u)=0,1) ~
c c 说明 A与 Ac 有一定交迭，界限不分明。 A(u) A (u) 1/ 2, A(u) A (u) 1/ 2, 有
1.4 模糊集合的截集
一、-截集
模糊集可以描述模糊现象，但在实际问题中又需将模糊变为清晰，以 便决策。
例：选某门课程研究生8名，U=｛u1，u2，u3，……，u8｝，考试成 绩依次为95，96，80，91，81，71，89，87。若规定90分以上为
(1)zadeh法： A= A(u1)/u1+A(u2)/ u2+……+ A(un)/ un (0这项可省略) ~ ~ ~
~
(2)序偶表示法：A =｛( A (u1),u1), ( A(u2),u2),…… ( A (un),un)｝（0可省略） ~ ~ ~
~
(3)向量法： A =( A(u1), A(u2),……， (un)) (0不能省略) A ~ ~
二、运算性质 与普通集合运算性质对照，除“互补律”不成立外，其余均成立。
A A 即：∪
~ ~
c
A U,A
Baidu Nhomakorabea~ ~
c
Φ . 用图表示：
A u ~
C
Au ~
Au ~
U 证明：（第一式）
. c c （A∪A ）(u)= A (u)∨A (u)= A (u)∨(1- A (u)) ~ ~ ~ ~ ~ ~
P（U）=｛Φ，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，c｝，｛a，b，c｝｝。
A是U的子集AU（同一层次）或AP（U）（不同层次）。
二、集合运算与性质
交、并、余、差（A\B）：
U
U
A
B
A
B
A
A
C
U
U
A
B
A\ B
A B
A B
性质：设A，B，CP（U），则： 幂等律：A∪A=A，A∩A=A 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A 结合律：（A∪B）∪C =A∪（B∪C）； （A∩B）∩C =A∩（B∩C） 分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 吸收律：A ∪（ A∩ B）=A ，A∩（A∪B）=A 0-1律：A∪Φ=A，A∩Φ=Φ，A∩U=A，A∪U=U 互补律：A∪AC=U，A∩AC=Φ
对偶律：（A∪B）C= AC∩BC，（A∩B）C= AC∪BC 复原律：（AC）C=A
三、特征函数
设A P（U），定义映射：
X A ：U →｛0，1｝
0， u A u | x A u 1， u A
则：XA称为A的特征函数，XA(u)称为u对A的特征值，记为A(u)。
xA
U
A F U ~
例１：U=｛a,b,c,d,e｝,令a|1,b|0.9,c|0.4,d|0.2,e|0,这是Ｕ到 [0，1]的一个映射，记为 Au ，问 Au 是否确定一个模糊集？ ~ ~ 解：这是一个模糊集，表示“圆块块”模糊概念。 例２：讨论
0， 1 A x ~ , 1 100 / x 12 x 1 x 1
~ ~ ~ ~
(2)当U为无限不可列时 ：
A= ~
A(u ) ) ( v u
1
它表示既不是积分，又不是求和，只是一种记法。如年轻人：
A
~
1 25 u 0u
2 u 25 + 1 200 5 25u
/u
1.3模糊集合运算及性质
1, u1 u u2 xA u 其它 0,
A
xA
1, u u1或u u2 x A u u1 u u 2 0,
u
1
u
2
U
u1
特别：
Au 0, A u U Au 1, A U
一、运算规律
A A (u)，故 A 运算A(U)的运算。 ~ ~ ~ ~
1、，= 运算规律：
B 设 A， F（U），对uU, 若有 A(u) B(u), 则 A B ~ ~ ~ ~ ~ ~ 对uU, 若有 A(u)=B(u), 则 A = B ~ ~
~ ~
2、交、并、余运算：
b 0.9 0.2 d 1
a
e
0
0.4 c
所确定的模糊集？
解：当 X>>1时， Ax
~
1 。表示“远大于１的数”。
与“年 Y ”是两个模糊集， 例3：年龄论域Ｕ＝［0，200］，于是“老年” O ~ ~ 轻 zadeh给出它的隶属函数分别为：
0, 1 Qu u 50 2 1 ~ , 5 0 u 50 50 u 200
1
Au ~ Bu ~
1 U U
A B ~ ~
U
A B ~ ~
BA ~ ~
C
例1：设U=｛u1, u2, u3, u4, u5｝,
A ， B F(U). ~ ~
0 .9 0 .8 1 0.1 B= u + u + u + u ~ 1 3 2 5
A= ~
求
1 0 .9 0 .4 0 .2 + + + u1 u2 u3 u4
优秀，则｛u1，u2，u4｝为优等生集合。而“优等生”是一模糊概
念，用隶属度表示为： 优等生 A= ~
1 1 0.7 0.9 0.2 0 0.8 0.6 + + + + + + + 。 u1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8
A 则“优等生”人数=~ (u) 0.9的人数；
A 0.9=｛u1，u2，u4｝普通集 ~ 合
~
~
(4)综合法：A=( A (u1)/ u1, A(u2)/ u2, ……, A(un)/ un) (0可省略) ~ ~ ~
~
A 例4：设U=｛1，2，3，4，5，6，7｝， F(u)， 且有： (1)=0， A(2)=0.3, A ~ ~ ~ A A (3)=0.8, A (4)=1, A(5)=0.8, A(6)=0.7, A (7)=0, 写出 A 各种表示法， 的意义？ 试 ~
模 糊 数 学
主讲 张开智 教授
绪论
第一章 模糊集合的基本概念
第二章 模糊模式识别
第三章 确定隶属函数方法
第四章 模糊关系 第五章 模糊聚类分析
第六章 F综合评判
绪论
一、什么是Fuzzy mathematics？
是涉足模糊现象领域的一门数学，是运用数学方法研究和处理带有模糊现象的 一门新兴学科。 创始人：美国加利福尼亚大学，著名控制论专家L.A.zadeh.1965 《Fuzzy sets》，information and control 例：①电视机清晰程度控制、空调调节等 ②在拥挤的停车场停下一辆车……
~
在论域U上给定映射： ：U[0，1]， u| A u
~
称确定了U上的一个模糊子集，记为 A 称为 A的隶属函数， A u 为 A 在处隶属度，简记 Au ~ ~
~
~
~
与普通集合一样，与 A 形成一一对应关系。 ~
Au ~
1
论域上的 A 可表示为：
~
二、产生背景： ①随着计算机技术的发展 ②抓主要矛盾，精确的成为模糊性；
③非精确领域，如人文科学发展的需要。 如：天气预报，对人的品行评价； 某日上午10点，校门口迎接一位“大胡子、高个子、花头发、戴宽 边黑色眼镜的中年男子”。
三、与概率论的关系
社会科学中存在两种量：确定性和不确定性。
确定性量 经典数学、必然关系、 微分方程等 随机性 — 随机数学、偶然性关系 ，“明天有雨”有时间 性。 量 不确定性量 模糊数学，“中年人” 无时间性。
A ∪ B A∩ B ，AC ， ~ ~ ~ ~
解： A∪B = ~ ~
1 0.9 1 0.2 0.1 0 .9 0 .8 0 .4 + + + + + + . , ， A ∩B = ~ ~ u1 u 2 u3 u4 u5 u1 u2 u3
0 .8 1 AC 0.1 0.6 + + + = u u3 u3 u4 2
将上述实际问题抽象为一般数学公式：
设 A F(U)，对于[0，1]
~
记：( A ) ~
A
｛u| A (u) ｝
~
则：A称为 A 的截集，-阈值或置信水平。 ~
设 A ，B ~ ~
，
CF(U),对uU,有： ~
C (u)= A (u) B (u), 称 C = A∪B ~ ~ ~ ~ ~ ~
C(u)= A(u) B(u), ~ ~ ~
称
C= A ∩B ~ ~ ~
B(u)=1- A (u)， 称 B= AC ~ ~ ~
用图表示为：
1
Bu ~ Au ~
(4)AC AC（u）=1 A（u） 例：设U=N全体自然数，A=｛1，3，5，7｝，B=｛1，2，3，4，5，6，7｝ 试画出特征函数，求A∩B，A∪B， AC ……
1.2 模糊集合及表示法
一、糊集合的概念 普通集合，“非此即彼”，A｛0，1｝
A 模糊集：“亦此亦彼”，[0，1]，为此，定义：
问：年龄分别为55，20, 40岁的人是年轻或是年老？ 解：Q(55)=0.5, Q (20)=0, Q(40)=0，
~ ~ ~
Y (55)=0.027, Y (20)=1, Y (40)=0.1. ~ ~ ~
故：55岁为年老，20岁为年轻。
二、模糊集合表示方法
１、当Ｕ为有限集时，U=｛u1,u2,……,un｝
~
~
~
~
~
~
A 解：zadeh法： = 0 + 0.3 + 0.8 + 1 + 0.8 + 0.7 + 0 3 1 2 4 5 6 7 ……
~
A的意义：“接近4的数” ~
2、当U为无限集时： (1)无限可列时： 按规律一一列出： 如zadeh式 A = A (u1)/u1+ A (u2)/ u2+…… A (un)/ un+……
第一章 模糊集合的基本概念
重点：
复习普通集合、引出模 糊集合。 定义、运算、性质与普 通集合的关系。
1.1普通集合
一 概念 具有某种共同特点，彼此又能相互区别的个体构成的整体 A，B，C，……；元素a，b，c，…… 论域：讨论问题的范围，U，V，X，Y，…… 元素与集合：uA，uA 集合与集合；， 表示法：列举法、定义法、特征函数法。 幂集论域中的集合为元素的集合，U的幂集记为P（U） 例：U=｛a，b，c｝，则