模糊集合的基本概念
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊集理论及应用讲解
经典集合与特征函数
4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
1、隶属函数
[0 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为 ，1]上某个值的函数，
即：
：U→[ μA
0，1的一个隶属函数。
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
λ水平截集
解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性 质：
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊控制 - 数学基础
一、模糊集合
6、运算性质
F集幂等律： A A=A，A A=A F集两极律：A =，A U=U F集同一律： A U=A，A =A F集交换律： A B=B
A，A B =B A
F集结合律： A B C =A
B
C , A B C =A
4
一、模糊集合
例1 设集合U 由1到5的五个自然数组成，用上述前三 种方法写出该集合的表达式。
解：(1)列举法 U ={1,2,3,4,5} (2)定义法 U ={u|u为自然数 且 1u5 }
(3)归纳法 U ={ui+1 = ui+1, i = 1,2,3,4, u1 = 1}
（4）特征函数表示法：集合U通过特征函数来TU(u)表示 u U 1 TU (u) u U 0
A
其中隶属函数定义为
x, ( x) x U
A
A ( x)
1 1 10 x 2
“接近于0的实数”之模糊集合
12
一、模糊集合
例：拥有离散性论域的模糊集合 假设U ={ 0,1,2,...,9 } 为代表一个家庭中，所可能拥有子女个数的集 合，令三个模糊集合之定义为A：子女数众多，B：子女数适中，C：子 女数很少，其隶属函数的定义如表所示。
子女数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子女众多 (A) 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 1 1 子女适中 (B) 0 0 0.2 0.7 1 0.7 0.2 0 0 0 子女很少 (C) 1 1 0.8 0.2 0.1 0 0 0 0 0
一、模糊集合
3、模糊集合的表示
当论域U由有限多个元素组成时，模糊集合可用向量表示法或扎德 表示法表示。设 U {x1 , x2 , , xn } { 0,1, 2,..., 9 }
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是 即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然 数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集， 否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
简述模糊集合的概念
简述模糊集合的概念
模糊集合是指一个元素可能具有一定程度的隶属度，即一个元素可能同时属于多个集合。
它与传统的 crisp (确定性) 集合不同，传统集合中的元素要么完全属于集合，要么完全不属于集合，而模糊集合中的元素可能会部分属于集合。
模糊集合的隶属度可以用数值来表示，一般为0到1之间的实数。
当隶属度为0时，元素完全不属于集合，当隶属度为1时，元素完全属于集合。
模糊集合可以用来描述许多实际问题，如天气预报、医学诊断、模式识别等。
模糊集合理论是人工智能领域中的重要分支之一，被广泛应用于各种智能系统中。
sugeno模糊模型的基本概念
Sugeno模糊模型是一种广泛应用于控制系统、模式识别和决策系统中的数学模型，它基于模糊集合理论和模糊逻辑，能够处理不确定性和模糊性信息，具有很强的鲁棒性和适应性。
本文将对Sugeno模糊模型的基本概念进行深入探讨，包括模糊集合、隶属函数、模糊规则以及模糊推理等方面。
1. 模糊集合的概念模糊集合是指元素的隶属度不是0或1，而是在0和1之间的一种中间状态。
它是模糊逻辑中的基本概念，表示了元素与某个概念的模糊程度。
在Sugeno模糊模型中，模糊集合通常用隶属函数来描述，隶属函数可以是三角形、梯形、高斯等形式。
2. 隶属函数的定义隶属函数是描述元素与模糊集合的隶属关系的函数。
它通常具有单调递增或单调递减的特性，可以通过一些参数来调节其形状。
对于三角形隶属函数，可以通过中心和宽度两个参数来确定其形状。
3. 模糊规则的建立模糊规则是Sugeno模糊模型中的重要组成部分，它描述了输入变量和输出变量之间的关系。
一般来说，模糊规则由若干个条件部分和一个结论部分组成，条件部分使用模糊逻辑运算符来连接多个隶属函数，结论部分则是输出变量的线性组合。
4. 模糊推理的方法模糊推理是Sugeno模糊模型的核心，它通过模糊规则对输入变量进行模糊推理，得到输出变量的模糊值，并通过去模糊化处理得到模糊输出。
常见的模糊推理方法包括最大隶属度法、最小最大法、加权平均法等。
Sugeno模糊模型通过模糊集合、隶属函数、模糊规则和模糊推理等基本概念，能够有效地处理不确定性和模糊性信息，具有广泛的应用前景和理论研究价值。
希望本文对Sugeno模糊模型的基本概念有所帮助，引发更多学者对其深入研究，推动模糊逻辑在各个领域的应用和发展。
Sugeno模糊模型是模糊逻辑在实际应用中的典型代表，在控制系统、模式识别、决策系统等领域展现出了强大的优势。
其基本概念包括模糊集合、隶属函数、模糊规则和模糊推理等，下面将对每个概念进行进一步扩展。
5. 模糊集合的运算在Sugeno模糊模型中，模糊集合之间可以进行交、并、补等运算，这使得模糊集合能够灵活地表达复杂的不确定性信息。
模糊控制02-模糊集合及其基本运算
中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
1.4模糊集的基本概念分解
序偶表示法
A {(u, A(u)) u U}
即
A a,1 , (b,0.9), (c,0.4), (d,0.3), (e, 0)
如果U是无限不可数集，可表示为
利用模糊现象来解决问题
★例如找一个高个子、大胡子的人 ★伊索寓言伊索应用模糊概念帮主 人度过难关
模糊数学不是让数学变成模糊的东西，而是
要让数学进入模糊现象这个禁区.但是，也不能 把“模糊”两字看成纯粹消极的贬义词。过分的 精确反倒模糊，适当地模糊反而精确。在许多控 制过程中，模糊的手段常常可以达到精确的目的。
低，直到达到这样一个阈值，一旦超过它，精 确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特 性”.
模糊性出现的两个原因： ●复杂程度越高，有意义的精确化能力便越低.
复杂性意味着因素众多，当人们不可能对全 部因素都进行考察，而只能在一个压缩了的 低维因素空间上来观察问题的时候，即使是 本来明确的概念也可能变得模糊，这可能是 模糊性出现的一种原因；
( A B) B B ( A B) B B
(5) 分配律
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 两极律
A U U , A U A, A A, A
c
0.5 0.3 0.1 0.7 B u1 u2 u4 u5
一般，模糊集A与B的并、交和余的计算。按论 域U为有限和无限，分两种情况表示：
设论域 U {u1 , u 2 ,, u n } 且模糊集 A(ui ) A , ui i 1
第七章 模糊控制技术第三节模糊集合中的基本定义和运算
2.模糊集合的基本运算
• 设A和B是U中的模糊子集，隶属函数分别为μA和μB，则模 糊集合中的并、交、补等运算可以定义如下： 并运算：并（A∪B）的隶属函数μA∪B，对所有μ∈U被逐 点定义为取极大值运算即：（式中“∨”为取极大值运算 ）
交运算：交பைடு நூலகம்A∩B)的隶属函数μA∩B，对所有μ∈U被逐点 定义为取极小值运算即：（式中“∧”为取极小值运算）
第七章 模糊控制技术
主要内容
一、模糊集合 二、隶属函数及其确定 三、模糊集合中的基本定义和运算 四、模糊关系 五、模糊推理 六、模糊控制器的设计 七、模糊控制器设计实例
三、模糊集合中的基本定义和运算
1.基本定义
• 与经典集合论一样，模糊集合也定义了基本运算如并、交、 补等。以下定义模糊集合的幂集、空集、全集、集合的包含 和相等。 论域U中模糊集合的全体称为U中的模糊幂集，记做F(U)：
补运算：模糊集合A的补隶属函数μA ，对所有被逐点定义 为
三、模糊集合中的基本定义和运算
3.模糊集合运算的基本定律
模糊集合的运算满足以下的基本定律：
设U为论域。A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：
幂等律：
结合律： 交换律：
分配律：
同一律：
零一律：
吸收律：
双重否认律：
德·摩根律：
➢ 可以看出，模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，但是 模糊集运算不满足互补律，即：
对于任一u∈U，若μG(x)=0，称A为空集φ；若μG(x)=1，则 称为全集，A=U。
设A和B是U的模糊集，即A、B∈F(U)，若对任一u∈U都有 B(U)≤B(U)，则称B包含于A，或称B是A的子集，记做 。若对于任一u∈U都有B(U)=A(U)，则称B等于A，记做B=A 。
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊集
.
第29页
注意 不再成立. 例 设U 从而
对于模糊集合，互补律
3. 向量表示法：
U
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n )).
若论域为可列集则上的模糊子集
U {u 1 , u 2 , , u n , , },
A
A (u i )
ui
第13页
i 1
例3 某车间由五个工人组成一个工作小组作为 论域 U {u 1,u 2,u 3,u 4,u 5}, “技术优良”为一模 糊概念，每个工人附以该工人属于“技术优良” 的等级顺次为0.75，0.50，0.98，0.66，0.84，则 模糊子集 A 为
第19页
例 1 U x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 商 品 集 ） （ , A＝ “ 商 品 好 ” , A B 即 xi , 0 .1 x1 0 .6 x1 0 .3 x2 0 .5 x2 0 .6 x3 0 .7 x3 A B
第20页
A A A, A A A; A B B A, A B B A; ( A B ) C A ( B C ), ( A B ) C A ( B C ); A ( A B ) A , A ( A B ) A; ( A B ) C ( A C ) ( B C ), ( A B ) C ( A C ) ( B C );
,
xA c源自U1 A (x)
.
模糊集合论
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
c
扩张：点集映射 集合变换
如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二 元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c=a； 互余律：a∨ac=1， a∧ac=0， 则称(L,∨,∧,c )为一个Boole代数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(a∨b)c = ac∧bc， (a∧b)c = ac∨bc， 则称(L,∨,∧,c ) 为一个软代数.
设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下 列运算性质：
分配律：( a∨b )∧c = ( a∧c )∨( b∧c ) , ( a∧b )∨c = ( a∨c )∧( b∨c ) .
qca计算原理
qca计算原理QCA计算原理QCA（Qualitative Comparative Analysis）是一种定性比较分析方法，主要用于研究多个因素对于某一结果的影响关系。
本文将介绍QCA的计算原理，包括基本概念、运算步骤以及应用案例等内容。
一、基本概念1.1 模糊集合QCA中的模糊集合是指对于某一因素，根据其取值范围进行划分。
例如，对于一个变量X，可以将其划分为低、中、高三个模糊集合，分别表示取值较小、中等和较大。
1.2 条件配置条件配置是指将多个因素组合起来，形成若干个条件配置。
每个条件配置由多个因素的取值组成。
例如，对于两个因素X和Y，每个因素都有三个模糊集合，则可以形成9个条件配置。
1.3 结果配置结果配置是指对于每个条件配置，根据某一结果进行分类。
例如，对于某一疾病的治疗效果，可以根据治疗结果将条件配置分为治愈、好转和无效三类。
二、运算步骤2.1 数据准备需要准备相关数据，包括各个因素的取值范围和结果分类。
同时，还需要根据实际情况确定每个因素的重要性权重。
2.2 模糊化将各个因素的取值转化为模糊集合。
可以根据实际情况确定划分的模糊集合数量和取值范围。
2.3 条件配置根据各个因素的模糊集合，生成所有可能的条件配置。
根据组合数学的原理，条件配置的数量等于各个因素模糊集合数量的乘积。
2.4 结果配置根据每个条件配置和结果分类，将条件配置进行分类。
2.5 运算根据条件配置和结果配置，进行运算。
运算的目标是找到一组满足条件配置的因素组合，使得其对应的结果配置最为符合实际情况。
2.6 结果解释根据运算结果，解释各个因素对于结果的影响程度。
可以通过计算每个因素的重要性指数，来评估其对结果的贡献程度。
三、应用案例QCA方法可以应用于各个领域的研究，例如社会科学、医学和管理学等。
以下是一个简单的应用案例：假设我们想研究某地区的疾病治疗效果与多个因素之间的关系，包括治疗时间、用药剂量和患者年龄等因素。
首先，我们需要收集相关数据，并确定每个因素的重要性权重。
模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。
“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。
因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。
经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。
如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。
而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。
是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。
这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。
当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。
关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。
至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。
不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。
模糊性来源于事物的变化过程。
处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。
例如“青年人”这个模糊概念。
根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。
因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。
从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。
模糊集合的基本概念与模糊关系
（B ∩ C）（A ∪ B）（A ∪ C） = ∩ （8）（A ∪
（9）
A= A
A ∪ B = A∩ B ———— A ∩ B = A∪ B
————
（10）
(德莫尔甘定律)
（11）
A ∪ = ，A ∩ = A A ∪ = A，A ∩ =
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X ×Y ={( x, y) x∈X, y∈Y}
中的模糊关系R， 中的模糊关系 ，就是在 来表示特征的模糊集R 来表示特征的模糊集 若 X =Y 则把 X × X
X ×Y
它以隶属度函数
R(x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系 中的模糊关系称为 上的模糊关系. 上的模糊关系
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中： 其中：
X = X1 × X2 ×Xn
中的n元模糊集R 中的n元模糊集R
R(x1, x2,xn)
i =1,2,n
来表示的模糊集 来表示的模糊集R 模糊集
xi ∈Xi
为汽车， 例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系 为汽车 比 好 x,y指人 指人， x和 相象” 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
0.5 0.8
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B = 0.3 0.7 0.4 0.8 0.5 ∧ 0.8 0.3 ∧ 0.5 0.5 0.3 = = 0.3 0.7 0.4 ∧ 0.3 0.8 ∧ 0.7
_
(5)余模糊矩阵： A 余模糊矩阵： 余模糊矩阵 模糊矩阵 例4 设
性质2 性质
I R=R I =R O R=R O=O E R=R E=E
模糊数学整理
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
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参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
Байду номын сангаас
二、运算性质 与普通集合运算性质对照，除“互补律”不成立外，其余均成立。
A A 即：∪
~ ~
c
A U,A
~ ~
c
Φ . 用图表示：
A u ~
C
Au ~
Au ~
U 证明：（第一式）
. c c （A∪A ）(u)= A (u)∨A (u)= A (u)∨(1- A (u)) ~ ~ ~ ~ ~ ~
设 A ，B ~ ~
，
CF(U),对uU,有： ~
C (u)= A (u) B (u), 称 C = A∪B ~ ~ ~ ~ ~ ~
C(u)= A(u) B(u), ~ ~ ~
称
C= A ∩B ~ ~ ~
B(u)=1- A (u)， 称 B= AC ~ ~ ~
用图表示为：
1
Bu ~ Au ~
~ ~ ~ ~
(2)当U为无限不可列时 ：
A= ~
A(u ) ) ( v u
1
它表示既不是积分，又不是求和，只是一种记法。如年轻人：
A
~
1 25 u 0u
2 u 25 + 1 200 5 25u
/u
1.3模糊集合运算及性质
1, u1 u u2 xA u 其它 0,
A
xA
1, u u1或u u2 x A u u1 u u 2 0,
u
1
u
2
U
u1
特别：
Au 0, A u U Au 1, A U
P（U）=｛Φ，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，c｝，｛a，b，c｝｝。
A是U的子集AU（同一层次）或AP（U）（不同层次）。
二、集合运算与性质
交、并、余、差（A\B）：
U
U
A
B
A
B
A
A
C
U
U
A
B
A\ B
A B
A B
性质：设A，B，CP（U），则： 幂等律：A∪A=A，A∩A=A 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A 结合律：（A∪B）∪C =A∪（B∪C）； （A∩B）∩C =A∩（B∩C） 分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 吸收律：A ∪（ A∩ B）=A ，A∩（A∪B）=A 0-1律：A∪Φ=A，A∩Φ=Φ，A∩U=A，A∪U=U 互补律：A∪AC=U，A∩AC=Φ
A ∪ B A∩ B ，AC ， ~ ~ ~ ~
解： A∪B = ~ ~
1 0.9 1 0.2 0.1 0 .9 0 .8 0 .4 + + + + + + . , ， A ∩B = ~ ~ u1 u 2 u3 u4 u5 u1 u2 u3
0 .8 1 AC 0.1 0.6 + + + = u u3 u3 u4 2
(1)zadeh法： A= A(u1)/u1+A(u2)/ u2+……+ A(un)/ un (0这项可省略) ~ ~ ~
~
(2)序偶表示法：A =｛( A (u1),u1), ( A(u2),u2),…… ( A (un),un)｝（0可省略） ~ ~ ~
~
(3)向量法： A =( A(u1), A(u2),……， (un)) (0不能省略) A ~ ~
对偶律：（A∪B）C= AC∩BC，（A∩B）C= AC∪BC 复原律：（AC）C=A
三、特征函数
设A P（U），定义映射：
X A ：U →｛0，1｝
0， u A u | x A u 1， u A
则：XA称为A的特征函数，XA(u)称为u对A的特征值，记为A(u)。
xA
优秀，则｛u1，u2，u4｝为优等生集合。而“优等生”是一模糊概
念，用隶属度表示为： 优等生 A= ~
1 1 0.7 0.9 0.2 0 0.8 0.6 + + + + + + + 。 u1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8
A 则“优等生”人数=~ (u) 0.9的人数；
A 0.9=｛u1，u2，u4｝普通集 ~ 合
第一章 模糊集合的基本概念
重点：
复习普通集合、引出模 糊集合。 定义、运算、性质与普 通集合的关系。
1.1普通集合
一 概念 具有某种共同特点，彼此又能相互区别的个体构成的整体 A，B，C，……；元素a，b，c，…… 论域：讨论问题的范围，U，V，X，Y，…… 元素与集合：uA，uA 集合与集合；， 表示法：列举法、定义法、特征函数法。 幂集论域中的集合为元素的集合，U的幂集记为P（U） 例：U=｛a，b，c｝，则
~
~
(4)综合法：A=( A (u1)/ u1, A(u2)/ u2, ……, A(un)/ un) (0可省略) ~ ~ ~
~
A 例4：设U=｛1，2，3，4，5，6，7｝， F(u)， 且有： (1)=0， A(2)=0.3, A ~ ~ ~ A A (3)=0.8, A (4)=1, A(5)=0.8, A(6)=0.7, A (7)=0, 写出 A 各种表示法， 的意义？ 试 ~
u2
U
可见：集合之间运算关系与特征函数之间关系运算一一对应。由此： 对
A P(U )
x A u
(1)ABA（u） B(u),A=B A(u)=B(u) <= (2)A∪B（A∪B）(u)= A(u)VB(u)(取大)
(3)A∩B（A∩B）（u）= A(u) B(u)（取小）
1
Au ~ Bu ~
1 U U
A B ~ ~
U
A B ~ ~
BA ~ ~
C
例1：设U=｛u1, u2, u3, u4, u5｝,
A ， B F(U). ~ ~
0 .9 0 .8 1 0.1 B= u + u + u + u ~ 1 3 2 5
A= ~
求
1 0 .9 0 .4 0 .2 + + + u1 u2 u3 u4
~
在论域U上给定映射： ：U[0，1]， u| A u
~
称确定了U上的一个模糊子集，记为 A 称为 A的隶属函数， A u 为 A 在处隶属度，简记 Au ~ ~
~
~
~
与普通集合一样，与 A 形成一一对应关系。 ~
Au ~
1
论域上的 A 可表示为：
~
~ ~
1 ( 除非 A (u)=0,1) ~
c c 说明 A与 Ac 有一定交迭，界限不分明。 A(u) A (u) 1/ 2, A(u) A (u) 1/ 2, 有
1.4 模糊集合的截集
一、-截集
模糊集可以描述模糊现象，但在实际问题中又需将模糊变为清晰，以 便决策。
例：选某门课程研究生8名，U=｛u1，u2，u3，……，u8｝，考试成 绩依次为95，96，80，91，81，71，89，87。若规定90分以上为
模 糊 数 学
主讲 张开智 教授
绪论
第一章 模糊集合的基本概念
第二章 模糊模式识别
第三章 确定隶属函数方法
第四章 模糊关系 第五章 模糊聚类分析
第六章 F综合评判
绪论
一、什么是Fuzzy mathematics？
是涉足模糊现象领域的一门数学，是运用数学方法研究和处理带有模糊现象的 一门新兴学科。 创始人：美国加利福尼亚大学，著名控制论专家L.A.zadeh.1965 《Fuzzy sets》，information and control 例：①电视机清晰程度控制、空调调节等 ②在拥挤的停车场停下一辆车……
U
A F U ~
例１：U=｛a,b,c,d,e｝,令a|1,b|0.9,c|0.4,d|0.2,e|0,这是Ｕ到 [0，1]的一个映射，记为 Au ，问 Au 是否确定一个模糊集？ ~ ~ 解：这是一个模糊集，表示“圆块块”模糊概念。 例２：讨论
0， 1 A x ~ , 1 100 / x 12 x 1 x 1
将上述实际问题抽象为一般数学公式：
设 A F(U)，对于[0，1]
~
记：( A ) ~
A
｛u| A (u) ｝
~
则：A称为 A 的截集，-阈值或置信水平。 ~
~
~
~
~
~
~
A 解：zadeh法： = 0 + 0.3 + 0.8 + 1 + 0.8 + 0.7 + 0 3 1 2 4 5 6 7 ……
~
A的意义：“接近4的数” ~
2、当U为无限集时： (1)无限可列时： 按规律一一列出： 如zadeh式 A = A (u1)/u1+ A (u2)/ u2+…… A (un)/ un+……